1、18.1 勾股定理（四）教学时间 第四课时三维目标一、知识与技能1利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点2进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题二、过程与方法1经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力2在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神3在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识三、情感态度与价值观1在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心2在解决
2、实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯教学重点在数轴上寻找表示， ， ， ，这样的表示无理数的点235教学难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段教具准备 多媒体课件教学过程一、创设问题情境，引入新课活动 1【例 1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4 800 米处，过了 10 秒后，飞机距离这个男孩头顶 5 000 米，飞 机每小时飞行多少千米？【例 2】如右图所示，某人在 B 处通过平面镜看 见在B 正上方 5 米处的 A 物体，已知物体 A 到平面镜的距离为 6 米，向 B 点到物体 A 的像 A的距离是多少？【例 3】在平静的
3、湖面上，有一棵水草，它高出水面 3 分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为 6 分米，问这里的水深是多少？设计意图：让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导在此活动中，教师应重点关注：学生是否自主完成上面三个例题；学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中的方程的思想师生共析：例 1：分析：根据题意，可以画出右图，A 点表示男孩头
4、顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，C 是直角，可以用勾股定理来解决这个问题解：根据题意，得 RtABC 中，C=90，AB=5 000 米，AC=4 800 米由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2即 5 0002=BC2+4 8002，所以BC=1 400 米飞机飞行 1 400 米用了 10 秒，那么它 1 小时飞行的距离为 1 400660=50 400 米=504 千米，即飞机飞行的速度为 504 千米/时评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决同时注意，在此题中小孩是静止不动的例
5、 2：分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识解：如例 2 图，由题意知ABA是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA=26=12 米，AB=5 米；在 RtAAB 中，AB 2=AA 2+AB2=122+52=169=132米所以 AB=13 米，即 B 点到物体 A 的像 A的距离为 13 米评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识由此可见，数学是物理的基础例 3：分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的解：根据题意，得到右图，其中 D 是无风时水草的最高点，BC 为湖面， AB是一阵风吹过水草的位置
6、，CD=3 分米，CB=6 分米，AD=AB，BCAD所以在 RtACB 中，AB 2=AC2+BC2，即（AC+3） 2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为 4.5 分米评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要二、讲授新课活动 2问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？ 的点呢？13设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象 ， ，这样的无理数的数点却找不到，学习23了勾股定理后，我们把 ， ，可以当直角三角形的斜边，只要
7、找到长为 ，2的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用3师生行为：学生小组交流讨论教师可指导学生寻找象 ， ，这样的包含在直角三角形中的线段23此活动，教师应重点关注：学生能否找到含长为 ， 这样的线段所在的直角三角形；1学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；学生能否积极主动地交流合作师：由于在数轴上表示 的点到原点的距离为 ，所以只需画出长为 的线131313段即可我们不妨先来画出长为 的线段2生：长为 的线段是直角边都为 1 的直角三角形的斜边师：长为 的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？13生：设 c= ，两直角边为 a，b，根据勾股定理 a2+b2=c2即 a2+b2=13若
8、 a，b 为正整数，则 13 必须分解为两个平方数的和，即 13=4+9，a 2=4，b 2=9，则 a=2，b=3所以长为 的线段是直角边为 2，3 的直角三角形的斜边13师：下面就请同学们在数轴上画出表示 的点13生：步骤如下：1在数轴上找到点 A，使 OA=3；2作直线 L 垂直于 OA，在 L 上取一点 B，使 AB=2；3以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点 C 即为表示 的点13活动 3练习：在数轴上作出表示 的点7设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视此活动中，教师应重点关注：学生能
9、否积极主动地思考问题；能否找到斜边为 ，另外两个角直边为整数的直角三角形17生： 是两直角边为 4 和 1 的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如右图：17三、巩固提高活动 4问题：（1）根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢？（2）欣赏下图，你会得到什么启示？设计意图：进一步熟悉直角三角形的三边关系，让学生在学习的过程中欣赏和创造美师生行为：学生分组活动，交流讨论教师参与于学生的小组活动中去本活动教师应重点关注：能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长能否积极参与，欣赏数学美生：在上述方程找到了长度为， 、 、 、 ，的线段，因此在数轴上2356便可
10、以表示出来， 教学时可以先画出 ， ，之后，再画 ，画法不唯一，如13下图：四、课时小结活动 5问题：你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应设计意图：这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供了更好的空间以梳理自己在本节课中的收获小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化又要从能力、情态态度等方面关注学生对课堂的整体感受师生行为：学生小组内交
11、流、反思教师巡视指导在活动 5 中教师应重点关注：不同层次学生对本节知识的认知程度；学生独立面对困难，克服困难的能力板书设计181 勾股定理（四）1在数轴上画出表示 的点，分以下四步完成；13（1）将在数轴上画出表示 的点的问题转化为画出长为 的线段的问题。13（2）由长为 的线段是直角边都为 1 的直角三角形的斜边，联想到长为 的线段2 13能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边（3）通过尝试发现，长为 的线段是直角边为 2，3 的直角三角形的斜边3（4）画出长为 的线段，从而在数轴上画出表示 的点11活动与探究河海滨馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设红地毯，主楼梯宽 4 米，购货员在
12、市场中选中一种宽度合适的地毯，每平方米 50 元，帮他计算一下，购买铺这段楼梯的地毯，大约需多少钱？过程：此题看似是在一个直角三角形中求斜边，其实不然，由于楼梯的水平方向和竖直方向都需要铺，所以水平方向长度和即为 6.4m，竖直方向长度和即为 4.8m结果：地毯共需：4.8+6.4=11.2（m） 面积为 11.24=44.8（m 2） 44.850=2 400（元） 所以购买地毯共需 2 440 元习题详解习题 1811AC= =1722068;15AB2解：设旗杆折断之前有 xm，根据勾股定理，得（x-6） 2=62+82，来源:学优中考网（x-6） 2=100因为 x-60，所以 x-6
13、=10，x=16所以旗杆折断之前的高度为 16m3解：根据勾股定理，得AB= =2.5，22.407AOB即 AB 的长为 2.5cm4解：AC=40-21=19cm，BC=60-21=39（cm） 根据勾股定理，得AB= 43.4（mm） 22193ACB即两孔中心距离为 43.4mm来源:学优中考网 xyzkw5解：根据勾股定理，得=2 （m） 276所以地面钢缆固定点 A 到电线杆底部 B 的距离是 2 m66解：根据勾股定理可知：两直角边的长分别为 4，2 时，斜边的长为 ，如下图20所示：7解：（1）A=30，AB=10，所以 BC=5，因为C=90，根据勾股定理，得AC= =5 8
14、.662053（2）A=45，所以ABC 为等腰直角三角形，即 BC=AC根据勾股定理，得 2BC2=2AC2=100，所以 BC=AC=5 7.078解：在ABC 中，C=90（1）ABC 的面积= 2.12.8=2.94（cm 2） ；12（2）根据勾股定理：AB= =3.5（cm） ；来源:学优中考网 xyzkw22.18ACB（3）因为 CDAB= ACBC，1所以 CD= =1.68（cm） 2.835AB即高 CD 为 1.68cm9解：根据题意，得L= 82（mm） 28310解：设水的深度为 x 尺，这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据题意，设：（x+1） 2=x2+（102）
15、2解这个方程得 x=12x+1=13所以水的深度为 12 尺，这根芦苇的长度为 13 尺11解；以 AB 为直径的半圆的面积为 （ ） 2= AB2；以 BC为直径的半12AB8圆的面积为 （ ） 2= BC2；12BC8以 AC 为直径的半圆的面积为 （ ） 2= AC21AC8因为C=90，所以 AB2=BC2+AC2AB2= BC2+ AC288即以直角三角形斜边为直径的半圆的面积等于两直角边为直径的半圆的面积和12解：阴影部分的面积=以 AC 为直径的半圆的面积+以 BC为直径的半圆的面积+RtABC 的面积-以 AB 为直径的半圆的面积，根据 11 题的结论可知：阴影部分的面积=Rt
16、ABC 的面积=20cm 213解：根据题意，可知：OB=1.62=0.8m，OA=22=1m，在 RtOAB 中，AB= =0.6（m） ，210.81-0.6=0.40. 2，所以这辆卡车能通过厂门备课资料参考例题【例 1】如右图所示，ABC 中，AB=15cm，AC=24cm，A=60，求 BC 的长分析：ABC 是一般三角形，若要求出 BC 的长，只能将 BC 置于一个直角三角形中解：过点 C 作 CDAB 于点 D在 RtACD 中，A=60，ACD=90-60=30，AD= AC=12（cm） 12CD2=AC2-AD2=242-122=432，DB=AB-AD=15-12=3在
17、RtBCD 中，BC2=DB2+CD2=32+432=441，BC=21cm评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解【例 2】如右图，A、B 两点都与平面镜相距 6 米，且 A、B 两点相距 6 米，一束光线由 A 射向平面镜反射之后恰巧经过 B 点，求 B 点到入射点的距离分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识解：作出 B 点关于 CD 的对称点 B，连结 AB，交 CD 于点 O，则 O 点就是光的入射点因为 BD=DB所以 BD=ACBDO=OCA=90，B=CAO所以BDOACO（SSS）则 OC=OD= AB= 6=3 米
18、12连结 OB，在 RtODB 中，来源:学优中考网 xyzkwOD2+BD2=OB2来源:xyzkw.Com所以 OB2=32+42=52，即 OB=5（米） 所以点 B 到入射点的距离为 5 米评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础【例 3】如下图，一艘船在 A 处要到达灯塔 C处，可由于 A、C 之间有一座小岛，船就先向北行驶 400 海里，再向东行驶 300 海里便可到达 C 处，请你计算 A 与 C之间的直线距离有多远？分析：由方位可知，正北方向与正东方向的夹角为 90，因此，由题意可画出一个直角ABC，B=90，如上图所示，AB=400，BC=300，可由勾股定理求 AC 的长解：在 RtABC 中，B=90，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2400 2+3002=AC2，AC 2=250 000AC=500（海里） 所以 A、C 之间的直线距离为 500 海里学优 中(考:，网
