1、18.1 勾股定理（三）教学时间 第 3 课时三维目标一、知识与技能能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题二、过程与方法1经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识2在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神3在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识三、情感态度与价值观1在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心2在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯教学重点 将实际问题转化
2、为直角三角形模型教学难点 如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题教具准备 多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课活动 1问题：欲登 12 米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需多长的梯子？设计意图：勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用此活动让学生体验勾股定理在生活中的一个简单应用师生行为：学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型教师深入小组活动中，倾听学生的想法此活动，教师应
3、重点关注：学生能否将简单的实际问题转化为数学模型；学生能否利用勾股定理解决实际问题并给予解释；学生参加数学活动是否积极主动生：根据题意， （如图）AC 是建筑物，则 AC=12m，BC=5m，AB 是梯子的长度所以在 RtABC 中，AB 2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13m所以至少需 13m 长的梯子师：很好！由勾股定理可知，已知两直角边的长 a，b，就可以求出斜边 c 的长由勾股定理可得 a2=c2-b2或 b2=c2-a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长二、讲授新课活动 2问题：一个门框的尺
4、寸如图所示，一块长 3m，宽 2.2m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？设计意图：进一步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用，提高解决实际问题的能力师生行为：学生分组讨论、交流，教师深入学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径教师在此活动中应重点关注：学生能否独立思考，发现解决问题的途径比较 AC 与宽 2.2m 的大小即可；学生遇到困难，能否有克服的勇气和坚强的毅力生：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过生：在长方形 ABCD 中，对角线 AC 是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过师生共析：解：在 R
5、tABC 中，根据勾股定理 AC2=AB2+BC2=12+22=52因此 AC 52.236因为 AC木板的宽，所以木板可以从门框内通过活动 3问题：如图，一个 3m 长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为2.5m，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？设计意图：进一步熟悉如何将实际问题转化为数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力师生行为：学生独立思考后，在小组内交流合作教师深入到学生的数学活动中，倾听他们是如何将实际问题转化为数学问题的教师在此活动中应重点关注：学生克服困难的勇气和坚强的意志
6、力；学生用数学知识解决实际问题的意识生：梯子底端 B 随着梯子顶端 A 沿墙下滑而外移到 D，即 BD 的长度就是梯子外移的距离观察图形，可以看到 BD=OD-OB，求 BD 可以先求出 OB，OD师：OB，OD 如何求呢？生：根据勾股定理，在 RtOAB 中，AB=3m，OA=2.5m，所以 OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752OB1.658m（精确到 0.001m）在 RtOCD 中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以 OD2=CD2-OC2=32-22=5OD2.336m（精确到 0.001）BD=OD-OB=2.236-1.6580.58m（精确到 0.01m
7、） ，所以梯子顶端沿墙下滑 0.5m，梯子底端外移 0.58m活动 4问题：“执竿进屋”：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭有个邻居聪明者，教他斜竿对两角笨伯依言试一试，不多不少刚抵足借问竿长多少数，谁人算出我佩服当代数学教育家清华大学教授许莼舫著作古算题味设计意图：通过古代算题的研究，揭发学生学习数学的兴趣，进一步提高学习数学应用数学知识的能力师生行为：学生先独立思考，读懂题意，后小组交流、讨论、合作完成本活动教师深入到学生的数学活动中去，倾听学生理解题意，寻找解题思路的过程本活动教师应重点关注：学生能否积极主动地参与；学生能否运用勾股定理，借助方程（或方程组）解
8、决问题生：解：设竿长为 x 尺，门框的宽度为（x-4）尺，高度为（x-2）尺，根据题意和勾股定理，得x2=（x-4） 2+（x-2） 2化简，得 x2-12x+20=0，（x-10） （x-2）=0，x1=10，x 2=2（不合题意，舍去） 所以竿长为 10 尺三、巩固提高活动 5练习：1有一个边长为 50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长（结果保留整数） 2如下图，池塘边有两点 A，B，点 C 是与 BA 方向成直角的 AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出 A、B 两点间的距离吗？设计意图：进一步提高学生应用勾股定理解决问题的能力提高学生学习数
9、学的兴趣师生行为：由学生在黑板上板演，其他同学在练习本上完成，教师可巡视学生完成的情况，对程度较差的学生给予及时的辅导在本活动中，教师应重点关注：学生能否独立完成任务；学生解答的过程是否严格规范生：1解：设圆的直径为 xdm，根据勾股定理，得 502+502=x2，解得 x71所以圆的直径改为 71dm2解：如右图，在 RtABC 中，AC=20m，BC=60m，根据勾股定理，得AB2=BC2-AC2=602-202=3 200，AB=40 2所以 A，B 两点间的距离为 40 m四、课时小结活动 6问题：谈谈你这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形设计意图：通过本
10、节，让学生利用勾股定理，完成了将实际问题转化为直角三角形的数学模型的全过程师生行为：学生思考总结教师完善，得出结论：本节是从实际问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解决在活动 6 中，教师应重点关注：（1）学生能否从实际问题出发，将实际问题转化成直角三角形的问题，并用勾股定理完成解决，体验勾股定理的重要性；（2）完成是否积极主动地参与小结板书设计181 勾股定理（三）活动与探究一只蚂蚁如果沿长方体的表面从 A 点爬到 B 点，那么沿哪条路爬最近？你能帮它找出来吗？（这个长方体的长为 15 厘米，宽为 10 厘米，高为 20 厘米，点 B 离点 C5 厘米）过程：要求蚂蚁爬行的最短路
11、径，需将空间图形转化成平面图形，即将 A 和 B 所在的相邻的两个面展示，利用“两点之间，线段最短” ，就可求得结果：根据题意，最短路径有下列三种情况（如下图所示） 由图（1）求得 AB2=AB12+BB12=152+202=625；由图（2）求得 AB2=BC12+C1A2=252+102=725；由图（3）求得 AB2=AC2+BC2=302+52=925比较上面结果，可知最短路径应为 AB=25 厘米备课资料一、雅典凉席毕达哥拉斯平日生活简朴，他的一张雅典凉席（草编的带有绿方格的席子）已伴随他十几个春秋了，夏天又快到了，他的妻子将草席破损处剪去后，剩下一个不方不正的残片（如下图） “换一
12、张新的吧！”毕氏的妻子嘟哝着， “实在不能用了 ”正在一旁演算题目的毕氏放下手中的笔，看了看那块被妻子剪裁后的草席道：“把它裁裁拼拼还能用一夏天” 说完他想了一阵，便用手在席子上比划着说：“这样裁成 3块（如上图中粗线所示部分） ，便可将它们拼成一个正方形 ”毕氏说完，妻子看了看又想了一阵说：“你这裁法拼起来太麻烦，还有别的更好的裁法吗？”毕氏又想了一阵，还是把残草席裁成了 3 块（图（1） ） ，用它们拼成了一个正方形凉席（图（2） ） ，并且花纹也没有被打乱，妻子看后很满意你能试试将按第一种裁法得到的 3 个图形拼成一个正方形吗？二、考虑练习1某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B 200 米，结果他在水中实际游了 520 米，求该河流的宽度2如下图，要修一个育苗棚，棚宽 a=2m，b=1.5m，长 d=16m，求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米？答案：1约 480m 240m 2
