1、2018 年河南省新乡市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z=i8+（i） 17 可化简为（ ）A1 i B0 C1+i D22 （5 分）已知集合 A=x|x2x0，B=x |a1x a ，若 AB 只有一个元素，则 a=（ ）A0 B1 C2 D1 或 23 （5 分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 a，b ，记m=a+b，则（ ）A事件“m=2”的概率为B事件“m 11” 的概率为C事件“m=2”与“m3”互为对立事件D事件“m 是奇数 ”与“a=b”
2、互为互斥事件4 （5 分）点 P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则的最小值为（ ）A 2 B C D5 （5 分）已知函数 f（x）=tan （x） （ ）的图象经过原点，若f（a）= ，则 f（a+ ）= （ ）A 3 B C3 D6 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（ ）A8 B82 C8 D8+27 （5 分）若 log2（log 3a）=log 3（log 4b）=log 4（log 2c）=1 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aa b c Bbac Cacb Db
3、c a8 （5 分）我国明朝数学家程大位著的算法统筹里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的 n 的值为（ ）A20 B25 C30 D759 （5 分）若函数 f（x ） =x2+ax+2lnx 在（1，2）上有最大值，则 a 的取值范围为（ ）A （0 ，+） B （0，3） C （3，+） D （1，3）10 （5 分）设 kR，函数 f（x ）=sin（kx + ）+k 的图象为下面两个图中的一个，则函数 f（x）的图象的对称轴方程为（ ）Ax= + （k Z） Bx=kx+ （kZ）
4、Cx= （k Z） Dx=k（k Z）11 （5 分）抛物线 M：y 2=4x 的准线与 x 轴交于点 A，点 F 为焦点，若抛物线M 上一点 P 满足 PAPF ，则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为（参考数据： 2.24） （ ）A B C D12 （5 分）在三棱锥 DABC 中，CD底面 ABC，AECD，ABC 为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥 DABC 与三棱锥 EABC 的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B6 C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卷中的横线上13 （5 分）已知
5、向量 ， 满足| |=2| |=2， 与 的夹角为 120，则| 2 |= 14 （5 分）若双曲线 的实轴长是 10，则此双曲线的渐近线方程为 15 （5 分）在ABC 中， sinA：sinB ：sinC=2：3：4，则ABC 中最大边所对角的余弦值为 16 （5 分）已知函数 f（ x）= ，则 f（log 26）+f（ ）= 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第1721 题为必考题每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，且 a17=33，S 7=4
6、9（1）证明：a 1，a 5，a 41 成等比数列；（2）求数列a n3n的前 n 项和 Tn18 （12 分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了 10 个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的 10 个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在194，196内，则称这个轮胎是标准轮胎试比较甲、乙两厂分别提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？19 （12 分）如图，几何体 ABCA1DC1 由一个正三棱柱截去一个
7、三棱锥而得，AB=4，AA 1=3 ，A 1D=1，AA 1平面 ABC，M 为 AB 的中点，E 为棱 AA1 上一点，且 EM平面 BC1D（1）若 N 在棱 BC 上，且 BN=2NC，证明：EN平面 BC1D；（2）过 A 作平面 BCE 的垂线，垂足为 O，确定 O 的位置（说明作法及理由） ，并求线段 OE 的长20 （12 分）已知直线 l：y=2x2 与椭圆 ： （m0）交于 A，B 两点（1）求 的离心率；（2）若以线段 AB 为直径的圆 C 经过坐标原点，求 的方程及圆 C 的标准方程21 （12 分）已知函数 f（ x）=（x 22x2）e x（1）求曲线 y=f（x）在
8、点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）当 x0 时，f（x） 4x+a 恒成立，求 a 的最大值；（3）设 F（x）=xf（x）+ （2x x2）e x，若 F（x）在t，t 的值域为（6 18） e ，0 ，求 t 的取值范围 （提示： 2.4，e 11.6）（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 =2cos（0 ） （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线 C；（2）若直线 （t 为
9、参数）与曲线 C 有公共点，求 m 的取值范围选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知函数 f（x ）=|x3|（1）求不等式 f（x）+f （2x）f（12 ）的解集；（2）若 x1=3x3x2，|x 32|4，证明：f（x 1）+f （x 2）122018 年河南省新乡市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）复数 z=i8+（i） 17 可化简为（ ）A1 i B0 C1+i D2【解答】解：z=i 8+（i） 17=（i 4） 2+（i） 44（i ）=1
10、i故选：A2 （5 分）已知集合 A=x|x2x0，B=x |a1x a ，若 AB 只有一个元素，则 a=（ ）A0 B1 C2 D1 或 2【解答】解：集合 A=x|x2x0= 0，1，B= x|a1x a=a 1，a） ，AB 只有一个元素，则 a=2，故选：C3 （5 分）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 a，b ，记m=a+b，则（ ）A事件“m=2”的概率为B事件“m 11” 的概率为C事件“m=2”与“m3”互为对立事件D事件“m 是奇数 ”与“a=b” 互为互斥事件【解答】解：连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为 a，b，记 m=a+b，则事件“m=2”的概
11、率为 ，故 A 错误；事件“m 11”的概率为 ，故 B 错误；事件“m=2”与“m 2”互为对立事件，故 C 错误；a=b 时，m 为偶数，故事件“m 是奇数”与“a=b”互为互斥事件，故 D 正确；故选：D4 （5 分）点 P（x，y）是如图所示的三角形区域（包括边界）内任意一点，则的最小值为（ ）A 2 B C D【解答】解： 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，如图可知 AO 的斜率最小，A（3，5） ，则 的最小值为： 故选：B5 （5 分）已知函数 f（x）=tan （x） （ ）的图象经过原点，若f（a）= ，则 f（a+ ）= （ ）A 3 B C3 D【解答】解：函
12、数 f（x ）=tan （ x） （ ）的图象经过原点，tan=0，=，f（ x）=tan （x）= tanx若 f（a）=tan（a）=tana= ，则 f（a + ）= tan（a + ）= =3，故选：A6 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为（ ）A8 B82 C8 D8+2【解答】解：由三视图可知几何体是正方体，挖去两个半圆柱后的几何体如图：几何体的体积为：2221 22=82故选：B7 （5 分）若 log2（log 3a）=log 3（log 4b）=log 4（log 2c）=1 ，则 a，
13、b，c 的大小关系是（ ）Aa b c Bbac Cacb Db c a【解答】解：由 log2（log 3a）=1，可得 log3a=2，lga=2lg3，故 a=32=9，由 log3（log 4b）=1，可得 log4b=3，lgb=3lg4，故 b=43=64，由 log4（log 2c）=1 ，可得 log2c=4，lgc=4lg2，故 c=24=16，bca 故选：D8 （5 分）我国明朝数学家程大位著的算法统筹里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”以下程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的 n 的值为（ ）A20 B25
14、 C30 D75【解答】解：输入 n=20，m=80 ，s 100 ，n=21，m=79，s100，n=22，m=78，s100，n=23，m=77，s100，n=24，m=76，s100，n=25，m=75，s=100，输出 n=25，故选：B9 （5 分）若函数 f（x ） =x2+ax+2lnx 在（1，2）上有最大值，则 a 的取值范围为（ ）A （0 ，+） B （0，3） C （3，+） D （1，3）【解答】解：f（x ）=2x+a+ =要使函数 f（x）=x 2+ax+2lnx 在（1，2）上有最大值则函数 f（x ）=x 2+ax+2lnx 在（1，2）上有极大值大值即方程2
15、x 2+ax+2=0 又两个不等实根，且较大根在区间（1，2） ，解得 0a3故选：B10 （5 分）设 kR，函数 f（x ）=sin（kx + ）+k 的图象为下面两个图中的一个，则函数 f（x）的图象的对称轴方程为（ ）Ax= + （k Z） Bx=kx+ （kZ） Cx= （k Z） Dx=k（k Z）【解答】解：设 kR，由于函数 f（x）=sin （kx + ）+k 的最大值为 1+k，最小值为 k1，在（1）中，由最大值为 1+k=3，最小值为 k1=1，可得 k=2，f（ x）=sin（2x+ ）+2 令 2x+ =k+ ，可得 x= k+ ，kZ，故函数 f（x）的图象的对称
16、轴方程为 x= k+ ，kZ，联系图象（1） ，满足条件在第（2）个图中，1+k=2 ，1 k=0，故有 k=1，故 f（ x）=sin（x + ）+1令 x+ =k+ ，可得 x=k+ ，kZ，则函数 f（x ）的图象的对称轴方程为 x=k+ ，k Z，联系图象（2） ，不满足条件，故选：A11 （5 分）抛物线 M：y 2=4x 的准线与 x 轴交于点 A，点 F 为焦点，若抛物线M 上一点 P 满足 PAPF ，则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为（参考数据： 2.24） （ ）A B C D【解答】解：由题意，A（ 1，0） ，F （1，0） ，点 P 在以 AF
17、 为直径的圆 x2+y2=1 上设点 P 的横坐标为 m，联立圆与抛物线的方程得 x2+4x1=0，m0，m= 2+ ，点 P 的横坐标为 2+ ，|PF |=m+1=1+ ，圆 F 的方程为（x1） 2+y2=（ 1） 2，令 x=0，可得 y= ，|EF |=2 =2 = ，故选：D12 （5 分）在三棱锥 DABC 中，CD底面 ABC，AECD，ABC 为正三角形，AB=CD=AE=2，三棱锥 DABC 与三棱锥 EABC 的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B6 C D 【解答】解：如下图所示：三棱锥 DABC 与三棱锥 EABC 的公共部分为三棱锥 FAB
18、C，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，外接圆半径为 ，内切圆半径为 ，高为 1，设三棱锥的外接球的半径为 R，则，解得：R=故此三棱锥的外接球的表面积 S=4R2= ，故选：A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卷中的横线上13 （5 分）已知向量 ， 满足| |=2| |=2， 与 的夹角为 120，则| 2 |= 【解答】解：| |=2| |=2， 与 的夹角为 120， ， ，| 2 |2= ，| 2 |= 故答案为： 14 （5 分）若双曲线 的实轴长是 10，则此双曲线的渐近线方程为 y= x 【解答】解：根据题意，双曲线 的实轴长是 1
19、0，即 2a=10，则 a=5，又由双曲线的焦点在 x 轴上且 b=1，则双曲线的渐近线方程为 y= x；故答案为：y= x15 （5 分）在ABC 中， sinA：sinB ：sinC=2：3：4，则ABC 中最大边所对角的余弦值为 【解答】解：sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理化简得：a：b：c=2 ：3：4，分别设 a=2k，b=3k，c=4k，则最大角为 C，cosC= = = ，故答案为： 16 （5 分）已知函数 f（ x）= ，则 f（log 26）+f（ ）= 6 【解答】解：函数 f（x ）= ，设 h（x）= = ，g（ x）= ，则 g（ x）= = =
20、g（x ） ，h（x）+h（x）=g（x）+g （x）+ ，log26=log2 ，h（log 26）+h（ ）= ，（ ） +（ ） = ，f（ log26）+f（ ） =6故答案为：6三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第1721 题为必考题每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，且 a17=33，S 7=49（1）证明：a 1，a 5，a 41 成等比数列；（2）求数列a n3n的前 n 项和 Tn【解答】 （1）证明：设等差数列a n的首项为 a1，
21、公差为 d，由于 a17=33，S 7=49，则： ，解得：a 1=1，d=2，所以：a n=2n1则：a 1=1，a 5=9，a 41=81，即： =a1a41所以：a 1，a 5，a 41 成等比数列（2）解：由（1）得：a n3n=（2n 1）3 n，则： +（2n 1）3 n，则：3 +（2n 1）3 n+1得： （2n 1）3 n+1，整理得： 故数列的前 n 项和为：18 （12 分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了 10 个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的 10 个轮胎宽度的平均
22、值；（2）轮胎的宽度在194，196内，则称这个轮胎是标准轮胎试比较甲、乙两厂分别提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【解答】解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为：= （195+194+196 +193+194+197+196+195+193+197）=195（cm） ，乙厂这批轮胎宽度的平均值为：= （195+196+193 +192+195+194+195+192+195+193）=194（cm） （2）甲厂这批轮胎宽度都在194，196内的数据为195，194，196，194，196，195
23、，平均数为 = （195+194+196+194+196+195）=195，方差为： = （195195） 2+（194 195） 2+（196195） 2+（194 195）2+（196 195） 2+（195195） 2= ，乙厂这批轮胎宽度都在194，196内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为 = （195+196+195+194+195+195）=195，方差为： = （195195） 2+（196 195） 2+（195195） 2+（194 195）2+（195 195） 2+（195195） 2= ，两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，乙
24、厂的轻裘肥马相对更好19 （12 分）如图，几何体 ABCA1DC1 由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB=4，AA 1=3 ，A 1D=1，AA 1平面 ABC，M 为 AB 的中点，E 为棱 AA1 上一点，且 EM平面 BC1D（1）若 N 在棱 BC 上，且 BN=2NC，证明：EN平面 BC1D；（2）过 A 作平面 BCE 的垂线，垂足为 O，确定 O 的位置（说明作法及理由） ，并求线段 OE 的长【解答】证明：（1）EM平面 BC1DEM平面 ABDA1，平面 ABDA1平面BC1D=BD，EMBD； 过 D 作 DH AB 于 H，连接 CH，则 CHC 1D，则 HM=
25、= ，HM：MB=CN：NB=1：2，MNCH，即 MNC 1D，EMMN=M平面 EMN 平面 BC1D，又EN平面 EMN，EN平面 BC1D，解：（2）在线段 AB 上取一点 F，使 BF=A1D=1，则 A1FBD，由（1）知EMBD，EMA 1FAE ：AA 1=AM：AF=2：3AE= AA1=2 ，取 BC 的中点 G，连接 AG，EG，过 A 作 AOEG 于 O，则 AO平面 BCE，证明如下：由题意得：ABC 为等边三角形，则 AGBC，又由 AA1平面 ABC，BC平面 ABC，AA 1BC，又AGAA 1=A，AG，AA 1平面 AEG，BC 平面 AEG，又AO平面
26、AEG，BC AO，又EGBC=G，EG，BC平面 BCE，AO平面 BCE，由射影定理得：AE 2=OEEG，由 AG=2 ，EG=2 ，OE=20 （12 分）已知直线 l：y=2x2 与椭圆 ： （m0）交于 A，B 两点（1）求 的离心率；（2）若以线段 AB 为直径的圆 C 经过坐标原点，求 的方程及圆 C 的标准方程【解答】解：（1）e= = = = = ，（2）由 可得 17x232x+164m2=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则=32 268（164m 2）0，x 1+x2= ，x 1x2= ，由已知 =x1x2+4（x 11） （x 21）=5x 1
27、x2+4（x 1+x2）+4=0，即 5 4 +4=0，解得 m2=1 且满足0，故 的方程为 +y2=1，设圆 C 的圆心为（ x0，y 0） ，则 x0= （x 1+x2）= ，y 0=2（x 01）= ，由 x1x2= = ，可得|AB|= = ，故圆 C 的方程为（ xx0）+（yy 0）= （ ） 2，即（x ）+（y+ ）= 21 （12 分）已知函数 f（ x）=（x 22x2）e x（1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）当 x0 时，f（x） 4x+a 恒成立，求 a 的最大值；（3）设 F（x）=xf（x）+ （2x x2）e x，若 F（x）在
28、t，t 的值域为（6 18） e ，0 ，求 t 的取值范围 （提示： 2.4，e 11.6）【解答】解：（1）f（x ）=（x 24）e x，f（0）= 4，又 f（0）= 2，所求切线方程为 y+2=4x，即 y=4x2（2）当 x0 时，f（x） x34x+a，即 af（x） x3+4x 恒成立，设 g（ x）=f（x） x3+4x（x0） ，g（x ）=（x 24）e xx2+4=（x 24） （e x1） ，当 0x2 时，g（x ） 0，g （x ）递减；当 x2 时，g（x）0，g（x）递增g （x） min=g（2）=2e 2+ ，a 2e2+ ，a 的最大值为 2e2+ （3
29、）F（x）=（x 33x2）e x，F（x ）=（x 36x）e x，令 F（ x）0，得 x 或 0x ；令 F（ x）0，得 x 0 或 x 当 x= 时，f （x）取得极小值，当 x=0 时，f（x ）取得极大值F（ ）=6（ 3） ，F（ ）=（6 18） ，F（ ）F（ ）0令 F（x）=0 ，得 x=0 或 x=3 或 ，t ，0 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 =2cos
30、（0 ） （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线 C；（2）若直线 （t 为参数）与曲线 C 有公共点，求 m 的取值范围【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 =2cos（0 ） ， 2=2cos，x 2+y2=2x，化为标准形式是（x1） 2+y2=1，又 0 ，曲线 C 表示圆（ x1） 2+y2=1 的 ，且 x1，y0；曲线 C 如图所示；（2）由直线 （t 为参数） ，得 y=x+m；当直线 y=x+m 过点（2， 0）时，求得 m=2；当直线 y=x+m 过点（1， 1）时，求得 m=0；由数形结合求得 m 的取值范围是 2，0 选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知函数 f（x ）=|x3|（1）求不等式 f（x）+f （2x）f（12 ）的解集；（2）若 x1=3x3x2，|x 32|4，证明：f（x 1）+f （x 2）12【解答】解：（1）由 f（x ）+f（2x）f（12 ）得|x3|+|2x3|9，故 或 或 ，解得：1x5故不等式的解集是（1， 5） ；（2）证明：x 1=3x3x2， x 1+x2=3x3，f（ x1）+f（ x2）=|x 13|+|x23|x 13+x23|=|3x36|=3|x32|，又|x 32|4，f（ x1）+f（ x2）12
