2019年河南省开封市高考数学一模试卷(理科).doc-道客多多

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1、第 1 页（共 23 页）2019 年河南省开封市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A（y |y2 x，x0 ，Bx| ylog 2（x2），则 A（ RB）（）A0，1） B （1，2） C （1，2 D2 ，+）2 （5 分）已知复数 z 满足（1+ i）z1+i，则复平面内与复数 z 对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知函数 f（x ）sin 4xcos 4x，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为 2Bf

2、（x）的最大值为 2Cf（x）的图象关于 y 轴对称Df（x）在区间，上单调递减4 （5 分）已知等比数列a n中，有 a3a114a 7，数列b n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 b7a 7，则 S13（）A26 B52 C78 D1045 （5 分）已知直线 m，n 和平面，n，则“mn”是“m”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）第 2 页（共 23 页）A16 B164 C322 D6447 （5 分）已知函数 f（x ），若 f（a）1

3、则 a 的取值范围是（）A1，2） B1 ，+）C2，+） D （， 2 1，+）8 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则的取值范围为（）A ，1 B ， 1，+）C0，1 D ，19 （5 分）已知数列a n中，a 1 ，a n+11 ，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（）An2012 Bn2015 Cn2017 Dn201810 （5 分）已知ABC 的内角 A ，AB6，AC 4，O 为ABC 所在平面上一点，且满足 OAOB OC，设 m +n ，则 m+n 的值为（）A B1 C D211 （5 分）已知 P 是双曲线 1（a0

4、，b0）上一点，且在 x 轴上方，F 1，F 2第 3 页（共 23 页）分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F2|12，直线 PF2 的斜率为4 ，PF 1F2 的面积为24 ，则双曲线的离心率为（）A3 B2 C D12 （5 分）有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）A （0， B （0， C （0， D （0，二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）（1x） 10 的展开式中，x 3 的系数等于 14 （5 分）已知向量（1，）

5、，（3，m ），则在方向上的投影为3，则向量与的夹角为 15 （5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图” ，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设 DF2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n的前 n 项和为 Tn满足a12，3S n（

6、n+m）a n，（m R），且 anbnn，若存在 nN*，使得 +TnT 2n 成立，则实数的最小值为三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 cacosB+bsinA（）求 A（）若 a2，求ABC 面积的最大值18 （12 分）如图所示，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE平面 BCE，且 AE1第 4 页（共 23 页）（）求证：平面 ABCD平面 ABE；（）线段 AD 上是否存在一点 F，使三棱锥 ABFE 所成角的余弦值为？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在，请说明理由

7、19 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点 F 与椭圆 + 1 的右焦点重合，抛物线 C 的动弦 AB 过点 F，过点 F 且垂直于弦 AB 的直线交抛物线的准线于点 M（）求抛物线的标准方程；（）求的最小值20 （12 分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有 250 人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分 100 分），结果如表所示：分数 a 95a10085a95 75a85 60a7

8、5 a60人数 25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率 0.9 0.8 0.6 0.4 0.3（）这两年学校共培养出优等生 150 人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程 250没有学习大学先修课程总计 150第 5 页（共 23 页）（）已知今年全校有 150 名学生报名学习大学先修课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求

9、他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有 4 名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求 X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数参考数据：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d21 （12 分）已知函数 f（x ）（）当 ab1 时，求函数 f（x ）的极值；（）若 f（1）1，且方程 f（x）1 在区间（0，1）内有解，求实数 a 的取值范围选修 4-4：坐

10、标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是（t 为参数），曲线 C 的参数方程是，（为参数），以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（）已知射线 OP： 1（其中 0 ）与曲线 C 交于 O，P 两点，射线第 6 页（共 23 页）OQ： 2 与直线 l 交于 Q 点，若OPQ 的面积为 1，求的值和弦长| OP|选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +a|，g（x ）|x1| （）若 f（x） +2g（x）的最小值为 1，求实数 a 的值；（）若关于 x 的不等式 f（

12、C2 （5 分）已知复数 z 满足（1+ i）z1+i，则复平面内与复数 z 对应的点在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：由（1+ i）z 1+i，得 z，复平面内与复数 z 对应的点的坐标为（），在第四象限角故选：D3 （5 分）已知函数 f（x ）sin 4xcos 4x，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为 2Bf（x）的最大值为 2Cf（x）的图象关于 y 轴对称Df（x）在区间，上单调递减【解答】解：f（x ）sin 4xcos 4xsin 2xcos 2xcos2x，函数的最小正周期 T ，f（x） cos（2x ） cos2 xf

13、（x），f（x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，f（x）cos2x 在，上单调递减，故 f（x ）cos2x 在，上单调递第 8 页（共 23 页）增故选：C4 （5 分）已知等比数列a n中，有 a3a114a 7，数列b n是等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 b7a 7，则 S13（）A26 B52 C78 D104【解答】解：等比数列a n中，a 3a114a 7，可得 a724a 7，解得 a74，数列b n是等差数列中 b7a 74，则 S13 13（b 1+b13）13b 713452故选：B5 （5 分）已知直线 m，n 和平面，n，则“mn”是“m”的（

14、）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：直线 m，n 和平面，n，则“mn”与“m”相互推不出“mn”是“m”的既不充分也不必要条件故选：D6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为（）A16 B164 C322 D644【解答】解：根据几何体的三视图：得到：该几何体是由一个长为 2，宽为 4 高为 2 的长方体，挖去一个半径为 1，高为 4第 9 页（共 23 页）的圆柱构成，故：V2 ，16故选：A7 （5 分）已知函数 f（x ），若 f（a）1 则 a 的取值范围是（）A1，2） B1 ，+）

15、C2，+） D （， 2 1，+）【解答】解：函数 f（x ），若 f（a）1，可得：或，解：，可得：1a2；解得 a2综上 a1故选：B8 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则的取值范围为（）A ，1 B ， 1，+）C0，1 D ，1【解答】解：作出 x，y 满足约束条件的可行域如图：ABC，表示区域内的点与点（2，0）连线的斜率，联方程组可解得 B（2，2），同理可得 A（2，4），第 10 页（共 23 页）当直线经过点 B 时，M 取最小值：，当直线经过点 A 时，M 取最大值 1则的取值范围：， 1故选：A9 （5 分）已知数列a n中，a 1 ，a

16、 n+11 ，利用如图程序框图计算该数列的项时，若输出的是 2，则判断框内的条件不可能是（）An2012 Bn2015 Cn2017 Dn2018【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A ，n1；第 1 次循环，A121，n1+12；第 11 页（共 23 页）第 2 次循环，A1+12，n2+13；第 3 次循环，A1 ，n3+14；所以，程序运行时计算 A 的值是以 3 为周期的函数，当程序运行后输出 A2 时，n 能被 3 整除，此时不满足循环条件分析选项中的条件，满足题意的 C故选：C10 （5 分）已知ABC 的内角 A ，AB6，A

17、C 4，O 为ABC 所在平面上一点，且满足 OAOB OC，设 m +n ，则 m+n 的值为（）A B1 C D2【解答】解：由 OAOBOC，得：点 O 是ABC 的外心，又外心是中垂线的交点，则有：，即，又 AB6，AC 4， 12，所以，解得：，即 m+n + ，故选：A11 （5 分）已知 P 是双曲线 1（a0，b0）上一点，且在 x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F2|12，直线 PF2 的斜率为 4 ，PF 1F2 的面积为24 ，则双曲线的离心率为（）A3 B2 C D【解答】解：P 是双曲线 1（a0，b0）上一点，且在 x 轴上方，

18、F 1，F 2第 12 页（共 23 页）分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F2|12，c6，PF 1F2 的面积为 24 ，可得 P 的纵坐标 y 为：，y4 直线PF2 的斜率为4 ，所以 P 的横坐标 x 满足：，解得 x5，则 P（5，4 ），|PF1| 13，|PF2| 7，所以 2a137，a3，所以双曲线的离心率为：e 2故选：B12 （5 分）有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）A （0， B （0， C （0， D （0，【解答】解：如图，ABCDa，

19、ACAD BCBD 2过 A 作 AECD 于 E，连结 BE，则 AE BE ，又 ABa，，，令，则 f（ a）16a 33a 50，解得当 a2 时，（V ABCD ） max 此三棱锥体积的取值范围是（0，故选：B第 13 页（共 23 页）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）（1x） 10 的展开式中，x 3 的系数等于 120 【解答】解：（1x） 10 的展开式中，T r+1 （x） r，令 r3，则 T4 x3，则 x3 的系数 120故答案为：12014 （5 分）已知向量（1，），（3，m ），则在方向上的投

20、影为3，则向量与的夹角为【解答】解：根据题意，设向量与夹角为，向量（1，），（3，m ），则| |2， 3+ m，若在上的投影为3，则有 3，解可得：m3 ，则（3，3 ），则| | 6，则 cos ，又由 0，则，故答案为：第 14 页（共 23 页）15 （5 分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图” ，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三

21、角形拼成的一个大等边三角形，设 DF2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是【解答】解：由题意，设 DF2AF2a，且 a0，由DFE ，AFC ；DEF 的面积为 SDEF 2a2asin a2，AFC 的面积为 SAFC a3asin a2，在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P 故答案为： 16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n的前 n 项和为 Tn满足a12，3S n（n+m）a n，（m R），且 anbnn，若存在 nN*，使得 +TnT 2n 成立，则实数的最小值为【解答】解：3S n（n+m）

22、a n，3S 13a 1（1+m）a 1，解得 m2，3S n（n+2）a n，当 n2 时，3S n1 （n+1）a n1 ，，由可得 3an（n+2 ）a n（n+1）a n1 ，第 15 页（共 23 页）即（n1）a n（n+1）a n1 ，，，，，，，累乘可得 ann（n+1），经检验 a12 符合题意，a nn（n+1），nN*，a nbnn，b n ，令 BnT 2nT n + + ，则 Bn+1B n 0，数列B n为递增数列，B nB 1 ，存在 nN*，使得 +TnT 2n 成立，B 1 ，故实数的最小值为，故答案为：三、解答题：共 70 分解答应

23、写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 cacosB+bsinA（）求 A（）若 a2，求ABC 面积的最大值【解答】解：（）由已知及正弦定理得 sinCsinAcosB +sinBsinA又 A+B+C ，故有 sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB由得 sinAcosA 即 tanA1，又；第 16 页（共 23 页）（）ABC 的面积为，又已知及余弦定理可得，，当且仅当 bc 时，等号成立，，即面积最大值为 18 （12 分）如图所示，ABCD 是边长为 2 的正方形，AE平面 BCE，且

24、 AE1（）求证：平面 ABCD平面 ABE；（）线段 AD 上是否存在一点 F，使三棱锥 ABFE 所成角的余弦值为？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在，请说明理由【解答】解：（）证明：AE平面 BCE，AEBE，AEBC，又 BCAB，BC平面 ABE，平面 ABCD平面 ABE；（）以 A 为原点建立空间坐标系如图，AE1，AB2，AEBE ，BE ，设 AFh，则 F（0，0，h），E（），B（0，2，0），，，设平面 BEF 的一个法向量为，第 17 页（共 23 页）则，取 y1，得，易知，为平面 ABF 的一个法向量，由题意得：，解得：h1，故当 F

25、为 AD 中点时，满足题意19 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点 F 与椭圆 + 1 的右焦点重合，抛物线 C 的动弦 AB 过点 F，过点 F 且垂直于弦 AB 的直线交抛物线的准线于点 M（）求抛物线的标准方程；（）求的最小值【解答】解：（）由椭圆 + 1 知，其右焦点为（1，0），即抛物线的焦点为 F（1，0）， 1，解得 p2；第 18 页（共 23 页）抛物线 C 的标准方程为 y24x；（）当动弦 AB 所在的直线斜率不存在时，易得|AB|2p4， 2；当动弦 AB 所在的直线斜率存在时，易知 AB 的斜率不为 0，设 AB 所在直线方程为 yk （

26、x1），且 A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组，消去 y 得 k2x22（k 2+2）x+k 20；x 1+x2 ，x 1x21，且16（k 2+1）0；|AB| |x1x 2| ；FM 所在的直线方程为 y （x 1），联立方程组，求得点 M（1，），|MF | 2 ， 2 2；综上所述，的最小值为 220 （12 分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有 250 人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生

27、都参加了高校的自主招生考试（满分 100 分），结果如表所示：分数 a 95a10085a95 75a85 60a75 a60人数 25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率 0.9 0.8 0.6 0.4 0.3（）这两年学校共培养出优等生 150 人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并第 19 页（共 23 页）根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程 250没有学习大学先修课程总计 150（）已知今年全校有 150 名学生报名学习大学先修课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年

28、参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有 4 名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求 X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数参考数据：P（K 2k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d【解答】解：（）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程

29、50 200 250没有学习大学先修课程 100 900 1000第 20 页（共 23 页）总计 150 1100 1250由列联表可得 K2 18.9396.635在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系（）（i）由题意得所求概率为：p 0.9+ + （ii）设获得高校自主招生通过的人数为 X，则 XX（4，），P（X4） k0，1，2，3，4，X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数为150 9021 （12 分）已知函数 f（x ）（）当 ab1 时，求函数 f（x ）的极值；（）若

30、 f（1）1，且方程 f（x）1 在区间（0，1）内有解，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）当 ab1 时，，则，解不等式 f（x ）0，得 0x1，所以，函数 f（x ）在（0，1）上单调递增；解不等式 f（x ）0，得 x0 或 x1，所以，函数 f（x）在（，0）和（1，+）上单调递减，因此，函数 f（x ）的极小值为 f（0）1，极大值为 f（1）；（）由 f（1）1 得 be 1a，由 f（x）1，得 exax 2+bx+1，设 g（x）e xax 2bx 1，则 g（x）在（0，1）内有零点，设 x0 为 g（x）在（0，1）内的一个零点，由 g（0）g（1）0 知，g（

31、x）在（0，x 0）和（x 0，1 ）上不单调，设 h（x）g（x ），则 h（x ）在（0，x 0）和（x 0，1）上均存在零点，即 h（x）在第 21 页（共 23 页）（0，1）上至少有两个零点g（x）e x2ax b，h（x ）e x2a当时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）不可能有两个及以上的零点；当时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）不可能有两个及以上的零点；当时，令 h（x）0，得 xln（2a）（0，1），所以，h（x）在（0，ln（2a））上单调递减，在（ln （2a ），1）上单调递增，h（x）在（0，1）上存在极小值

32、 h（ln（2a）），若 h（x）有两个零点，则有 h（ln（2a））0，h（0）0，h（1）0，h（ln（2a））3a2aln（2a）+1e ，设，则，令 m（x）0，得当时，m（x）0，函数 m（x ）单调递增；当时，m（x）0，函数 m（x）单调递减所以，，所以，h（ln （2a））0 恒成立，由 h（0）1bae+20，h（1）e2ab0，得 e2a1选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是（t 为参数），曲线 C 的参数方程是，（为参数），以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求

33、直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（）已知射线 OP： 1（其中 0 ）与曲线 C 交于 O，P 两点，射线OQ： 2 与直线 l 交于 Q 点，若OPQ 的面积为 1，求的值和弦长| OP|【解答】解：（）直线 l 的参数方程是（t 为参数），转换为直角坐标方程为：xy+10第 22 页（共 23 页）转换为极坐标方程为：cossin+10曲线 C 的参数方程是，（为参数），转换为直角坐标方程为：（x2） 2+y24，转换为极坐标方程为：4cos （）由于 0 ，所以：|OP|4cos，|OQ| 所以： 1，所以：tan1 ，由于：0 ，故：，所以：|OP|4cos 选修

34、4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +a|，g（x ）|x1| （）若 f（x） +2g（x）的最小值为 1，求实数 a 的值；（）若关于 x 的不等式 f（x）+g（x）1 的解集包含，1 ，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）函数 f（ x）|2x+a|，g（x ）|x1|f（x）+2g（x）|2 x+a|+2|x1|2 x+a|+|2x2|2 x+a（2x2）|a +2|1，解得 a1 或 a3；（）x ， 1时，不等式 f（x ）+ g（x ）1，即：|2x+a|+|x1|1，可得：|2x+a|+1x1，|2 x+a|x xa，不等式 f（x）+g（x）1 的解集包含，1，第 23 页（共 23 页）即：且a1，实数 a 的取值范围：（，1）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/4/8 20:48:23；用户：科学怪叔叔；邮箱：18735205326；学号：10126140

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