1、二年名校模拟一年权威预测【模拟演练】1.(2012苏州模拟)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则抛物线的标准方程是_.2.(2012南京模拟)若抛物线 y2=2x 上的一点 M 到坐标原点的距离为 3， 则 M 到该抛物线焦点的距离为_.3.(2012南京模拟)若椭圆2x1ab(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，线段 F1F2被抛物线 y2=2bx 的焦点 F 分成 53 的两段，则此椭圆的离心率为_.4.(2012宿迁模拟)抛物线 y=ax2的准线方程为 y=1，则实数 a=_.5.(2012无锡模拟)设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 A(0，2)，连接 FA
2、 交抛物线于点 B，过 B 作 l 的垂线，垂足为 M，若 AMMF，则 p 的值为_.6.(2012连云港模拟)点 P 在抛物线 x2=4y 的图象上，F 为其焦点，点 A(-1，3)，若使|PF|+|PA|最小，则相应点 P 的坐标为_.7.(2012盐城模拟)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面 2 米时，测量水面宽为 8 米，当水面上升 12米后，水面的宽度是 _米.8.(2012扬州模拟)抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是_.9.(2012南京模拟)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F，准线与 y 轴的交点为 M，N 为抛物线上的一点，且|NF|= 32|M
3、N|，则NMF=_.10.(2012盐城模拟)已知抛物线 C：y 2=2px(p0)的准线为 l，焦点为 F.M 的圆心在 x 轴的正半轴上，且与 y 轴相切.过原点 O 作倾斜角为 3的直线 n，交 l 于点 A，交M 于另一点 B，且 AO=OB=2.(1)求M 和抛物线 C 的方程；(2)若 P 为抛物线 C 上的动点，求 PMFA的最小值；(3)过 l 上的动点 Q 向M 作切线，切点为 S，T，求证：直线 ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标.11.(2012黄冈模拟)如图，过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0，m)(m0)作直线与抛物线交于 A、B 两点，点 Q 是点 P
4、 关于原点的对称点.(1)设点 P 满足 ( 为实数)，证明： (A- QB)；(2)设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0，过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程.12.(2011温州模拟)拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线2xy1ab (a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为( 36， )，求拋物线与双曲线方程13.(2011天津模拟)如图，直线 y 12x 与抛物线 y 21x84 交于 A、B 两点，直线 l 与直线 y 12x 和 y5 分别交于 M、Q，且 AB0Q() ， (1)求点 Q 的坐标；(2)
5、当点 P 为抛物线上且位于线段 AB 下方(含点 A、B)的动点时，求OPQ 面积的最大值【高考预测】本节课的主要内容是抛物线的定义与标准方程、抛物线的几何性质以及直线和抛物线的位置关系.从近几年的高考来看，在填空题中主要考查抛物线的定义、标准方程及性质，在解答题中，考查直线和抛物线的位置关系，对本部分内容的命题点预测如表所示：命题点 题目抛物线的标准方程 5，6抛物线的定义及性质 1，2，3，4有关抛物线的综合问题 7，81已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P(m，2)到焦点的距离为4，则 m 的值为_.2.已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 P1(x1，y
6、 1)，P 2(x2，y 2)，P 3(x3，y 3)在抛物线上，且 2x2=x1+x3，则|P 1F|，|P 2F|与|P 3F|的关系为_.3.已知点 A(3，4)，F 是抛物线 y2=8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM|+|MF|最小时，M 点坐标是_.4.过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于a2+2a+3，则这样的直线的条数为_.5若抛物线 y22px 的焦点与双曲线2xy163 的右焦点重合，则 p 的值为_6.两个正数 a、b 的等差中项是 9， 一个等比中项是 5， 且 ab，则抛物线 y2=(b-a)x 的焦点坐标为
7、_.7.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24x 相交于不同的两点 A，B(1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OAB的值；(2)如果 OAB4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点8.已知抛物线 C 的焦点为 F( 12，0)，对应于这个焦点的准线方程为 x=- 12.(1)写出抛物线 C 的方程；(2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，O 点为坐标原点，求AOB 重心 G 的轨迹方程；(3)点 P 是抛物线 C 上的动点，过点 P 作圆(x-3) 2+y2=2 的切线，切点分别是 M，N.当 P 点在何处时，|MN|的值最小？并求出|MN|的最小值.答案
8、解析【模拟演练】1.【解析】根据焦点坐标在 x轴上，可设抛物线标准方程为 y2=2px(p0)， p2=2，p=4，抛物线标准方程为 y2=8x.答案：y 2=8x2.【解析】设 M点的坐标为(x 0，y 0)，则20x，由题意知2200y()3，解得y02=2，x 0=1，焦点坐标为( 12，0)，点 M到焦点的距离为22013().4答案： 33.【解析】由题意知，抛物线的焦点坐标为( b2，0)，且(c+ b2)(c- )=53，2b=c，即 4b2=c2，4(a 2-c2)=c2， 5e.答案： 54.【解析】抛物线 y=ax2化为标准方程为 x2=1ay，准线方程为 y= 14a=1
9、，解得 a= 1.4答案： 145.【解析】由抛物线定义可知|BM|=|BF|，又由平面几何知识得|BM|=|BA|，所以点 B为 AF的中点，又 B( p，1)在抛物线上，故 12=2p p4，即 p2=2.又 p0，故 p= 2.答案： 2【误区警示】在题中 y2=2px(p0)，已知 p的范围，若未标明，需仔细辨清.6.【解题指南】求解本题的关键是将|PF|+|PA|进行合理转化.【解析】由抛物线定义可知 PF的长等于点 P到抛物线准线的距离，所以过点 A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点为(-1， 14)，即为所求点 P的坐标，此时|PF|+|PA|最小.答案：(-1， 14)7.【解
10、析】建立平面直角坐标系如图所示，设开始时水面与抛物线的一个交点为 A，由题意可知 A(4，-2)，故可求得抛物线的方程为y= 21x8， 设水面上升后交点为 B，则点 B的纵坐标为 32， 代入抛物线方程 y= 2， 可求出 B点的横坐标为 ， 所以水面宽为43米 .答案：8.【解析】设抛物线上任一点为 P(x0，y 0)，则 P到直线的距离为200204x3(84x3y8d5()5当 02x3时， min4d.答案： 4【方法技巧】开口向上(下)的抛物线，实际就是二次函数的图象，注意函数方法的应用.9.【解析】过 N作准线的垂线，垂足为 H，则|NF|=|NH|= 32|MN|，cosMNH
11、= 32，MNH= 6， NMF= .6答案：10.【解析】(1)因为 p2=OAcos60=2 12=1，即 p=2，所以抛物线 C的方程为 y2=4x.设M 的半径为 r，则 r= OBcos60A=2，所以M 的方程为(x-2) 2+y2=4.(2)设 P(x，y)(x0)，则PMFA=(2-x，-y)(1-x，-y)=x 2-3x+2+y2=x2+x+2所以当 x=0时， PFA有最小值为 2.(3)以点 Q为圆心，QS 为半径作Q，则线段 ST即为Q 与M 的公共弦，设点 Q(-1，t)，则 QS2=QM2-4=t2+5，所以Q 的方程为(x+1) 2+(y-t)2=t2+5，从而直
12、线 ST的方程为 3x-ty-2=0 (*)因为 x3y0一定是方程(*)的解，所以直线 ST恒过一个定点，且该定点坐标为( 23，0).11.【解析】(1)依题意，可设直线 AB的方程为 y=kx+m，代入抛物线方程 x2=4y，得：x 2-4kx-4m=0 设 A、B 两点的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则 x1，x 2是方程的两根，所以，x 1x2=-4m.由点 P满足 AB( 为实数，-1)，得 12x0， 即 =2.又点 Q是点 P关于原点的对称点，故点 Q的坐标是(0，-m)，从而 QP=(0，2m).AB=(x1，y 1+m)-(x 2，y 2+m)=(x1-
13、x 2，y 1-y 2+(1-)m).()=2my 1-y 2+(1-)m22122122xxm()m4()x04AA ，所以 QP(B).(2)由 2xy104，得点 A、B 的坐标分别是(6，9)、(-4，4).由 x2=4y得 y= 2， y= x，所以，抛物线 x2=4y在点 A处切线的斜率为 y| x=6=3.设圆 C的方程是(x-a) 2+(y-b)2=r2，则 2222b91a63a4b， ，解得： 15br4.， ，所以，圆 C的方程是 223(x)(y).12.【解析】由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p2c，设抛物线方程为 y24cx.抛物线过点
14、( 36， )，64c 3.c1，故抛物线方程为 y24x.又双曲线2x1ab 过点( ， )， 296.4 又 a2b 2c 21， 22961.4a 或 a29(舍) 23b4 ， 故双曲线方程为2yx1.3 13.【解析】(1)联立 21yx48 ， ，解得 1x4y2 ， ， 或 2 ， ，即 A(4，2)，B(8，4) QMAB0 ，QMAB，又 1()2 ，M 是 AB的中点，即 M(2，1)l 是线段 AB的垂直平分线，又 kAB 12， l 的方程为 y12(x2)，即 2xy50，令 y5，得 x5，Q(5，5)(2)直线 OQ的方程为：xy0.由题意可设 P(x， 2184
15、)，4x8，且 O、P、Q 不共线，则点 P到直线 OQ的距离为：d22|x4|x83|.16 又|OQ| 5， 2 2OPQ 5Sd|x83|(x4)8|21616A ， 其中 x4，8 ，且O、P、Q 不共线，令 f(x)(x4) 248，则当 x4，8时，函数 f(x)单调递增又当 x4 时，|x 28x32|48，当 x8 时，|x 28x32|96.当 x8 时，(S OPQ )max 5169630.【高考预测】1 【解析】设标准方程为 x22py(p0)，由定义知 P到准线的距离为 4，故 p24，p4，方程为 x28y，代入 P点坐标得 m4.答案：4 或-42.【解析】2x
16、2=x1+x3， 2pp(x)()(x)2即 2|P2F|=|P1F|+|P3F|.答案：2|P 2F|=|P1F|+|P3F|3.【解析】由题知点 A在抛物线内.设 M到准线的距离为|MK|，则|MA|+|MF|=|MA|+|MK|，当|MA|+|MK|最小时，M 点坐标是(2，4).答案：(2，4)4.【解析】|AB|=x A+xB+p=a2+2a+5=(a+1)2+44，而通径的长为 4，故有 1条或 2条答案：1 或 2【误区警示】本题易忽略条数为 1的情况.5 【解析】双曲线2xy63 的右焦点 F(3，0)是抛物线 y22px 的焦点，所以p23，p6.答案：66.【解析】由题意可
17、得：a+b=9，ab=20，又 ab，解得 a=5，b=4，b-a=-1，故抛物线的焦点在 x轴负方向上，故焦点坐标为(- 14，0).答案：(- ，0)7.【解析】(1)由题意：抛物线焦点为(1，0)，设 l：xty1，代入抛物线 y24x，消去 x得 y24ty40，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 24t，y 1y24， OABx 1x2y 1y2(ty 11)(ty 21)y 1y2t 2y1y2t(y 1y 2)1y 1y24t 24t 2143.(2)设 l：xtyb，代入抛物线 y24x，消去 x得y24ty4b0，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y
18、2)，则 y1y 24t，y 1y24b， OABx 1x2y 1y2(ty 1b)(ty 2b)y 1y2t 2y1y2bt(y 1y 2)b 2y 1y24bt 24bt 2b 24bb 24b.令 b24b4，b 24b40，b2，直线 l 过定点(2，0)若 OAB4，则直线 l 必过一定点(2，0)8.【解析】(1)容易求得抛物线方程为 y2=2x.(2)当直线不垂直于 x轴时，设方程为 y=k(x- 1)，代入 y2=2x，得：k 2x2-(k2+2)x+2k4=0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1+x2= ，y1+y2=k(x1+x2-1)= .k设AOB 的重心为 G(x，y)，则2120x3yk，消去 k得 x39为所求 .当直线垂直于 x轴时，不妨令 A( 12，1)，B( ，-1)，AOB 的重心 G(1，0)也满足上述方程.综合得，所求的轨迹方程为 2yx.39(3)设已知圆的圆心为 Q(3，0)，半径 r= ，根据圆的性质有： 22MPQrNrP21.A当|PQ| 2最小时，|MN|取最小值，设 P点坐标为(x 0，y 0)，则 20x.|PQ|2=(x0-3)2+ -4x0+9=(x0-2)2+5，当 x0=2，y 0=2时，|PQ| 2取最小值 5，
