1、 DECBAg3.1065 空间的角一 知识回顾：1异面直线 所成角的定义： ,ab2直线与平面所成角 ：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则 （2）直线与平面垂直，则 （3）直线是平面的斜线，则 定义为 3最小角定理： 4二面角的概念： 5二面角的平面角： 6求二面角平面角大小的一般方法： 二 基础训练：1二面角 内有一点 ，若 到平面 的距离分别是 ，且 在平面 的内的射影的距离为 ，则二lP,5,8P,7面角 的度数是 （ ）C()A30()B60()C120()D102已知 分别是正方体 的棱 的中点，则截面 与底面 所成二面角的正弦,EF1AD1,B1AEFBCD值是 （ ）()3
2、()32C53对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补” ，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题： ，这个命题的真假性是 4在四面体 中， 两两垂直，且 ， 是 中点，异面直线 所成的角为ABCD,B2ABCEA,AE，则二面角 的大小为 10arcosAC三 例题分析：例 1. 如图，已知四棱锥 的底面是直角梯形， ，PD90B 2CPBD，侧面 底面 PB（1） 与 是否相互垂直，请证明你的结论；AD（2）求二面角 的大小；（3）求证：平面 平面 AB解：（1） 与 相互垂直.证明如下： 取 的中点 ，连结 ，交 于点 ；连结 COEPO ， 又平
3、面 平面 ， PBCABCD平面 平面 ， 平面 在梯形 中，可得 ， ADRtt ， 90EBAD即 ， P（2）连结 ， 由 平面 ， ，可得 ， POCOPEB 为二面角 的平面角，PEOBDC设 ，则在 中，2ABCaRtPEO53,aE二面角 为 .15tanBarctn15（3）取 的中点 ，连结 ，由题意知：平面 平面 ，PNCAB则同“（1） ”可得 平面 PA取 的中点 ，连结 ，则由 ，AM,D/MND，得四边形 为平行四边形. ，2BCC/M 平面 平面 平面 DB解答二：取 的中点 ，由侧面 底面 ，OPA是等边三角形，P得 底面 ABC以 为原点，以 所在直线为 轴，
4、x过点 与 平行的直线为 轴，y建立如图所示的空间直角坐标系 ，z设 ，则在直角梯形中， ，1D2ABC在等边三角形 中， PB3O(1,0)(,)(1,0)(,3)BDP).,21(),02(（1） 与 相互垂直.证明如下：A ,2P ,（2）连结 ，设 与 相交于点 ；连结 DE由 得 ,0)1(2)(BO,OABD即又 为 在平面 内的射影，PBC ， 为二面角 的平面角EP在 中， Rt5sinO在 中， ta1E二面角 为 PBDCrct5（3）取 的中点 ，连结 ，则 的坐标为 AM13(,)2又 ， ，3(,0)2(1,03) 20DP310(3)2B ,MADMPAB即 平面
5、平面 平面 B1PACDA1C1D1BOH小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法例 2.在 的 二 面 角 中 ， ， 已 知 、 到 的 距 离 分 别 是 和 ， 且 ， 、 在 的 射 影 分06lBA,ABl2410ABl别 为 、 ， 求 ： （ 1） 的 长 度 ； （ 2） 和 棱 所 成 的 角 CDC例 3.棱长为 4 的正方体 中， 是正方形 的中心，点 在棱 上，且 1ABCDO1BCP14P（）求直线 与平面 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ；P（）设 点在平面 上的射影是 ，求证： OH例 4. 在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，平面 平面 ，
6、 ， 分别SABC4SC23S,MN是 的中点,（1）证明 ；（2）求二面角 的大小；NM（3）求点 到平面 的距离例 5. 如图，直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的侧棱 AA1 的长为 a，底面 ABCD 是边长 AB=2a，BC =a 的矩形，又 E 是 C1D1的中点；（1）CE 与 BD1 所成角的余弦值；（2）求证：平面 BCE平面 BDE；（3）求二面角 BDC 1C 的平面角的大小四、作业同步练习 g3.1065 空间的角3过正方形 的顶点 ，引 平面 ，若 ，则平面 和平面 所成的二面角的大小是ABCDPABCDPABAPCD（ ）()0()45()60()904已知正三
7、棱锥两个相邻侧面所成二面角为 ，那么 的取值范围 （ ）186或()9()96DA CA1 B1 C1D1 BEDECBA5在正三棱柱 中，已知 ， 在 上，且 ，若 与平面 所成的角为 ，则1ABC1ABD11BAD1C（ ）()13()4()C0arcsin4()6arcsin46一直线和直二面角的两个面所成的角分别是 ，则 的范围是（ ）,()A,2()B0,2()2(),27已知 是两条异面直线 的公垂线段， ，则 所成的角为 ,AD1,10,31ABDC,ACBD8在四面体 中， 两两垂直，且 ， 是 中点，异面直线 所成的角为C, EA,E，则二面角 的大小为 10arcosC9.在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 是 中点，作PABCDABPDPDCEP交 于 EFF（1）证明 平面 ：/E（2）证明 平面 ；（3）求二面角 的大小10.如图直四棱柱 中，底面 是直角梯形，设 ， ,异面直线1ABCDABCD09ABCD2,8AD与 互相垂直，1（1）求证： 平面 ；（2）求侧棱 的长；（3）已知 ，求 与平面 所成的角1 411B D1C1B1A1DCBA
