1、浙江省 11 市 2015 年中考数学试题分类解析汇编（20 专题）专题 11：四边形问题江苏泰州鸣午数学工作室 编辑1. （2015 年浙江湖州 3 分）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O 是ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG，点 F，G 分别在 AD，BC 上，连结 OG，DG，若OGDG，且O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是 【 】A. CD+DF=4 B. 23CDF C. 234BCA D. 2BCA【答案】A.【考点】折叠问题；正方形的判定和性质；矩形的判定和性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；
2、切线的性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，过点 O 分别作 AD、AB、BC 的垂线，垂足分别是 N、P、M，OE 与 AC 交于点 S.则四边形 BMOP 是正方形，四边形 ANOP 是矩形.O 的半径长为 1， 1BMO.设 ,CDxyFz ，由折叠知，OG=DG， 09MG，OGDG， 0OCGD. AS . 1,OMCDx . 2yBx，即 2y.又O 是ABC 的内切圆， 12ASPxyx 22ACB，即 22xyxy.联立，解得 13y.由折叠知， OFDz，又 13, 3123NMNFADFzz ， 22，即 223zz，解得 4z.A. 54CDFx，选
3、项结论不成立；B. 23z，选项结论成立； C. BAyx，选项结论成立； D. C，选项结论成立 .故选 A.2. （2015 年浙江金华 3 分）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于O ，EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，H，则 的值是【 】EFA. 26 B. 2 C. 3 D. 2【答案】C.【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用.【分析】如答图，连接 ， 与 交于点 .AC,E FM则根据对称性质， 经过圆心 ，O 垂直 平分 ， .01ACEF32不妨设正方形 ABCD
4、的边长为 2，则 .AC2 是O 的直径， .AC0E9在 中， ，RtE3cos62.1sin2在 中， ， .tMC0FAC312MCEsinA易知 是等腰直角三角形， .GHGF2又 是等边三角形， .AEE6 .F632故选 C.3. （2015 年浙江宁波 4 分） 如图， ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件，使ABE CDF，则添加的条件不能为【 】A. BE=DF B. BF=DE C. AE=CF D. 1=2【答案】C.【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定. 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定对各选项进行分析，作出判断：四边形是
5、平行四边形，ABCD，AB=CD.ABE =CDF.若添加 BE=DF，则根据 SAS 可判定ABECDF；若添加 BF=DE，由等量减等量差相等得 BE=DF，则根据 SAS 可判定ABECDF；若添加 AE=CF，是 AAS 不可判定 ABECDF；若添加1=2，则根据 ASA 可判定ABECDF.故选 C.4. （2015 年浙江衢州 3 分）如图，在 YABCD 中，已知 12,8,ADcmBAE 平分 BD交BC于点 E，则 的长等于【 】A. 8cm B. 6c C. 4cm D. 2c【答案】C【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定和性质【分析】四边形 ABCD 是平行四边形
6、， /,ADBC. DAEB.又 AE平分 B， E. . . 12,8Dcm， 12,8cm . 4Ccm.故选 C.5. （2015 年浙江衢州 3 分）如图，已知某广场菱形花坛 ABD的周长是 24 米， 60BAD，则花坛对角线 AC的长等于【 】A. 63米 B. 6米 C. 3米 D. 3米【答案】A.【考点】菱形的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】菱形花坛 ABCD的周长是 24， 6AB， CAD， B. 60， 30. 2cos2（米）.故选 A.6. （2015 年浙江台州 4 分）如果将长为 6cm，宽为 5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不
7、可能是【 】A.8cm B. 52cm C.5.5cm D.1cm【答案】A.【考点】折叠问题；矩形的性质；勾股定理；实数的大小比较.【分析】将长为 6cm，宽为 5cm 的长方形纸片折叠一次，折痕的长最长的是对角线.长为 6cm，宽为 5cm，对角线长 （cm）.26518cm cm，这条折痕的长不可能是 8cm.61故选 A.7. （2015 年浙江台州 4 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=8，点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE=AF，过点 E 作 EGAD 交 CD 于点 G，过点 F 作 FHAB 交 BC 于点 H，EG 与 FH 交于点 O，当四边形 AEOF 与四
8、边形 CGOH 的周长之差为 12 时，AE 的值为【 】A.6.5 B.6 C.5.5 D.5【答案】C.【考点】菱形的判定和性质；方程思想的应用.【分析】易知，四边形 AEOF 和四边形 CGOH 都是菱形，设 AE= ，CG= ，xy在菱形 ABCD 中，AB=8 ， .8xy四边形 AEOF 与四边形 CGOH 的周长之差为 12， .412xy， ，即 AE 的值为 5.5. + 4215.x故选 C.8. （2015 年浙江温州 4 分） 如图，C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，连结 AC，BC ，分别以 AC，BC 为边向外作正方形 ACDE，BCFG，DE ，FG， 的
9、中点分别是 M，N，P，Q. 若ABC ，MP+NQ=14，AC+BC=18，则 AB 的长是【 】A. 29 B. 790 C. 13 D. 16【答案】C.【考点】正方形的性质；垂径定理；梯形的中位线定理；方程思想、转换思想和整体思想的应用.【分析】如答图，连接 OP、OQ，DE，FG ， 的中点分别是 M，N ，P，Q ，ACB ，点 O、P、M 三点共线，点 O、Q 、N 三点共线.ACDE，BCFG 是正方形，AE=CD=AC，BG=CF=BC.设 AB= ，则 .2r,Prr 点 O、M 分别是 AB、ED 的中点，OM 是梯形 ABDE 的中位线. ，即 .111222AEBDC
10、BACB12MPrACB同理，得 .NQrA两式相加，得 32MPr.MP+NQ=14，AC+BC=18， .148213rr故选 C.1. （2015 年浙江杭州 4 分）如图，在四边形纸片 ABCD 中，AB=BC，AD=CD，A=C=90，B=150，将纸片先沿直线 BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为 2 的平行四边形，则 CD= 【答案】 23或 42.【考点】剪 纸 问 题 ； 多 边 形 内 角 和 定 理 ； 轴 对 称 的 性 质 ； 菱 形 、 矩 形 的 判 定 和 性 质 ； 含 30 度 角 直
11、角三 角 形 的 性 质 ； 相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ； 分 类 思 想 和 方 程 思 想 的 应 用 . 【分析】四边形纸片 ABCD 中，A=C=90 ，B=150，C=30.如 答 图 ， 根 据 题 意 对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形：如 答 图 1， 剪痕 BM、BN，过点 N 作 NHBM 于点 H，易证四边形 BMDN 是菱形，且 MBN=C=30.设 BN=DN= x，则 NH= 12x.根据题意，得 ，BN =DN=2， NH=1.易证四边形 BHNC 是矩形， BC=NH=1. 在 RtBCN中，CN= 3.CD= 23.如 答 图 2，
12、 剪痕 AE、CE，过点 B 作 BHCE 于点 H，易证四边形 BAEC 是菱形，且BCH =30.设 BC=CE = x，则 BH= 12x.根据题意，得 ，BC =CE =2， BH=1.在 RtBCH中，CH= 3，EH = 3.易证 DE ， CBEH，即 21D. 24233.综上所述，CD= 23或 42.2. （2015 年浙江湖州 4 分）已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1，以 A1C1 为边向右作正方形A1C1C2D2，延长 C2D2 到 A2，以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3(如图所示) ，以此类推，若 A1C1=2，且点A，
13、D 2， D3，D 10 都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10 的边长是 【答案】8732.【考点】探索规律题（图形的变化） ；正方形的性质；相似三角形的判定和性质.【分析】如答图，设 AD10 与 A1C1 相交于点 E，则 121DE ， 12D.设 1Ax，AD 1=1，A 1C1=2， 211,AEx . 23x.易得 12DE ， 2132DA.设 32Ay，则 2y， 3y即2123CDA.同理可得，31414522,C 正方形 A9C9C10D10 的边长是981073C.3. （2015 年浙江金华 4 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OBCD 的边 OB 在 轴
14、正半轴上，反比例函x数 的图象经过该菱形对角线的交点 A，且与边 BC 交于点 F. 若点 D 的坐标为（6，8），则点ky(x0)F 的坐标是 【答案】 .8123 ，【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；菱形的性质；中点坐标；方程思想的应用.【分析】菱形 OBCD 的边 OB 在 轴正半轴上，点 D 的坐标为（6，8），x .点 B 的坐标为（10，0），点 C 的坐标为（16，8）.2ODC681菱形的对角线的交点为点 A，点 A 的坐标为（8，4） .反比例函数 的图象经过点 A， .ky(x0)k432反比例函数为 .32设直线 的解析式为 ， .B
15、Cymxnm16n83040直线 的解析式为 .43联立 .40x12y382y点 F 的坐标是 .13 ，4. （2015 年浙江丽水 4 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 AECF 都是菱形，点 E，F 在 BD 上，已知BAD=120，EAF=30 ，则 = .AEB【答案】 . 62【考点】菱形的性质；等腰直角三角形和含 30 度角直角三角形的性质；特殊元素法的应用.【分析】如答图，过点 E 作 EHAB 于点 H，四边形 ABCD 与四边形 AECF 都是菱形，BAD=120，EAF=30 ，ABE =30，BAE=45 .不妨设 ，2AE在等腰 中， ；在 中， .RtH1AE
16、RtBEH3 . .31B362B5. （2015 年浙江宁波 4 分）命题“对角线相等的四边形是矩形”是 命题（填“真”或“假” ）【答案】假.【考点】命题的真假判定；矩形的判定. 【分析】根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形才是矩形，而对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等，故命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.6. （2015 年浙江宁波 4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD =12，过点 A，D 两点的O 与 BC 边相切于点 E，则O 的半径为 w【答案】 .254【考点】矩形的性质；垂径定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接 EO 并延长交 AD
17、于点 H，连接 AO，四边形 ABCD 是矩形，O 与 BC 边相切于点 E， EHBC，即 EHAD. 根据垂径定理，AH=DH.AB=8，AD=12 ，AH=6，HE=8.设O 的半径为 ，则 AO= ， .rr8OHr在 中，由勾股定理得 ，解得 .RtAH22654rO 的半径为 .2547. （2015 年浙江绍兴 5 分） 在 RtA BC 中，C=90，BC=3，AC=4，点 P 在以 C 为圆心，5 为半径的圆上，连结 PA，PB. 若 PB=4，则 PA 的长为 【答案】3 或 73.【考点】矩形的判定和性质；勾股定理；分类思想的应用.【分析】如答图，分两种情况：当点 P 与
18、点 A 在 BC 同侧时，BACP 1 是矩形，P 1A=BC=3；当点 P 与点 A 在 BC 异侧时，P 2EAP1 是矩形，P 1A= 2387.PA 的长为 3 或 7.8. （2015 年浙江台州 5 分） 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形 ABCD 内（包括正方形的边） ，当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为 【答案】 .21【考点】面动旋转问题；正方形和正六边形的性质；数形结合思想的应用.【分析】如答图，当这个正六边形的中心与点 O 重合，两个对点刚好在正
19、方形两边中点，这个六边形的边长最大，此时，这个六边形的边长为 .12当顶点 E 刚好在正方形对角线 AC 的 AO 一侧时，AE 的值最小，最小值为.1OA29. （2015 年浙江义乌 4 分）在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=4，点 P 在以 C 为圆心，5 为半径的圆上，连结 PA，PB. 若 PB=4，则 PA 的长为 【答案】3 或 73.【考点】矩形的判定和性质；勾股定理；分类思想的应用.【分析】如答图，分两种情况：当点 P 与点 A 在 BC 同侧时，BACP 1 是矩形，P 1A=BC=3；当点 P 与点 A 在 BC 异侧时，P 2EAP1 是矩形，P 1A= 2
20、387.PA 的长为 3 或 7.10. （2015 年浙江义乌 4 分）在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=4，点 P 在以 C 为圆心，5 为半径的圆上，连结 PA，PB. 若 PB=4，则 PA 的长为 【答案】3 或 73.【考点】矩形的判定和性质；勾股定理；分类思想的应用.【分析】如答图，分两种情况：当点 P 与点 A 在 BC 同侧时，BACP 1 是矩形，P 1A=BC=3；当点 P 与点 A 在 BC 异侧时，P 2EAP1 是矩形，P 1A= 2387.PA 的长为 3 或 7.11. （2015 年浙江义乌 4 分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1 的正方
21、形 ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（ a， ）.如图，若曲线 3(0)yx与此正方形的边有交点，则 a的取值范围是 【答案】 31a.【考点】反比例函数的性质；正方形的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】根据题意，当点 A 在曲线 3(0)yx上时， a取得最大值；当点 C 在曲线 3(0)yx上时，a取得最小值.当点 A 在曲线 ()x上时， 23（舍去负值）.当点 C 在曲线 30y上时，易得 C 点的坐标为 1a， ， 2111aaa（舍去负值）.若曲线 ()yx与正方形的边有 ABCD 交点， 的取值范围是 31a.1. （2015 年
22、浙江嘉兴 8 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 上，AF=DE，AF 和 DE 相交于点 G. （1）观察图形，写出图中所有与AED 相等的角；（2）选择图中与AED 相等的任意一个角，并加以证明.【答案】解：（1）与AED 相等的角有 ,DAGFBCE .（2）选择 AEFB：正方形 ABCD 中， 09,A，又AF=DE， ADEBFS . AEDFB.【考点】开放型；正方形的性质；平行的性质；全等三角形的判定和性质.【分析】 （1）观察图形，可得 结果.（2）答案不唯一，若选择 AEFB，则由 AEBFS 可得结论；若选择 DC，则由正方形 ABCD 得到
23、ABCD，从而得到结论；，若选择 G，则一方面，由 D 可得 AEDFB，另一方面，由正方形 ABCD 得到 ADBC，得到 AFB，进而可得结论2. （ 2015 年浙江嘉兴 14 分） 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.（1）概念理解：如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件，使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；（2）问题探究：小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；如图 2，小红画了一个 RtABC，其中ABC =90，AB=2，BC=1，并将 RtABC 沿B 的平分线
24、 B方向平移得到 ABCV，连结 ABC， . 小红要使平移后的四边形 AC是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段 的长）？（3）应用拓展：如图 3， “等邻边四边形” ABCD 中，AB=AD ，BAD+BCD=90，AC ，BD 为对角线， 2ACB.试探究BC，CD，BD 的数量关系.【答案】解：（1） DAB（答案不唯一）.（2）正确.理由如下：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形.四边形是“等邻边四边形” ，这个四边形有一组邻边相等.这个四边形是菱形.ABC=90，AB =2，BC=1， 5AC.将 RtABC 平移得到 BV， BA， ， 2,1,5BAC .i）如答
25、图 1，当 2时， A；ii）如答图 2，当 5C时， 5；iii）如答图 3，当 AB时，延长 CB交 于点 D，则 CBA. B平分 ， 01452AR.设 Dx，则 ,CDxx .在 Rt中， 22B， 2215x，解得 12,x（不合题意，舍去）. B.iv）如答图 4，当 CAB时，同 ii）方法，设 BDx，可得 22D，即 221x，解得 12717,x （不合题意，舍去）. 4B.综上所述，要使平移后的四边形 ABC是“等邻边四边形”，应平移 2 或 5或 或142的距离.（3）BC，CD，BD 的数量关系为 22BCD.如答图 5， ABD，将 AV绕点 A 旋转到 FV.
26、CF . ,BDCBCD . ,1AB. ACFV . 2F. F. 036DBC+， 0 0036927BADB+. 27AF. 09F. 22 2C.【考点】新定义；面动平移问题；菱形的判定；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质；多边形内角和定理；勾股定理；分类思想和方程思想的应用.【分析】 （1）根据定义，添加 AB或 CD或 A或 B即可（答案不唯一）.（2）根据定义，分 2， 5， 5C， 2CAB四种情况讨论即可.（3）由 ABD，可将 AV绕点 A 旋转到 BFV，构成全等三角形： DFV ，从而得到 ,FCFCD ，进而证明 AB 得到 2
27、B，通过角的转换，证明 09，根据勾股定理即可得出 22C.3. （2015 年浙江金华 8 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，且 AF=AD，过点 D 作 DEAF，垂足为点 E.（1）求证：DE=AB；（2）以 D 为圆心，DE 为半径作圆弧交 AD 于点 G，若 BF=FC=1，试求 的长.EG【答案】解：（1）证明：DEAF ，AED=90.又四边形 ABCD 是矩形， ADBC，B=90.DAE=AFB，AED= B=90.又AF=AD， ADE FAB（AAS）.DE=AB.（2）BF=FC=1，AD=BC=BF+FC=2.又ADE FAB，AE=BF=1.在
28、 RtADE 中，AE= AD. ADE=30.12又DE= ，22ADE3 .nR30EG186【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质；含 30 度角直角坐标三角形的性质；勾股定理；弧长的计算.【分析】 （1）通过应用 AAS 证明ADEFAB 即可证明 DE=AB.（2）求出ADE 和 DE 的长即可求得 的长.EG4. （2015 年浙江丽水 10 分） 如图，在矩形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BE 上的一点，连结 CF 并延长交 AB 于点 M，MN CM 交射线 AD 于点 N.（1）当 F 为 BE 中点时，求证：AM=CE；（2）若 2BECA，求 NDA的
29、值；（3）若 n，当 为何值时，MNBE？【答案】解：（1）证明：F 为 BE 中点，BF=EF.ABCD ，MBF= CEF，BMF=ECF.BMFECF （AAS ）. MB=CE.AB=CD，CE=DE，MB=AM. AM=CE.（2）设 MB= ，aABCD ，BMFECF. .EFCBM ， . .2EFB2CMa .4,3ADA ， .22aMNMC，A=ABC=90 ， AMNBCM. ，即 . .ANMBC32Aa331,2NDa .321D（3）设 MB= ，a ，由（2）可得 .ABEFnC2,BCaEn 当 MNBE 时，CM BE.可证MBCBCE. ，即 .M2an
30、.4n当 时，MNBE.【考点】探究型问题；矩形的性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质. 【分析】 （1）应用 AAS 证明BMFECF 即可易得结论 .（2）证明BMFECF 和 AMNBCM，应用相似三角形对应边成比例的性质即可得出结果.（3）应用（2）的一结结果，证明MBC BCE 即可求得结果 .5. （2015 年浙江衢州 12 分）如图，在 ABC中， 275,9,ABCS ，动点 P从 A点出发，沿射线 AB方向以每秒 5 个单位的速度运动，动点 Q从 点出发，以相同的速度在线段 上由 C向 运动，当 Q点运动到 点时， P、 两点同时停止运动. 以 P为边作正方
31、形 QEF（ F、 、 、 按逆时针排序） ，以 C为边在 上方作正方形 CGH.（1）求 tanA的值；（2）设点 P运动时间为 t，正方形 PQEF的面积为 S，请探究 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当 t为何值时，正方形 的某个顶点（ 点除外）落在正方形 QCGH的边上，请直接写出 t的值【答案】解：（1）如答图 1，过点 B作 MAC于点 ， 279,ACS ， 12BS， 27，解得， 3.又 5,B根据勾股定理，得 22534AM. 3tan4BMA.（2）存在.如答图 2，过点 P作 NAC于点 ，经过时间 t， 5Qt 3an4A， ,Nt
32、Pt . 9QCQt.根据勾股定理，得， 222390168Ntttt， 2901680a，且 291ba在 t的取值范围内，22408640cS最 小 值. 存在最小值？若存在，这个最小值是 1.（3）当 914t或 或 1 或 97秒时，正方形 PQEF的某个顶点（ 点除外）落在正方形QCGH的边上.【考点】双动点问题；勾股定理；锐角三角函数定义；二次函数最值的应用；分类思想的应用【分析】 （1）作辅助线“过点 B作 MAC于点 ”构造直角三角形 ABM，根据已知求出 B和应用AM的长，即可根据正切函数定义求出 3tan4B（2）根据 2SPQ求得 S关于 的二次函数，应用研究二次函数的最
33、值原理求解即可（3）分四种情况讨论：当点 E在 HG上时，如答图 3， 194t；当点 F在 GH上时，如答图4， 291t；当点 在 上（或点 在 C上）时，如答图 5， ；当点 在 C上时，如答图6， 7.6. （2015 年浙江绍兴 12 分）某校规划在一块长 AD 为 18m，宽 AB 为 13m 的长方形场地 ABCD 上，设计分别与 AD，AB 平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮.（1）如图 1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比 AM：AN=8：9，问通道的宽是多少？（2）为了建造花坛，要修改（1）中的方案，如图
34、2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的 2 倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为 8m，这样能在这些草坪建造花坛。如图 3，在草坪 RPCQ 中，已知 REPQ 于点 E，CF PQ 于点 F，求花坛 RECF 的面积.【答案】解：（1）设通道的宽是 xm，AM= 8ym，AM：AN=8：9，AN= 9m. 24183xy，解得123xy.答：通道的宽是 1m.（2）四块相同草坪中的每一块有一条为 8 m，若 RP=8，则 AB13，不合；若 RQ=8，适合.纵向通道的宽为 2m，横向通道的宽为 2m，RP=6.REPQ，四边形 RPCQ 是长方形，PQ=10. REP
35、Q68.RE=4.8. 22，即 24.PE，解得 PE=3.6.同理可得 QF=3.6.EF=2.8. RECFS4.8213.4，即花坛 RECF 的面积为 13.44 m2.【考点】二元一次方程组的应用（几何问题） ；矩形和平行四边形的性质；勾股定理.【分析】 （1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解. 本题设通道的宽是xm，AM= 8ym，AN= 9m，等量关系为：长 AD 为 18m，宽 AB 为 13m.（2）求出 EF 和 RE 的长，即可求出花坛 RECF 的面积.7. （2015 年浙江绍兴 12 分）正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有公共顶点
36、A，将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG=，其中 0180，连结 DF，BF，如图.（1）若 =0，则 DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例） ，说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由.【答案】解：（1）证明：如答图 1，正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中，GF=EF，AG=AE，AD=AB，DG=BE.又DGF= BEF=90，DGF BEF（SAS）.DF=BF.（2）反例图形如答图 2：（3）不唯一，如点 F 在正方形 ABC
37、D 内，或 180.【考点】开放型；正方形的性质；原命题和逆命题；真命题和假命题【分析】 （1）由正方形的性质，通过 SAS 证明DGFBEF，从而得到结论.（2） （1）中命题的逆命题是：若 DF=BF，则 =0，它是假命题的反例是 =180的情况.（3）限制点 F 范围或 的范围即可.8. （2015 年浙江温州 14 分）如图，点 A 和动点 P 在直线 l上，点 P 关于点 A 的对称点为 Q，以 AQ 为边作RtABQ，使BAQ=90 ，AQ:AB=3:4，作ABQ 的外接圆 O. 点 C 在点 P 右侧，PC=4 ，过点 C 作直线m l，过点 O 作 OD m于点 D，交 AB
38、右侧的圆弧于点 E。在射线 CD 上取点 F，使 DF= 23CD，以DE，DF 为邻边作矩形 DEGF，设 AQ= x3（1）用关于 x的代数式表示 BQ，DF；（2）当点 P 在点 A 右侧时，若矩形 DEGF 的面积等于 90，求 AP 的长；（3）在点 P 的整个运动过程中，当 AP 为何值时，矩形 DEGF 是正方形？作直线 BG 交O 于另一点 N，若 BN 的弦心距为 1，求 AP 的长（直接写出答案）【答案】解：（1）在 RtABQ 中，AQ：AB=3：4，AQ= ，AB= .BQ= .3x4x5又OD ， ，OD .mllOB=OQ， AH=BH= AB= .FD= CD=
39、.12x32x（2）AP=AQ= ，PC=4 ，CQ= .3x64如答图 1，过点 O 作 OMAQ 于点 M，OMAB.O 是ABQ 的外接圆，BAQ=90，点 O 是 BQ 的中点QM=AM= .32xOD=MC= .OE= BQ= .942x15ED= . .32490DEGFSx矩 形解得 （舍去）.AP= .123,5x x（3）若矩形 DEGF 是正方形，则 ED=FD.当点 C 在点 Q 的右侧时，i）如答图 1，点 P 在点 A 的右侧时，由 解得 ，243x4xAP= .ii）点 P 在点 A 的左侧时，（I）如答图 2， 时，407xED= ，FD= ，由 解得 ，4733
40、x25AP= .635x（II）如答图 3， 时，27xED= ， DF= ，4由 解得 （舍去）. x1当点 C 在点 Q 的左侧时，即 ，如答图 4，23xDE= ， DF= ，74x由 解得 . 31AP= .3x综上所述，当 AP 为 12 或 或 3 时，矩形 DEGF 是正方形.65AP 的长为 或2719【考点】单动点和中心对称问题；列代数式；平行的判定和性质；圆周角定理；矩形的性质；正方形的判定；等腰直角三角形的判定和性质方程思想、分类思想和数形结合思想的应用.【分析】 （1）根据 AQ：AB=3：4 和平行的性质求解.（2）把 DF，DE 用 的代数式表示，即可由矩形 DEG
41、F 的面积等于 90 列议程求解.x（3）根据 ED=FD 时矩形 DEGF 是正方形，分点 C 在点 Q 的右侧，点 C 在点 Q 的左侧的情况分类讨论，其中点 C 在点 Q 的右侧又分点 P 在点 A 的右侧，点 P 在点 A 的左侧（再分 和 ）407x23x讨论.如答图 5、6，连接 NQ，由点 N 到 BN 的弦心距为 1 得 NQ=2.如答图 5，当点 N 在 AB 的左侧时，过点 B 作 BMEG 于点 M，GM= ，BM= ，GBM=45.xBMAQ.AI=AB= .IQ= .4xNQ= ，解得 .AP= .2x2362x如答图 6，当点 N 在 AB 的右侧时，过点 B 作
42、BJGE 于点 J，GJ= ，BJ= ，tanGBJ= .x414AI= .QI= .NQ= ，解得 .AP= .169x27x179x61739x综上所述，AP 的长为 或 .6199. （2015 年浙江义乌 10 分）某校规划在一块长 AD 为 18m，宽 AB 为 13m 的长方形场地 ABCD 上，设计分别与 AD，AB 平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮.（1）如图 1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比 AM：AN=8：9，问通道的宽是多少？（2）为了建造花坛，要修改（1）中的方案，如图 2，将三条通道改为两条通道
43、，纵向的宽度改为横向宽度的 2 倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为 8m，这样能在这些草坪建造花坛。如图 3，在草坪 RPCQ 中，已知 REPQ 于点 E，CF PQ 于点 F，求花坛 RECF 的面积.【答案】解：（1）设通道的宽是 xm，AM= 8ym，AM：AN=8：9，AN= 9m. 24183xy，解得123xy.答：通道的宽是 1m.（2）四块相同草坪中的每一块有一条为 8 m，若 RP=8，则 AB13，不合；若 RQ=8，适合.纵向通道的宽为 2m，横向通道的宽为 2m，RP=6.REPQ，四边形 RPCQ 是长方形，PQ=10. REPQ68.RE=4.8. 2
44、2，即 24.PE，解得 PE=3.6.同理可得 QF=3.6.EF=2.8. RECFS4.8213.4，即花坛 RECF 的面积为 13.44 m2.【考点】二元一次方程组的应用（几何问题） ；矩形和平行四边形的性质；勾股定理.【分析】 （1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解. 本题设通道的宽是xm，AM= 8ym，AN= 9m，等量关系为：长 AD 为 18m，宽 AB 为 13m.（2）求出 EF 和 RE 的长，即可求出花坛 RECF 的面积.10. （2015 年浙江义乌 10 分）正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有公共顶点 A，将正方形 AEFG
45、绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG=，其中 0180，连结 DF，BF，如图.（1）若 =0，则 DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例） ，说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由.【答案】解：（1）证明：如答图 1，正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中，GF=EF，AG=AE，AD=AB，DG=BE.又DGF= BEF=90，DGF BEF（SAS）.DF=BF.（2）反例图形如答图 2：（3）不唯一，如点 F 在正方形 ABCD 内，或 180.【考点】开放型；正方形的性质；原命题和逆命题；真命题和假命题【分析】 （1）由正方形的性质，通过 SAS 证明DGFBEF，从而得到结论.（2） （1）中命题的逆命题是：若 DF=BF，则 =0，它是假命题的反例是 =180的情况.（3）限制点 F 范围或 的范围即可.11. （2015 年浙江义乌 12 分）在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 OABC 的顶点 A 在 x轴的正半轴上，OA=4， OC=2，点 P、点 Q 分别是边 BC、边 AB 上的点，连结 AC，PQ，点 B1 是点 B 关于 PQ
