1、第 23 章 等腰三角形一、选择题1. （2011 浙江省舟山， 7，3 分）如图，边长为 4 的等边ABC 中，DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）32 336（第 7 题）BCDE【答案】B2. （2011 四川南充市，10，3 分）如图，ABC 和CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：tanAEC= ;S ABC +SCDE S ACE ;BMDM; BM=DM.正确结论的个数是（ CD）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 MEDCBA【答案】D3. （2011 浙江义乌
2、， 10，3 分）如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BAC=DAE =90， 四边形 ACDE 是平行四边形，连结 CE 交 AD 于点 F，连结 BD 交 CE 于点 G，连结 BE. 下列结论中： CE=BD； ADC 是等腰直角三角形； ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正确的结论有ABCDEFG学优中考网 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】D4. （2011 台湾全区，30）如图 (十三)，ABC 中，以 B 为圆心， 长为半径画弧，分别C交 、C于 D、E 两点，并连接 、 若A=30 ， ，则BDE 的度数为何？BDEAA 45 B 525 C 675
3、 D 75【答案】5. （2011 台湾全区，34）如图( 十六)，有两全等的正三角形 ABC、DEF，且 D、A 分别为ABC、DEF的重心固定 D 点，将DEF 逆时针旋转，使得 A 落在 上，如图( 十七)所示求图(十E六)与图( 十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A2：1 B 3：2 C 4：3 D 5：4【答案】6. （2011 山东济宁，3，3 分）如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 和 6cm，那么此三角形的周长是A15cm B16cm C17cm D16cm 或 17cm【答案】D7. （2011 四川 凉山州，8， 4 分）如图，在 中， ， ，点AC 130B
4、C为 的中点， ，垂足为点 ，则 等于（ ） BDEBEA B C D 10315360137513【答案】C8. 二、填空题1. （2011 山东滨州，15，4 分）边长为 6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为_.【答案】 cm32. （2011 山东烟台，14,4 分）等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么，它的底边为 .【答案】4 或 63. （2011 浙江杭州，16，4）在等腰 RtABC 中，C=90，AC1，过点 C 作直线lAB ， F 是 l 上的一点，且 ABAF ，则点 F 到直线 BC 的距离为 【答案】 312或4. （2011 浙江台州，14,5 分）
5、已知等边ABC 中，点 D,E 分别在边 AB,BC 上，把BDE 沿直线 DE 翻折，使点 B 落在点 B处，DB,EB分别交边 AC 于点 F，G，若ADF=80 ，则EGC 的度数为 【答案】805. （2011 浙江省嘉兴，14，5 分）如图，在 ABC 中，AB=AC ， ，则ABC 的外40A角BCD （第 14 题）ABCD【答案】1106. （2011 湖南邵阳，11，3 分）如图（四）所示，在 ABC 中，AB=AC，B=50，则A=_。学优中考网 【答案】80。提示：A=180-2 50=80。7. （2011 山东济宁，15，3 分）如图，等边三角形 ABC 中，D 、
6、E 分别为 AB、BC 边上的两个动点，且总使 AD=BE，AE 与 CD 交于点 F，AG CD 于点 G，则 FA GFEC BA第 15 题D【答案】 128. （2011 湖南怀化，13，3 分）如图 6，在ABC 中，AB=AC，BAC 的角平分线交 BC 边于点 D，AB=5，BC=6，则 AD=_.【答案】49. （2011 四川乐山 16，3 分）如图，已知AOB= ，在射线 OA、OB 上分别取点OA =OB ，连结 A B ，在 B A 、B B 上分别取点 A 、B ，使 B B = B A ，连111121212结 A B 按此规律上去，记 A B B = ， ，22
7、213n+1n则 = ； = 。n【答案】 2180n218010（2011 湖南邵阳，11，3 分）如图（四）所示，在ABC 中，AB=AC，B=50 ，则A=_。【答案】80。11. （2011 贵州贵阳，15，4 分）如图，已知等腰 RtABC 的直角边长为 1，以 RtABC的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 RtADE ，依此类推直到第五个等腰 RtAFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_（第 15 题图）【答案】31212. （2011 广东茂名，14，3 分）如图，已知ABC 是等边三角形，点
8、B、C、D、E 在同一直线上，且 CGCD，DF DE ，则E 度【答案】15 学优中考网 三、解答题1. （2011 广东东莞，21，9 分）如图（1），ABC 与 EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB=EF =9，BACDEF90 ，固定ABC，将EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）.（1）问：始终与AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设 CGx，BH y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）；（
9、3）问：当 x 为何值时，AGH 是等腰三角形？【解】（1）HGA 及HAB；（2）由（1）可知AGCHAB ，即 ，CGABH9xy所以， 8yx（3）当 CG 时，GAC=HHAC，ACCH12AGAC，AGGH又 AHAG，AHGH此时，AGH 不可能是等腰三角形；当 CG= 时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，AGH 是等腰三角形；12BC此时，GC= ，即 x=92当 CG 时，由（1）可知AGCHGA所以，若AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH若 AG=AH，则 AC=CG，此时 x=9综上，当 x=9 或 时，AGH 是等腰三角形922. （2011 山东德州
10、19,8 分）如图 AB=AC，CDAB 于 D，BE AC 于 E，BE 与 CD 相交于点 O（1）求证 AD=AE；(2) 连接 OA，BC ，试判断直线 OA，BC 的关系并说明理由AB CEDO【答案】（1）证明：在ACD 与 ABE 中，A=A，ADC=AEB =90，AB =AC， ACD ABE 3 分 AD=AE 4 分(2) 互相垂直 5 分在 RtADO 与 AEO 中，OA=OA，AD=AE ， ADO AEO 6 分 DAO=EAO即 OA 是BAC 的平分线 7 分 又AB=AC， OABC 8 分3. （2011 山东日照，23，10 分）如图，已知点 D 为等腰
11、直角ABC 内一点，CADCBD15 ，E 为 AD 延长线上的一点，且 CECA（1）求证：DE 平分 BDC；（2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证： ME=BD【答案】（1）在等腰直角ABC 中， CAD=CBD=15 o，BAD= ABD=45 o-15o=30o，BD=AD，BDCADC， ABECDO学优中考网 DCA= DCB=45 o由BDM=ABD+BAD =30o+30o=60o，EDC= DAC+DCA =15o+45o=60o，BDM=EDC ，DE 平分BDC ； （2）如图，连接 MC，DC=DM，且MDC=60 ，MDC 是等边三角形，即 CM=CD
12、又EMC =180-DMC =180-60=120，ADC=180 -MDC =180-60=120，EMC =ADC 又CE=CA，DAC= CEM=15，ADCEMC，ME=AD=DB 4. （2011 湖北鄂州，18，7 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长第 18 题图BAEDF C【答案】连结 BD，证BEDCFD 和AED BFD，求得 EF=55. （2011 浙江衢州，23,10 分） 是一张等腰直角三角形纸板，ABC.Rt2CAB，要在这张纸板
13、中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. （第 23 题）（第 23 题图1）PNDFEBAC CABQM图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 ；按照甲种剪法，在余下的1S中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这ADEBF和两个正方形面积和为 (如图 2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用同样的2S2=S方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为 (如图 3)；继续操作下去则第 10 次剪取时， . 3 10S求第 10
14、 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法 1：如图甲，由题意得 .如图乙，,1CFDEAEDC正 方 形即设 ，则由题意，得MNxMQPNBMx232,38()9PNMQS正 方 形 解 得又 819甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点 D、E、F 分别为 的中点，ABC、 、12ABCCFDESS正 方 形解法 2：如图甲，由题意得 ， 即 =1如图乙，设 ,MNxMQPNBMx则 由 题 意 得232,31,xEC解 得又 即甲种剪法所得的正方形的面积更大(2) 2S(3) 109(3)解法 1：探索规律可知： 12nS剩余三角形的面积和为： 11
15、0 911242S 解法 2：由题意可知，学优中考网 第一次剪取后剩余三角形面积和为 12=S第二次剪取后剩余三角形面积和为 2S第三次剪取后剩余三角形面积和为 2334第十次剪取后剩余三角形面积和为 9109=2S6. (2011 浙江绍兴，23，12 分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目. 三三ABC三E三AB三DCB D=C，.AED三. EABCD小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 为 的中点时，如图 1，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论：EABAE（填“”,“”,“”或“=”）.理由如AEAE下：如图 2，过点 作 ，交 于点 ./FF（
16、请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形 中，点 在直线 上，点 在直线 上，且 .若BCBDBCED的边长为 1， ，求 的长（请你直接写出结果）. 2【答案】（1）= .（2）=.方法一：如图，等边三角形 中，A第 25 题图 1 第 25 题图 2EABCD 60,ACABAC，/,EF,是等边三角形，A,BECFBE即又 60D，A.,.BEFCDA方法二：在等边三角形 中，AB60120, ,/,60,18120,BCDECEBACDAFBCEBACEFABDD，是 正 三 角 形 ，而由 是正三角形可得AF.EB(3)1 或 3.7. （2011 浙江台州， 23
17、,12 分）如图 1，过ABC 的顶点 A 分别做对边 BC 上的高 AD 和学优中考网 中线 AE，点 D 是垂足，点 E 是 BC 中点，规定 。特别的，当点 D 重合时，规BEDA定 。另外。对 、 作类似的规定。0ABc（1）如图 2，已知在 RtABC 中，A=30，求 、 ；Ac（2）在每个小正方形边长为 1 的 44 方格纸上，画一个ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且 ，面积也为 2；A（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打，假命题打） 若ABC 中， ，则ABC 为锐角三角形；（ ）1A 若ABC 中， ，则ABC 为直角三角形；（ ） 若ABC 中，
18、，则ABC 为钝角三角形；（ ）A【答案】解:（1）如图，作 CDAB，垂足为 D，作中线 CE、AF。 =1BFCA RtABC 中，CAB=30， AE=CE=BE ,CEB=60，CEB 是正三角形， CDAB AE=2DE = ； =1， = ；AEDc21Ac21（2）如图所示：（3）；。8. （2011 浙江义乌，23，10 分）如图 1，在等边ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 P是线段 DC 上的动点(点 P 与点 C 不重合)，连结 BP. 将 ABP 绕点 P 按顺时针方向旋转 角（0180），得到A 1B1P,连结 AA1，射线 AA1分别交射线 PB、射线 B1
19、B 于点 E、 F.（1） 如图 1，当 060时，在 角变化过程中，BE F 与AEP 始终存在 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图 2，设ABP= . 当 60180时，在 角变化过程中，是否存在BEF 与 AEP 全等？若存在，求出 与 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当 =60时，点 E、F 与点 B 重合. 已知 AB=4，设 DP=x，A 1BB1 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系图 1 图 2 图 3PB1FMA DOECCBA1PB1FMA DOECCBA1PB1A DOCBA1【答案】（1） 相似 由题意得：APA 1=BP
20、B 1= AP= A1P BP=B1P则 PAA 1 =PBB 1 = 2908PBB 1 =EBF PAE=EBF又BEF=AEP BE F AEP（2）存在，理由如下：易得：BE F AEP若要使得BEFAEP，只需要满足 BE=AE 即可BAE =ABEBAC=60 BAE = 302906ABE = BAE=ABE 学优中考网 即 =2+60 302（3）连结 BD，交 A1B1于点 G，过点 A1作 A1HAC 于点 H. PB1A DOCBA1HGB 1 A1P=A 1PA=60 A 1B1AC由题意得：AP= A 1 P A=6 0PAA 1是等边三角形A 1H= 在 RtAB
21、D 中，BD=)2(3x32BG= x （0x2）xSBA 323419. （2011 广东株洲，20，6 分）如图， ABC 中，AB=AC，A=36，AC 的垂直平分线交AB 于 E，D 为垂足，连结 EC（1）求ECD 的度数；（2）若 CE=5，求 BC 长【答案】（1）解法一：DE 垂直平分 AC，CE=AE，ECD=A=36. 解法二：DE 垂直平分 AC，AD=CD，ADE=CDE=90， 又DE =DE，ADECDE，ECD= A=36. （2）解法一：AB=AC，A=36 ，B= ACB=72，ECD=36，BCE=ACB-ECD=36，BEC=72=B， BC=EC=5.解
22、法二：AB=AC，A=36，B=ACB=72， BEC=A+ECD=72 ， BEC=B，BC=EC=5. 10(2011 重庆綦江，24，10 分) 如图，等边 ABC 中，AO 是 BAC 的角平分线，D 为 AO上一点，以 CD 为一边且在 CD 下方作等边 CDE,连结 BE. (1) 求证： ACDBCE； (2) 延长 BE 至 Q, P 为 BQ 上一点，连结 CP、 CQ 使 CP CQ5, 若 BC8 时，求PQ 的长.【答案】：(1)证明 ABC 和CDE 均为等边三角形，AC BC , CD CE 且 ACB DCE60ACD DCB DCB BCE60ACD BCE A
23、CDBCE 学优中考网 （2）解：作 CHBQ 交 BQ 于 H, 则 PQ 2HQ 在 RtBHC 中 ，由已知和（1）得 CBH CAO30， CH4 在 RtCHQ 中，HQ 34522CHQPQ 2HQ6 11. （2011 江苏扬州，23,10 分）已知：如图，锐角ABC 的两条高 BD、CE 相交于点O，且 OB=OC，（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2）判断点 O 是否在BAC 的角平分线上，并说明理由。【答案】（1）证明：OB=OC OBC=OCBBD、CE 是两条高 BDC=CEB=90又BC=CB BDCCEB（AAS）DBC=ECB AB=AC ABC 是等腰三角形。
24、（2）点 O 是在BAC 的角平分线上。连结 AO. BDCCEB DC=EB,OB=OC OD=OE又BDC=CEB=90 AO=AO ADOAEO（HL ） DAO=EAO 点 O 是在BAC 的角平分线上。12. （2011 广东省，21，9 分）如图（1），ABC 与 EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB=EF =9，BACDEF90 ，固定ABC，将EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）.（1）问：始终与AGC 相似的三
25、角形有 及 ；（2）设 CGx，BH y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）；（3）问：当 x 为何值时，AGH 是等腰三角形？【解】（1）HGA 及HAB；（2）由（1）可知AGCHAB ，即 ，CGABH9xy所以， 8yx（3）当 CG 时，GAC=HHAC，ACCH12AGAC，AGGH又 AHAG，AHGH此时，AGH 不可能是等腰三角形；当 CG= 时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，AGH 是等腰三角形；12BC此时，GC= ，即 x=92当 CG 时，由（1）可知AGCHGA所以，若AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH若 AG=A
26、H，则 AC=CG，此时 x=9综上，当 x=9 或 时，AGH 是等腰三角形9213. （2011 湖北黄冈，18，7 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABC=90，D 为 AC学优中考网 边上中点，过 D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3 ，求 EF长第 18 题图BAEDF C【答案】连结 BD，证BEDCFD 和AED BFD，求得 EF=514. （2011 湖北襄阳，21，6 分）如图 6，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，连接 AD，AE. ABAC； ADAE；BDCE .以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论
27、，构成三个命题： ； ； .（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）. ED CB A图 6【答案】（1） ； ； . 3 分（2）（略） 6 分15. （2011 山东泰安， 29 ， 10 分）已知：在 ABC 中，AC=BC，ACB=90 0，点 D 是 AB的中点，点 E 是 AB 边上一点。（1）直线 BF 垂直于 CE 于点 F，交 CD 于点 G（如图），求证：AE=CG；（2）直线 AH 垂直于 CE 于，垂足为 H，交 CD 的延长线于点 M（如图），找出图中与 BE 相等的线段，并说明。【答案】（1）证明：点 D 是 AB 中点，AC=BC ， ACB=900CDAB，ACD=BCD=45 0CAD=CBD=450CAE=BCG又 BFCECBG+BCG=900又ACE +BCF=900ACE=CBGAECCGBAE=CG（2）BE=CM证明：CH HM， CDEDCMA+MCH=900BEC+MCH=900CMA=BEC又，AC=BC，ACM=CBE=45 0BCECAMBE=CM学优中考网 学;优中考，网
