1、2018 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数 （i 为虚数单位）等于（ ）A 13i B1+3i C13i D1+3i2 （5 分）设集合 A=x|1x 2，B=x|x a，若 AB=A ，则 a 的取值范围是（ ）Aa |a2 Ba|a 1 Ca|a1 Da |a23 （5 分）设向量 =（1， m） ， =（m 1，2） ，且 ，若（ ） ，则实数 m=（ ）A2 B1 C D4 （5 分）下列说法正确的是（ ）A “若 a1 ，则 a21” 的否命题
2、是 “若 a1，则 a21”B “若 am2bm 2，则 ab”的逆命题为真命题C x0（0，+） ，使 成立D “若 ，则 ”是真命题5 （5 分）我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 n=（ ）A4 B5 C2 D36 （5 分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A10cm 3 B20cm 3 C30cm 3 D40cm 37 （5 分）若将函数 f（x）= sin（2x+ ）图象上的每一个点都向左平移 个单位，得到 g
3、（x）的图象，则函数 g（x）的单调递增区间为（ ）Ak ，k + （k Z） Bk + ，k+ （k Z）C k ，k （kZ） Dk ，k+ （k Z）8 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，a 2=2，且an+22an+1+an=0（n N*） ，记 Tn= ，则 T2018=（ ）A B C D9 （5 分）已知函数 ，若函数 f（x ）在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0 ，1 B1，+） C （0，1） D （ ，110 （5 分）已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 A，B，左、右焦点分别是 F1，F 2，在线段 AB 上有且只有一个点
4、 P 满足 PF1PF 2，则椭圆的离心率的平方为（ ）A B C D11 （5 分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加 2018年全国高中数学联赛（河南初赛） ，他们取得的成绩（满分 140 分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81，乙班学生成绩的平均数是 86，若正实数 a，b 满足 a，G，b 成等差数列且 x，G ，y 成等比数列，则 的最小值为（ ）A B2 C D912 （5 分）若对于任意的正实数 x，y 都有 成立，则实数 m的取值范围为（ ）A B C D二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设变量 x，
5、y 满足约束条件 则目标函数 z=4xy 的最小值为 14 （5 分）如果直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+（a1 ）y=a 7 平行，则 a= 15 （5 分）已知数列a n满足 ，且a1+a2+a3+a10=1，则 log2（a 101+a102+a110）= 16 （5 分）已知双曲线 的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M，交另一条渐近线于 N，若 ，则双曲线的渐近线方程为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且2ccosB=2a+b（1）求角 C；（2）若
6、ABC 的面积为 ，求 ab 的最小值18 （12 分）2017 年 10 月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校 1000 名（男生 800 名，女生200 名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取 100 名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀人数 5 10 15 47 x女生测试情况抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀人数 2 3 10 y 2（1）现从抽取的 1000 名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等
7、级为“良好”或“ 优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“ 非体育达人” ，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“ 是否为体育达人”与性别有关？男性 女性 总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K 2k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：（ ，其中 n=a+b+c+d）19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面ABC，AB=6， ， ，D ，E 为线段 AB 上的点，且AD=2DB，PDAC（1）求证：PD平
8、面 ABC；（2）若 ，求点 B 到平面 PAC 的距离20 （12 分）已知圆 C：x 2+y2+2x2y+1=0 和抛物线 E：y 2=2px（p0） ，圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 （1）求抛物线 E 的方程；（2）不过原点的动直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且满足 OAOB设点 M 为圆 C 上任意一动点，求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线 l 方程21 （12 分）已知函数 f（ x）=lnx a（x+1） ，a R 在（1，f （1） ）处的切线与 x轴平行（1）求 f（x）的单调区间；（2）若存在 x01，当 x（1，x 0）时，恒有 成立，求 k 的取值范
9、围22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点（1，0） ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是（1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若 ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 AOB 的面积23设函数 f（x ）=|x+3| ，g（x ）=|2x1|（1）解不等式 f（x）g（x ） ；（2）若 2f（ x）+g （x）ax +4 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围2018 年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5
10、分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数 （i 为虚数单位）等于（ ）A 13i B1+3i C13i D1+3i【解答】解： = =13i故选：A2 （5 分）设集合 A=x|1x 2，B=x|x a，若 AB=A ，则 a 的取值范围是（ ）Aa |a2 Ba|a 1 Ca|a1 Da |a2【解答】解：AB=A，AB集合 A=x|1x 2 ，B=x|xa ，a 2故选：D3 （5 分）设向量 =（1， m） ， =（m 1，2） ，且 ，若（ ） ，则实数 m=（ ）A2 B1 C D【解答】解：（ ） ，（ ） =0，即 2 =0，即 1
11、+m2（m1+2m）=0，即 m23m+2=0，得 m=1 或 m=2，当 m=1 时，量 =（1，1） ， =（0，2） ，满足 ，当 m=2 时，量 =（1，2） ， =（1，2） ，不满足 ，综上 m=1，故选：B4 （5 分）下列说法正确的是（ ）A “若 a1 ，则 a21” 的否命题是 “若 a1，则 a21”B “若 am2bm 2，则 ab”的逆命题为真命题C x0（0，+） ，使 成立D “若 ，则 ”是真命题【解答】解：“ 若 a1，则 a21” 的否命题是“ 若 a1，则 a21”，故 A 错；“若 am2bm 2，则 ab” 的逆命题为假命题，比如 m=0，若 ab，则
12、am2=bm2，故 B 错；对任意 x0，均有 3x4 x 成立，故 C 错；对若 ，则 ”的逆否命题是“ 若 = ，则 sin= ”为真命题，则 D 正确故选：D5 （5 分）我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 n=（ ）A4 B5 C2 D3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件 S10，执行循环体， n=2，a= ，A=2，S=不满足条件 S10，执行循环体， n=3，a= ，A=4，S=不满足条件 S10，执行
13、循环体， n=4，a= ，A=8，S=满足条件 S10，退出循环，输出 n 的值为 4故选：A6 （5 分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A10cm 3 B20cm 3 C30cm 3 D40cm 3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 3、4，几何体的体积 V= 345 345=20（cm 3） 故选：B7 （5 分）若将函数 f（x）= sin（2x+ ）图象上的每一个点都向左平移 个单位，得到 g（x）的图象，则函数 g（x）的单调递增区间为（ ）Ak ，k + （k Z
14、） Bk + ，k+ （k Z）C k ，k （kZ） Dk ，k+ （k Z）【解答】解：将函数 f（x ）= sin（2x+ ）图象上的每一个点都向左平移 个单位，得到 g（x）= sin2（x + ）+ = sin2x 的图象，故本题即求 y=sin2x 的减区间，令 2k+ 2x2k+ ，求得k+ xk+ ，故函数 g（x ）的单调递增区间为k+ ，k+ ，k Z，故选：B8 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，a 2=2，且an+22an+1+an=0（n N*） ，记 Tn= ，则 T2018=（ ）A B C D【解答】解：数列a n的前 n 项和为 Sn
15、，a 1=1，a 2=2，且 an+22an+1+an=0（nN *） ，则：数列为等差数列设公差为 d，则：d=a 2a1=21=1，则：a n=1+n1=n故： ，则： ，所以： ，= ，= ，= 所以： 故选：C9 （5 分）已知函数 ，若函数 f（x ）在 R 上有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0 ，1 B1，+） C （0，1） D （ ，1【解答】解：当 x0 时， f（x）单调递增，f（x ）f（0）=1a ，当 x0 时，f（x）单调递增，且 f（x ） af（ x）在 R 上有两个零点， ，解得 0a1故选：A10 （5 分）已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为
16、A，B，左、右焦点分别是 F1，F 2，在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1PF 2，则椭圆的离心率的平方为（ ）A B C D【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（ a， 0） ，B（0，b） ，F 1（c，0） ，F2（c， 0） ，直线 AB 的方程为 ，整理得：bx ay+ab=0，设直线 AB 上的点P（x，y） ，则 bx=ayab，x= ya，PF 1 PF2，则 =（cx，y）（c x， y）=x 2+y2c2=（ ） 2+y2c2，令 f（y）= （ ） 2+y2c2，则 f（y ）=2（ ya） +2y，由 f（y）=0 得：y= ，于是 x= ， =（ ）
17、 2+（ ） 2c2=0，整理得： =c2，又 b2=a2c2，整理得：c 4+3c2c2a4=0，两边同时除以 a4，由 e2= ，e 43e2+1=0，e 2= ，又椭圆的离心率 e（0，1） ，e 2= 椭圆的离心率的平方 ，故选 B方法二：由直线 AB 的方程为 ，整理得：bx ay+ab=0，由题意可知：直线 AB 与圆 O：x 2+y2=c2 相切，可得 d= =c，两边平方，整理得：c 4+3c2c2a4=0，两边同时除以 a4，由e2= ，e 43e2+1=0，e 2= ，又椭圆的离心率 e（0，1） ，e 2= 椭圆的离心率的平方 ，故选 B11 （5 分）我市某高中从高三年
18、级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加 2018年全国高中数学联赛（河南初赛） ，他们取得的成绩（满分 140 分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81，乙班学生成绩的平均数是 86，若正实数 a，b 满足 a，G，b 成等差数列且 x，G ，y 成等比数列，则 的最小值为（ ）A B2 C D9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是 80+x=81，得 x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为 76+803+903+（0+2+y+1+3 +6）=598 +y，乙班学生的平均分是 86，且总分为 867=602，所以 y=4，若正实数 a、b 满足：a，G，b 成等差数列且 x，G，y
19、成等比数列，则 xy=G2，2G=a+b，即有 a+b=4，a0，b0，则 + = （ a+b） （ + ）= （1+4+ + ） （ 5+2 ）= 9= ，当且仅当 b=2a= 时， 的最小值为 故选：C12 （5 分）若对于任意的正实数 x，y 都有 成立，则实数 m的取值范围为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，对于（2x ）ln ，变形可得 （2x ）ln ，即（2e ）ln ，设 t= ，则（2e t）lnt ，t0，设 f（t）=（2et ）lnt ， （t0）则其导数 f（ t）=lnt+ 1，又由 t0，则 f（t）为减函数，且 f（e）=lne+ 1=0，则当 t（0
20、， e）时，f（t）0，f（t）为增函数，当 t（e ，+）时，f（ t）0，f（t）为减函数，则 f（t）的最大值为 f（e） ，且 f（e）=e，若 f（t）=（2et ）lnt 恒成立，必有 e ，解可得 0m ，即 m 的取值范围为（0， ；故选：D二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z=4xy 的最小值为 1 【解答】解：设变量 x， y 满足约束条件 在坐标系中画出可行域三角形，平移直线 4xy=0 经过点 A（1，3）时，4xy 最小，最小值为：1，则目标函数 z=4xy 的最小值：1故答案为：114
21、 （5 分）如果直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+（a1 ）y=a 7 平行，则 a= 3 【解答】解：直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+（a1）y=a 7 平行， ，解得 a=3故答案为：315 （5 分）已知数列a n满足 ，且a1+a2+a3+a10=1，则 log2（a 101+a102+a110）= 100 【解答】解： ，log 2an+1log2an=1，即 ， 数列a n是公比 q=2 的等比数列则 a101+a102+a110=（a 1+a2+a3+a10）q 100=2100，log 2（a 101+a102+a110）= 故答案为：10016 （5 分）已
22、知双曲线 的右焦点为 F，过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M，交另一条渐近线于 N，若 ，则双曲线的渐近线方程为 y= x 【解答】解：由题意得右焦点 F（c ，0） ，设一渐近线 OM 的方程为 y= x，则另一渐近线 ON 的方程为 y= x，由 FM 的方程为 y= （xc） ，联立方程 y= x，可得 M 的横坐标为 ，由 FM 的方程为 y= （xc） ，联立方程 y= x，可得 N 的横坐标为 由 2 = ，可得 2（ c）= c，即为 c= ，由 e= ，可得 1= ，即有 e45e2+4=0，解得 e2=4 或 1（舍去） ，即为 e=2，即 c=2a，b= a，
23、可得渐近线方程为 y= x，故答案为：y= x三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且2ccosB=2a+b（1）求角 C；（2）若ABC 的面积为 ，求 ab 的最小值【解答】解：（1）由正弦定理可知：= = =2R，a=2RsinA，b=2RsinB ，c=2RsinC，由 2ccosB=2a+b，则 2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB ，2sinBcosC+ sinB=0，由 0B， sinB0 ，cosC= ，0C，则 C= ；（2）由 S= absinC= c，则 c= ab，
24、由 c2=a2+b22abcosC=a2+b2+ab， =a2+b2+ab3ab，当且仅当 a=b 时取等号，ab 12 ，故 ab 的最小值为 1218 （12 分）2017 年 10 月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校 1000 名（男生 800 名，女生200 名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取 100 名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀人数 5 10 15 47 x女生测试情况抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀人数 2 3 10 y 2（1）现从抽取的
25、1000 名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“ 优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“ 非体育达人” ，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“ 是否为体育达人”与性别有关？男性 女性 总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K 2k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：（ ，其中 n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取 80 名，女
26、生应抽取 20 名；x=80 （5 +10+15+47）=3，y=20（2+3+10+2）=3；抽取的 100 名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为 A，B，C；两位女生设为 a，b；从 5 名任意选 2 名，总的基本事件有AB，AC，Aa ，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 10 个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件 A”；则事件包含的基本事件有 Aa，Ab，Ba ，Bb，Ca， Cb 共 6 个；P（A）= = ；（2）填写 22 列联表如下：男生 女生 总计体育达人 50 5 55非体育达人 30 15 45总计 80 20 100则 K2= 9.091；9.09
27、1 6.635 且 P（K 26.635 ）=0.010，在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“ 是否为 体育达人与性别有关”19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面ABC，AB=6， ， ，D ，E 为线段 AB 上的点，且AD=2DB，PDAC（1）求证：PD平面 ABC；（2）若 ，求点 B 到平面 PAC 的距离【解答】证明：（1）连接 CD，据题知 AD=4，BD=2，AC 2+BC2=AB2，ACB=90，cos ， =8，CD=2 ，CD 2+AD2=AC2，CD AB，又平面 PAB平面 ABC，CD平面 PAB，CDPD，PDAC，CDAC=
28、C，PD平面 ABC解：（2） ，PD=AD=4，PA=4 ，在 RtPCD 中，PC= =2 ，PAC 是等腰三角形， ，设点 B 到平面 PAC 的距离为 d，由 VEPAC=VPAEC，得 ，d= =3，故点 B 到平面 PAC 的距离为 320 （12 分）已知圆 C：x 2+y2+2x2y+1=0 和抛物线 E：y 2=2px（p0） ，圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 （1）求抛物线 E 的方程；（2）不过原点的动直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且满足 OAOB设点 M 为圆 C 上任意一动点，求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线 l 方程【解答】解：（1）圆 C：
29、 x2+y2+2x2y+1=0 可化为（x +1） 2+（y 1） 2=1，则圆心为（1，1） 抛物线 E：y 2=2px（p0） ，焦点坐标 F（ ） ，由于：圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 则： ，解得：p=6故抛物线的方程为：y 2=12x（2）设直线的方程为 x=my+t，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则： ，整理得：y 212my12t=0，所以：y 1+y2=12m，y 1y2=12t由于：OAOB则：x 1x2+y1y2=0即：（m 2+1）y 1y2+mt（y 1+y2）+t 2=0整理得：t 212t=0，由于 t0，解得 t=12故直线的方程为 x=
30、my+12，直线经过定点（12，0） 当 CNl 时，即动点 M 经过圆心 C（1，1）时到直线的距离取最大值当 CPl 时，即动点 M 经过圆心 C（ 1，1）时到动直线 L 的距离取得最大值kMP=kCP= ，则：m= 此时直线的方程为：x= ，即：13xy156=021 （12 分）已知函数 f（ x）=lnx a（x+1） ，a R 在（1，f （1） ）处的切线与 x轴平行（1）求 f（x）的单调区间；（2）若存在 x01，当 x（1，x 0）时，恒有 成立，求 k 的取值范围【解答】解：（1）由已知可得 f（x ）的定义域为（ 0，+） ，f（x）= a，f（1）=1a=0 ，解得
31、：a=1，f（x）= ，令 f（x）0，解得：0x1，令 f（x）0，解得： x1，故 f（x）在（0，1）递增，在（ 1，+）递减；（1）不等式 f（x） +2x+ k（x1）可化为 lnx +x k （x 1） ，令 g（ x）=lnx +x k（x1） ， （x1） ，g（x ）= ，x1，令 h（x）= x2+（1k）x+1，h（x）的对称轴是 x= ，当 1 时，即 k1，易知 h（x）在（1，x 0）上递减，h（x）h（1）=1k，若 k1 ，则 h（x）0，g（x）0，g （x）在（1，x 0）递减，g （x）g （1）=0 ，不适合题意若1 k 1，则 h（1） 0，必存在 x
32、0 使得 x（1，x 0）时，g （x ）0，g （x）在（1，x 0）递增，g （x）g （1）=0 恒成立，适合题意当 1 时，即 k1，易知必存在 x0 使得 h（x）在（1，x 0）递增，h（x）h（1）=1k0，g（x）0，g（x）在（ 1，x 0）递增，g （x）g （1）=0 恒成立，适合题意综上，k 的取值范围是（，1） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点（1，0） ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是（1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若 ，设直线 l 与曲线 C 交
33、于 A，B 两点，求 AOB 的面积【解答】 （1）直线 L 的参数方程为： （t 为参数） 曲线 C 的极坐标方程是 ，转化为直角坐标方程为：y 2=8x（2）当 时，直线 l 的参数方程为： （t 为参数） ，代入 y2=8x 得到： （t 1 和 t2 为 A 和 B 的参数） ，所以： ，t 1t2=16所以： O 到 AB 的距离为：d= 则： = 23设函数 f（x ）=|x+3| ，g（x ）=|2x1|（1）解不等式 f（x）g（x ） ；（2）若 2f（ x）+g （x）ax +4 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围【解答】解：（1）由已知得|x+3 |2x 1|，即|x+3| 2|2x1| 2，则有 3x210x80，x 或 x 4，故不等式的解集是（， ）（4，+） ；（2）由已知，设 h（x）=2f（x）+g（x）=2|x +3|+|2x1|= ，当 x3 时，只需4x5ax+4 恒成立，即 ax4x9，x30，a =4 恒成立，a ，a1，当3 x 时，只需 7ax +4 恒成立，即 ax30 恒成立，只需 ， ，1 a 6，当 x 时，只需 4x+5ax +4 恒成立，即 ax4x+1，x 0，a =4+ 恒成立，4+ 4，且无限趋近于 4，a 4 ，综上，a 的取值范围是（1，4
