1、压轴题一、解答题1 （2010 年广州中考数学模拟试题一）如图，以 O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1） ，直线 x=1 交 x 轴于点 B。P 为线段 AB 上一动点，作直线 PCPO，交直线 x=1 于点 C。过 P 点作直线 MN 平行于 x 轴，交 y 轴于点 M，交直线 x=1 于点 N。（1）当点 C 在第一象限时，求证：OPMPCN；（2）当点 C 在第一象限时，设 AP 长为 m，四边形 POBC 的面积为 S，请求出 S 与 m 间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（3）当点 P 在线段 AB 上移动时，点 C 也随之在直线 x=1 上移动，PBC 是
2、否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使PBC 成为等腰直角三角形的点 P 的坐标；如果不可能，请说明理由。答案：（1）OMBN，MNOB，AOB=90 0，四边形 OBNM 为矩形。MN=OB=1,PMO=CNP=90 0 ，AO=BO=1，AMPOBAM=PM。OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，OM=PN，OPC=90 0，OPM+CPN=90 0，又OPM+POM=90 0 CPN=POM，OPMPCN. （2）AM=PM=APsin45 0= ，2mNC=PM= ，BN=OM=PN=1- ；2BC=BN-NC=1- - =12ABCNPMO xy x=1第 1
3、 题图学优中考网 （3）PBC 可能为等腰三角形。 当 P 与 A 重合时，PC=BC=1，此时 P（0，1）当点 C 在第四象限，且 PB=CB 时，有 BN=PN=1- ，2mBC=PB= PN= -m，NC=BN+BC=1- + -m， 2由知：NC=PM= ，m1- + -m= ， m=1. 22PM= = ，BN=1- =1- ，mm2P（ ,1- ）.2使PBC 为等腰三角形的的点 P 的坐标为（0，1）或（ ,1- ）22. （2010 年广州中考数学模拟试题(四)）关于 x 的二次函数 y-x 2(k 2-4)x2k-2 以 y轴为对称轴，且与 y 轴的交点在 x 轴上方(1)
4、求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；(2)设 A 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点 A 作 AB 垂直 x 轴于点 B，再过点 A 作x 轴的平行线交抛物线于点 D，过 D 点作 DC 垂直 x 轴于点 C, 得到矩形 ABCD设矩形 ABCD的周长为 l，点 A 的横坐标为 x，试求 l 关于 x 的函数关系式；(3)当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形 ABCD 能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由答案：(1)根据题意得：k 2-40，k2 .当 k2 时，2k-220,当 k2 时，2k-2-60.又抛物线与 y 轴的交点在 x
5、轴上方,k2 .抛物线的解析式为：y-x 22.函数的草图如图所示：(2)令-x 220，得 x .当 0x 时，A 1D12x，A 1B1-x 22l2(A 1B1A 1D1)-2x 24x4.当 x 时，A 2D22x,A 2B2-(-x 22)x 2-2, l2(A 2B2A 2D2)2x 24x-4.l 关于 x 的函数关系式是：)2(42x0l (3)解法：当 0x 时，令 A1B1A 1D1,得 x22x20.解得 x=-1- (舍)，或 x=-1 .33将 x=-1 代入 l=-2x24x4,得 l=8 -8,当 x 时，A 2B2=A2D2得 x2-2x-2=0,解得 x=1-
6、 (舍)，或 x=1 ,33将 x=1 代入 l=2x24x-4,得 l=8 8.综上所述，矩形 ABCD 能成为正方形，且当 x=-1 时，正方形的周长为 8 -8；当33x=1 时，正方形的周长为 8 8 33解法：当 0x 时，同“解法”可得 x=-1 ,2正方形的周长 l=4A1D1=8x=8 -8 .当 x 时，同“解法”可得 x=1 ,3正方形的周长 l=4A2D2=8x=8 8 .第 2 题图A1A2B1B2C1D1C2D2xy学优中考网 综上所述，矩形 ABCD 能成为正方形，且当 x=-1 时，正方形的周长为 8 8；当33x=1 时，正方形的周长为 8 833解法：点 A
7、在 y 轴右侧的抛物线上,当 x0 时，且点 A 的坐标为(x，-x 22).令 ABAD，则 =2x,2x-x 22=2x, 或-x 22=-2x, 由解得 x=-1- (舍)，或 x=-1 ,33由解得 x=1- (舍)，或 x=1 .又 l=8x,当 x=-1 时，l=8 -8；当 x=1 时，l=8 8.3综上所述，矩形 ABCD 能成为正方形，且当 x=-1 时，正方形的周长为 8 -8；当33x=1 时，正方形的周长为 8 833.（2010 年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示, 在平面直角坐标系 xoy 中, 矩形OABC 的边长 OA、OC 分别为 12cm、6cm, 点
8、 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上, 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B, 且 18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式. (2)如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm/s 的速度向终点 B 移动, 同时点 Q 由点 B 开始沿BC 边以 2cm/s 的速度向终点 C 移动.移动开始后第 t 秒时, 设PBQ 的面积为 S, 试写出 S 与 t之间的函数关系式, 并写出 t 的取值范围.当 S 取得最大值时, 在抛物线上是否存在点 R, 使得以P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出 R 点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.答
9、：（1）设抛物线的解析式为 ，cbxay2由题意知点 A（0，-12） ，所以 ，1又 18a+c=0， ,32aABCD,且 AB=6,第 3 题图抛物线的对称轴是 .32abx .4b所以抛物线的解析式为 .142xy（2） ， .9)3(6)6(212 tttS 60t当 时，S 取最大值为 9。这时点 P 的坐标（3，-12） ，点 Q 坐标（6，-6）.3t若以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（）当点 R 在 BQ 的左边，且在 PB 下方时，点 R 的坐标（3，-18） ，将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点 R 的坐标就是（
10、3，18） ；（）当点 R 在 BQ 的左边，且在 PB 上方时，点 R 的坐标（3，-6） ，将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点 R 不满足条件.（）当点 R 在 BQ 的右边，且在 PB 上方时，点 R 的坐标（9，-6） ，将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点 R 不满足条件.综上所述，点 R 坐标为（3，-18）.4(2010 年江西省统一考试样卷)已知二次函数 y=x2 bx c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为 r 的P，且圆心 P 在抛物线上运动，当P 与两坐标轴都相切时，
11、求半径 r 的值.（3）半径为 1 的P 在抛物线上，当点 P 的纵坐标在什么范围内取值时，P 与 y 轴相离、相交？ 答案：解：（1）由题意，得 解得 10,.bc0,1.bc二次函数的关系式是 y=x21 （2）设点 P 坐标为（ x， y） ，则当P 与两坐标轴都相切时，有 y=x 由 y=x，得 x21= x，即 x2 x1=0，解得 x= 152由 y= x，得 x21= x，即 x2 x1=0，解得 x= P 的半径为 r=|x|= 51学优中考网 （3）设点 P 坐标为（ x， y） ， P 的半径为 1，当 y0 时， x21=0，即 x1，即 P 与 y 轴相切，又当 x0
12、时，y1，当 y0 时， P 与 y 相离；当1y0 时， P 与 y 相交. 5(2010 年山东宁阳一模)如图示已知点 M 的坐标为（4，0） ，以 M 为圆心，以 2 为半径的圆交 x 轴于 A、 B，抛物线过 A、 B 两点且与 y 轴交于点 Ccbxy261（1）求点 C 的坐标并画出抛物线的大致图象（2）已知点 Q（8， m） ，P 为抛物线对称轴上一动点，求出 P 点坐标使得 PQ+PB 值最小，并求出最小值（3）过 C 点作 M 的切线 CE，求直线 OE 的解析式答案：（1）将 A（2，0） B（6，0）代入 中cbxy261cb334 24612xy将 x=0 代入， y=
13、2 C（0，2）（2）将 x=8 代入式中， y=2 Q（8，2）过 Q 作 QK x 轴过对称轴直线 x=4 作 B 的对称点 APB+PQ=QA在 Rt AQK 中， AQ= 即， PB+PQ=102102PM KQ 即 APM AQK PA= P（4， ）336.（2010年河南中考模拟题1）如图，在 中， ， , 的ABC910BCA面积为 ，点 为 边上的任意一点( 不与 、 重合)，过点 作 ，交25DABDDE于点 设 以 为折线将 翻折，所得的 与梯形 重ACExEE第 5 题图叠部分的面积记为y.（1） 用x表示 ADE的面积;（2） 求出 时y与x的函数关系式；05（3）
14、求出 时y与x的函数关系式；1（4） 当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？x答案：解:(1) DEBC ADE=B,AED=C ADEABC 2)(BCDESA即 241xSADE(2)BC=10 BC 边所对的三角形的中位线长为 5当 0 时 5241xSyADE（3） 10 时，点 A落在三角形的外部,其重叠部分为梯形xS ADE =SADE = 241DE 边上的高 AH=AH= x由已知求得 AF=5AF=AA-AF=x-5由AMNADE 知2DEAMN )HF(S2 5x 251043)(412xy（4）在函数 中2x0x5当 x=5 时 y 最大为： 45在函数 中21032x
15、CBA学优中考网 当 时 y 最大为： 320abx 45当 时，y 最大为： x3257.（2010 年河南中考模拟题 2）如图，直线 和 x 轴 y 轴分别交与点 B、A，点 C4是 OA 的中点，过点 C 向左方作射线 CMy 轴，点 D 是线段 OB 上一动点，不和 B 重合，DPCM 于点 P，DEAB 于点 E，连接 PE。（1） 求 A、B、C 三点的坐标。（2） 设点 D 的横坐标为 x，BED 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式。（3） 是否存在点 D，使DPE 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的 x的值。答案：解：(1)将 x=0 代入 y= x+3，
16、得 y=3，故点 A 的坐标为（0,3） ，43因 C 为 OA 的中点，故点 C 的坐标为（0，1.5）将 y=0 代入 y= x+3，得 x=4，故点 B 的坐标为（4，0）43所以 A、B、C 三点坐标为（0,3） ， （4，0） ， （0，1.5）（2）由（1）得 OB=4，OA=3 则由勾股定理得 AB=5因 P 点的横坐标为 x，故 OD=x，则 BD=4+x 又由已知得DEB=AOD=90 0 ，sinDBE=sinABO= = = ， ，DE= （4+x） ，DEBOA35345DExcosDBE=cosABO= ， ，BE ，B4()xS= （4+x）= (4+x)2 （40
17、） ，则 N（R+1，R） ，代入抛物线的表达式，解得 217R当直线 MN 在 x 轴下方时，设圆的半径为 r（r0） ，则 N（r+1，r） ，代入抛物线的表达式，解得 217r圆的半径为 或 217（4）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，易得 G（2，3） ，直线 AG 为 1xy设 P（ x， ） ，则 Q（ x， x1） ，PQ 2x R Rrr11 N NMMA BDO xy学优中考网 3)2(1 xSSGPQAPG当 时，APG 的面积最大21x此时 P 点的坐标为 ， 415, 87的 最 大 值 为APGS22.（2010 年武汉市中考拟）抛物线与直线 y=x
18、+1 交于 A、C 两点，2yaxb与 y 轴交于 B，ABx 轴，且 ， （1）求抛3BS物线的解析式。（2）P 为 x 轴负半轴上一点，以 AP、AC 为边作，是否存在 P，使得 Q 点恰好在此抛物线CAQ上？若存在，请求出 P、Q 的坐标；若不存在，请说明理由。（3）ADX 轴于 D，以 OD 为直径作M，N 为M 上一动点， （不与 O、D 重合） ，过 N 作 AN的垂线交 x 轴于 R 点，DN 交 Y 轴于点 S，当 N 点运动时，线段 OR、OS 是否存在确定的数量关系？写出证明。答案：（1） 21yx(2)联立 得 A（-2，-1）C（1，2）设 P（a,0） ，则 Q（4+
19、a,2） 2(4)()12a 127,3aQ(-3,2)或（1，2）（3）ANDRON， ORNADONSDNO， S 12ORS23 （黑龙江一模） （本小题满分 10 分）如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A(-2,0),B(4,0)，与 y 轴交于点 C(0,8)（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛
20、物线与线段 EF 总有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？答案：（1）设抛物线解析式为 ，把 代(2)4yax(08)C，入得 a，28yx2(1)9顶点 (19)D，（2）假设满足条件的点 存在，依题意设 ，P(2)Pt，由 求得直线 的解析式为 ，(08)C， ， ， CD8yx它与 轴的夹角为 ，设 的中垂线交 于 ，则 x45OBH(210)，则 ，点 到 的距离为 10PHtP2dPt学优中考网 又 224POtt2410tt平方并整理得： 29t1083t存在满足条件的点 ， 的坐标为 P(21083)，（3）由上求得 (0)(4)EF，
21、 ， ，若抛物线向上平移，可设解析式为 2(0)yxm当 时， 8x72ym当 时， 4或 720 1 （8 分）若抛物线向下移，可设解析式为 28(0)yxm由 ，28yxm有 20， 14 14向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移 个单位长 （10 分）1424.（济宁师专附中一模）如图，直线 轴 分 别 交 于 点轴与 、yxy43NM,（1）求 两点的坐标；NM,（2）如果点 在线段 上,将 沿直线 折叠, 点恰好落在 轴上的AOAx点,求直线 的解析式.A BCO xyDFHPE（3）如果点 在坐标轴上，以点 为圆心，PP相 切为 半 径 的 圆 与 直 线 43512xy
22、，求点 的坐标。答案：解（1）M(3，0) N(0,4)；（2） 231xy（3）第一种情况：当 P1在 y 轴上且在点 N 下方时，P 1坐标是（0，0）第二种情况：当 P2在 x 轴且在 M 点的左侧时，P 2坐标是（0，0）第三种情况：当 P3在 x 轴且在 M 点右侧时，P 3坐标是（6，0）第四种情况：当 P4在 y 轴且在点 N 上方时，P 4的坐标是（0，8）综上，P 坐标是（0，0）（6，0）（0，8）25. (2010 三亚市月考 )（本题满分 13 分）如图，抛物线 y=ax2 + bx + c 交 x 轴于 A、B两点，交 y 轴于点 C，对称轴为直线 x=1,已知：A(
23、-1,0)、C(0,-3)。（1）求抛物线 y= ax2 + bx + c 的解析式；（2）求AOC 和BOC 的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个 P 点,使PAC 的周长最小。若存在，请你求出点 P 的坐标；若不存在，请你说明理由。解：（1）抛物线与 x 轴交于 A(-1,0)、B 两点,且对称轴为直线 x=1，点 B 的坐标为（3，0） ，可设抛物线的解析式为 y= a（x+1）(x-3)又抛物线经过点 C(0,-3)， -3=a（0+1）(0-3) a=1,所求抛物线的解析式为 y=（x+1）(x-3)，即 y=x2-2x-3 （2）依题意，得 OA=1,OB=3,S AOC S B
24、OC = OAOC OBOC=OAOB12=13 A BOC-1 1yx第 25 题图yA BOC-1 1 x第 25 题图PD学优中考网 （4） 在抛物线 y=x2-2x-3 上，存在符合条件的点 P 。解法 1：如图，连接 BC,交对称轴于点 P,连接 AP、AC。AC 长为定值，要使PAC 的 周长最小，只需 PA+PC 最小。点 A 关于对称轴 x=1 的对称点是点 B（3，0） ，抛物线 y=x2-2x-3 与 y 轴交点 C 的坐标为（0，3）由几何知识可知，PA+PC=PB+PC 为最小。设直线 BC 的解析式为 y=kx-3 ,将 B（3，0）代入得 3k-3=0 k=1。y=x-3 当 x=1 时，y=-2 .点 P 的坐标为（1，-2） 解法 2：如图，连接 BC,交对称轴于点 P,连接 AP、AC。设直线 x=1 交 x 轴于 DAC 长为定值，要使PAC 的 周长最小，只需 PA+PC 最小。点 A 关于对称轴 x=1 的对称点是点 B（3，0） ，抛物线 y=x2-2x-3 与 y 轴交点 C 的坐标为（0，3）由几何知识可知，PA+PC=PB+PC 为最小。OCDP BDPBOC 。 即 ,ODCP3DP=2点 P 的坐标为（1，-2）
