1、1椭圆的几何性质教案教学目标1使学生理解并掌握从椭圆的两个定义及标准方程和图形出发研究椭圆的几何性质的思路；能根据椭圆的标准方程求出其焦点、顶点的坐标、离心率以及准线方程，并能根据其性质画出椭圆的图形2使学生会初步利用待定系数法和椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程3培养学生观察、发现问题和解决问题的能力，为今后学习其它圆锥曲线的几何性质作好方法上的准备教学重点与难点椭圆的几何性质、第二定义及其应用是教学的重点，难点是对离心率的理解教学过程一、复习提问师：在上节课中我们学习了椭圆的两个定义，请同学们回答其具体内容(教师指定学生回答，并引导其他学生进行更正)师：我们还学习了焦点分别在 x 轴和 y
2、轴上的椭圆的标准方程，请分别说出各是什么形式？生：当焦点在 x 轴上时方程为：当焦点在 y 轴上时方程为：师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质师：由于方程 f(x，y)=0 与函数 y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量 x 都有唯一的函数值 y 与之对应，而方程中 x、y 的关系则较为复杂)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性 质2师：好，现在我们有 3 个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标
3、准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质二、讲授新课(一)从定义方面研究1焦点通过椭圆第一定义我们知道两个定点叫焦点，分别是：当焦点在 x 轴上时方程为：左焦点：F 1(-c，0)，右焦点；F 1(c，0)当焦点在 y 轴上时方程为：下焦点：F 1(0，-c)，上焦点：F 1(0，c)2椭圆的第二定义、准线方程及离心率(可由学生完成，指定一名学生在黑板上板演)师：求轨迹方程的方法，步骤是什么？生：当不知道轨迹时，可以采用轨迹法(包括直接法、转移代入法等)，其步骤是：建立直角坐标系，且给出动点坐标，找动点满足的几何条 件，坐标化，化简得方程，检验3最后教师指出：点 M
4、的轨迹是椭圆并纠正如下：依题意：所求轨迹就是集合：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，令 a2-c2=b2，得请学生叙述椭圆的第二定义生：平面上，到定点距离与到定直线距离之比等于定值 e(0e1)的点的轨迹叫椭圆师：很好！我们把这一定义称作椭圆的第二定义要注意的是，在这一定义中的：“平面上、0e1”等条件另外，我们把定值 e=师：请计算下面椭圆的离心率，并画出椭圆图形生：离心率分别为 0.5，0.6，0.8，椭圆的图形可让学生画在笔记上师：随着离心率的增大，椭圆的形状发生了怎样的变化？生：随着离心率的增大，椭圆的形状是越来越扁4你有什么发现？趋近于一条线段师：可见，通过研究离心率
5、的变化，可以进一步证实我们上一节的结论：圆是椭圆的特例，只有当 2a|F1F2|时，轨迹才是椭圆师生共同小结：当 e 越接近于 1 时，c 越接近 a，从而 b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，从而 b越接近于 a，椭圆越接近于圆师：可见离心率 e 是刻画椭圆圆扁程度的量几条准线？你能根据上例写出它们的方程吗？你能画出来吗？生：一个椭圆有两条准线师：很正确为了方便，我们将相对于左焦点的准线叫左准线，另一条就叫右准线，如图 2-315(二)从标准方程方面研究3椭圆的顶点师：请问怎样才能求出直线 Ax+By+C=0(AB0)与坐标轴的交点呢？生：只要分别令 x=0 及 y=0，解出相应
6、的 y 及 x 即可学生自然会想到分别令 x=0 及 y=0，解出相应的 y=0 及 x=0 代入椭圆方程得到 4 个顶点，坐标分别是：A1(-a，0)， A 2(a，0)， B 1(0，-b)， B(0，b)师：如果我们定义曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点，那么以上 4 个点都叫椭圆的顶点同时我们将线段 A1A2，B 1B2分别叫椭圆的长轴和短轴师：请你根据方程说出椭圆的长轴长和短轴长生：其中长轴长为 2a，短轴长为 2b师：另外我们将 a 叫半长轴长，b 叫半短轴长(三)从椭圆的图形和方程方面研究4椭圆的范围师：首先我们通过椭圆的图形来研究椭圆的范围(就相当于研究函数的定义域和值域)师：观
7、察椭圆的图形，你能发现椭圆位于怎样的范围内吗？生：椭圆位于一个矩形内，如图 2-32师：你能用数学式子表示此矩形吗？(教师可以通过顶点坐标启发学生进行思考)6生：可以用|x|a，且|y|b 表示师：下面我们来观察椭圆的标准方程，请你说说它的形式有什么特点？生：椭圆的方程左边是两个平方项的和，右边是定值 1师：据此，你能得到什么结论？生：由于两个非负数的和是定值，因此方程中的 x，y 必然取得有限的值，也就是椭圆必然在一个一定的范围内师：能证明吗？(教师可以启发学生根据不等式的放缩法来证明)然后由师生共同归纳出证明过程如下：因此椭圆在矩形|x|a，且|y|b 内5椭圆的对称性(相当于研究函数奇偶
8、性)：紧密结合图形，通过举例，然后归纳师：观察椭圆图形，你能发现它具有怎样的对称性吗？生：从椭圆的图形看，椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称师：由此可见，椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形，它有两条对称轴(即坐标轴)，一个对称中心(即原点)，我们称它为椭圆的中心(说明：中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的方程都叫标准方程)师：如何通过方程来说明这种对称性呢？下面我们看几个例题：引例 请画出下列方程所表示的图形(1)y2x(2) y=x2 (3)y=x3师：根据图形说出曲线的对称性生：图(1)关于 x 轴对称，图(2)关于 y 轴对称，图(3)关于原点对称(如图 2-33)7师：若要说明一个函数
9、关于 y 轴对称，应该如何说明呢？生：说明一个函数关于 y 轴对称，只需要在此函数图象上任找一点 P(x，y)，若它关于 y 的轴对称点 P(-x，y)也满足函数关系，就说明此函数图象关于 y 轴对称请同学们用类比法说明椭圆的对称性生：若将 x 换成-x，方程不变，说明图形关于 y 轴对称；若将 y 换成-y，方程也不变，说明图形关于 x 轴对称；若将 x，y 同时换成-x，-y，方程仍然不变，说明图形关于原点对称师：结合椭圆方程的形式特点，请你总结一下椭圆的对称性生：由于椭圆方程左边是关于 x，y 对称的二次型，右边为定值 1，所以椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形师：很好，由此可见，椭圆
10、的定义和方程的形式决定了椭圆的对称性质三、例题例 1 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴、短轴的长，焦点、顶点坐标，准线方程和离心率，并用描点法画出图形分析 首先应将方程化为标准方程，计算出 a，b，c，再根据其几何性质解出即可(教师可指定一名学生板书)c=3，因此长轴、短轴的长分别为：2a=10，2b=8，焦点为：F 1(-3，0)，F 2(3，0)顶点 A1(-5，0)，A 2(5，0)，B 1(0，-4)，B 2(0，4)准师：注意：画图时应先画矩形，在第一象限内描出一些点并连成光滑的线，再根据椭圆的对称性画出整个椭圆，如图 2-348例 2 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨
11、道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点 A距地面 439 千米，远地点 B 距地面 2384 千米，地球半径 6371 千米，求卫星的轨道方程(如图 2-35)分析结合图 2-35 可知近地点、远地点实际上是椭圆长轴上的两个顶点解 选取坐标系如图 2-35，则 a-c=OA-OF2=F2A=6371+439=6810，a+c=OB-OF2=F2B=6371+2384=8755，所以 a=7782.5，c=972.5，b=7721.5练习：求下列各椭圆的长轴、短轴的长，焦点坐标，顶点坐标，准线方程和离心率(1)9x2+y2=1 (2)x2+4y2=169解 因为 a2=100，b 2=36，所以
12、 c2=64，所以 a10，b6，c8，设 P 到左准线的距离为 t1，例 4 已知椭圆的长轴长为 5，一条准线方程为 x=-10，求椭圆的标准方程分析 本题应根据已知条件确定标准方程的形式，再据已知确定系数(待定系数法)练习：1设椭圆中心在原点，它在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点所连焦四、小结1知识方面：10轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出(2)在讨论椭圆性质时，应首先根据方程判断此长轴的位置(即焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上)，然后再讨论其他性质；(判断方法是“大小分长短”，即哪个字母下面的数大，焦点就在
13、那个轴上)(3)常数 e(离心率)是焦距与长轴长的比值，与坐标轴的选择无关2方法方面：(1)给出方程会求椭圆的几何性质；(2)会用待定系数法根据条件求椭圆方程布置作业：1求下列椭圆的焦点、顶点坐标，离心率，准线方程，长、短轴长(2)中心在原点，对称轴在坐标轴，长轴长是短轴长 2 倍，且过点(2，-6)设计说明椭圆的几何性质一节内容多，要求学习掌握的知识点也多，而且这一节学习得好坏直接影响学生对双曲线、抛物线的学习所以，通过这一节的教学不仅要使学生初步理解并能简单应用所学的知识，更重要的是：使学生掌握研究圆锥曲线几何性质的一般思路和方法，以便今后的学习，从而达到培养学生学习能力的目的这也是制订此
14、教案教学目的的初衷根据以上教学目的，整个教学过程分成从三个方面(即从椭圆的定义、图形和标准方程)去研究椭圆的几何性质，通过提出问题，让学生类比以前的学习方法自己去解决问题，引出新的知识点，最后把对研究其它圆锥曲线的几何性质有指导作用的方法进行小结这样做不仅可以达到学习新知识的目的，还可以更好地理解旧知识，在新旧结合的过程中使学生的学习能力得到提高，从而为下一阶段的学习打下基础11在整个教学过程中，力求使形、数不分离，总是在通过让学生看图、画图、分析这一亲自实践过程去体会、感受，使本来枯燥的知识点变得“有血有肉”，充分使“数形结合的思想方法”深入学生心中由于本节内容知识点多，所以采用了讲练结合的办法，在练习中巩固所学，从而达到能进行简单应用的教学目的这节课还有一个特点就是加强了学生的活动，一节课中，不仅要求学生动脑、动口，更要动手，使在课堂教学中既教猜想又教证明的目的得以实现
