1、专题十一 等差数列与等比数列雷区 1：忽视“中项”定义所产生的结论例 1： acb2是 ,成等比数列的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分有不必要条件错解：C. 思维不缜密，没有注意到当 acb2时， ,b可能为 0.【分析】若 ,abc成等比数列，则为和的等比中项；反之，当 ac2时，若 ,bc为 0，则,不成等比数列，选 B.例 2：在等比数列 na中， 610,是方程 2810x的两根，则 8a等于（ ）A. B. 1 C. D.不能确定错解：由已知 106a， n是等比数列， 10628a， 8.忽略对 8符号的判断.例 3：等比数列的四个数之积为
2、16，中间两个数之和为 5，则该数列的公比的取值为（ ）A. 41或 4 B. 41或 835 C. 4 或 84153 D. 4 或 1或 835或 8415错解：设这四个数为 qa,3， aq， aq3.由题意得 ),2(564aq由得 a=，代入得q=或 q2=2.q2= 41或 q2=4，故所求的公比为 41或 4，故应选 A.上述解答设等比数列的公比为 2q是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件，而题设中的四个数不一定同号.因此，产生了漏解现象.【分析】设这四个数为 a， aq， aq2， aq3，则 ,5,1623aq，解之得83415或或q或3.因此，应选 D.1、已知首项
3、为负数的等比数列 na中， 2435462a，那么 35a的值为 .【分析】根据等比数列的性质可得 23，又 01，则 0，所以53a.2、已知数列 an是等差数列， bn是等比数列，其中 a1 b11， a2 b2，且 b2为 a1， a2的等差中项， a2为 b2， b3的等差中项，求数列 an与 bn的通项公式由定义可知只有同号的两数才有等比中项，而等比数列相邻项之间，可正可负，但等差数列中，等差中项无此限制.易爆警示雷区 2：忽视等比数列中公比的分类讨论例 4：设等比数列 na的前项和为 nS，若 963S，则数列的公比为 .错解：由 963S，得 qaqa1)()(1)(91，016
4、9q，即)(3， q，所以 6， .等比数列 na中， qaSnn1)(，其 1，而 q时，仍为等比数列.例 5：在等比数列 na中， nS为其前项和，且 3Sa，求它的公比.错解：313()=qa，解得 21q. 知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比是否等于 1 进行讨论，导致失误.【分析】当 1q时，数列 na为常数列，故 3aS成立；当 1q时，33()=aS，解得 21q.故 或 1.3、数列 na中， 1， 2a，数列 1na是公比为（ 0q）的等比数列，求数列的前 2项的和 nS2【分析】由数列 1na是公比为的等比数列，得 qaann212，这表明数列na的所有奇数项成
5、等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是，又 1， 2，当 1q时， nS2 naa214321 )()( 63 qqannn1)(1)2，当 时， nS2 naaa214321 )()( 631na )4、已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为，则的取值范围是 .与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为 0，等比数列的其前项和 nS为分段函数，其中当 1q时， 1nSa.而这一点正是我们解题中被忽略的.雷区 3：用错了等差、等比数列的相关公式与性质易爆警示例 6：已知等差数列 na的前 m项和为 30，前 2项和为 100，求它的前 m3项和 3S.错解
6、：由等差数列性质知， 23,mS成等差数列，可得 1703S. 基础不实，记错性质.【分析】由等差数列性质可知， mm232,成等差数列，则 23m.5、在由正数组成的等比数列 na中，设 105ax， 132ay，则与 y的大小关系是 .【分析】 )1(831qyx，当 时， ；当 q时， 03而08q， ；当 时， 3而 8， yx，故 yx.等差、等比数列各自有一些重要公式和性质，这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向.解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明.1、已知等比数列
7、 na中， 21，则其前 3 项和 3S的取值范围是（ ）A., B.,0, C.3, D.3【分析】设公比为，则 31Sq，当 0时， 31123Sqq，即3S；同理可得当 0q时， 3.2、已知方程 2xm和 20xn的四个根组成一个首项为 14的等差数列，则mn=（ ） 易爆警示A、1 B、 34 C、 12 D、 383、等比数列 na中， 1,973a，则 5的值为（ ）A.3 或 B.3 C. 3 D.不存在【分析】由等比中项可知， 7325，且 75,a同号，故 53.4、在数列 na中， ,141na，则使 02n成立的值是（ ）A.21 B.22 C.23 D.24【分析】由
8、已知得 321n， 324)(14nn ， 2na =324n 00， 20,)(0，因此 ，选 A.5、等差数列 na中， 2321a， 780198a，则此数列前 20 项和等于（ ）A.160 B180 C. 200 D220【分析】由 24321a，可得 243a，由 7820198a，可得 78319a，即 82a， 619，则 )(102)(019212S. 6、若 dcb,成等比数列，则下列三个数： dcba,； cdba,；，必成等比数列的个数为（ ）A.3 B2 C. 1 D0【分析】当 dcba,成等比数列，且公比为 1时， dcba,不为等比数列，当公比为 1 时， 不为
9、等比数列，故选 C.7、已知数列 n是非零等差数列，又 931,组成一个等比数列的前三项，则1042931a .8、已知数列 na的首项为 2，前项和为 nS，且对任意的正整数， na是 43S与125S的等差中项（ ） ，求证：数列 a是等比数列.【分析】当 时， n43125n，即 1125)( nnnS，得到 21nS，又 1a，则有 而 ,211aann ，所数列na是公比为 的等比数列. 9、已知 S是等比数列 na的前项和， 693,S成等差数列.（1）求数列 n的公比；（2）证明： 582,成等差数列.（2）证明：由（1）知， 1236q， 7161415 2)(qaaqa， 78， 852，即 58,成等差数列.10、已知数列 n是首项为且公比不等于 1 的等比数列， nS是其前项和， 1a， 72， 43成等差数列.证明： 31S， 6， 612S成等比数列.【分析】证明：由 1a， 72， 43成等差数列，得 74a143，即 36aq.变形得 0)(43q，所以 1q或 3 (舍去)，由 362S=,1621)(23361qa612S= 1)(61212qa16q，得 362S= 612，所以 312S，6， 612成等比数列.
