1、考点二十三：因式分解 聚焦考点温习理解1因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算2基本方法(1)提取公因式法：ma mb mc=m(a+b-c)(2)公式法：运用平方差公式： a2 b2=(a+b)(a-b)；运用完全平方公式： a22ab b2=(ab)2.3.因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；（3）分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；（4）注意因式分解中的范围，如 x
2、4-4=（x 2+2） （x 2-2）在实数范围内分解因式，继续进行分解：x 4-4=（x 2+2） （x 2-2）=（x2+2） （x+ ）(x- ),题目不作说明，表明是在有理数范围内因式分解.（5）分解要彻底。作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式这些统称分解彻底名师点睛典例分类考点典例一、因式分解的意义【例 1】下列四个多项式中，能因式分解的是( )A a21 B a26 a9C x25 y D x25 y【答案】B考点：因式分解的意义【点睛】 因式分解是将一个多项式化成几个整式积的
3、形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底【举一反三】（山东菏泽第 3 题，3 分）把代数式 24ax分解因式，下列结果中正确的是（ ）A 2()ax B () C 2() D (2)ax【答案】A【解析】试题分析： 24ax= 2(4)ax= 2()ax故选 A考点：1提公因式法与公式法的综合运用；2因式分解考点典例二、提取公因式法分解因式【例 2】 阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：(1) am an bm bn=(am bm)( an bn)=m(a b) n(a b)=(a b)(m n)；(2)x
4、2 y22 y1= x2( y22 y1)= x2( y1) 2=(x y1)( x y1)试用上述方法分解因式： a22 ab ac bc b2= 【答案】 （a+b+c） （a+b） 【解析】试题分析：原式第 1，2，5 项结合利用完全平方公式分解，3，4 结合提取公因式，再提取公因式即可得到结果试题解析：原式=（a 2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b） 2+c（a+b）=（a+b+c） （a+b） 考点：提取公因式法分解因式【点睛】(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为 1，不可漏掉；(3)公因式
5、也可以是多项式【举一反三】1.（2015.山东临沂第 9 题，3 分）多项式 2mx与多项式 21x的公因式是（ ）(A) 1x. (B) 1x. (C) 21. (D) 2x.【答案】A【解析】试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式 2mx=m（x+1） （x-1） ，多项式 21x=2x，因此可以求得它们的公因式为（x-1）.故选 A考点：因式分解2.(2015.山东莱芜第 13 题，3 分)分解因式： x23 【答案】 2)1(x考点：因式分解考点典例三、运用公式法分解因式【例 3】（2015 成都）因式分解： 29x=_【答案】 3x【解析】试题分析： 293x故答案为： 3x考点
6、：因式分解-运用公式法（2015辽宁丹东）分解因式: 122 .【答案】3 ）2-(x.【解析】试题分析：先提取公因式，再逆用完全平方公式，原式=3（ x2-4x4)=3 ）-(2.考点：把多项式分解因式.【点睛】 (1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为 a2b 2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a” “b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征【举一反三】（2015湖南株洲）因式分解： 2()16(2)xx 。【答案】(x2)(x+4)(x4)
7、考点：因式分解(2015.宁夏，第 9 题，3 分)分解因式： 32xy= 【答案】 ()xy.【解析】试题分析：先提公因式 x 后再利用平方差公式因式分解.考点：因式分解.考点典例四、综合运用多种方法分解因式【例 4】分解因式：x 35x 26x= 【答案】x（x-3） （x-2） 【解析】试题分析：先提取公因式 x，再利用十字相乘法分解因式试题解析：x 3-5x2+6x=x（x 2-5x+6）=x（x-3） （x-2） 考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法【点睛】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平
8、方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的 2 倍，如果没有两数乘积的 2 倍还不能分解解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底【举一反三】1.（2015 内江）分解因式： 28xy= 【答案】 2()yx【解析】试题分析：原式= 2(4)= (2)yx故答案为： 2()2yx考点：提公因式法与公式法的综合运用2.分解因式：x 3-6x2+9x= 【答案】x（x-3） 2考点：提公因式法与公式法的
9、综合运用考点典例四、因式分解的应用【例 5】计算：85 215 2=( )A70 B700 C4900 D7000【答案】D【解析】试题分析：直接利用平方差进行分解，再计算即可试题解析：原式=（85+15） （85-15）=10070=7000故选：D考点：因式分解-运用公式法【点睛】(1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于 0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为 0，则每个完全平方式都等于 0，从而使问题得以求解【举一反三】1.（2015辽宁大连）若 a=49，b=109，则 ab-9a 的值为：
10、_.【答案】4900【解析】试题分析：ab-9a=a(b-9)=49(109-9)=4900，故答案为 4900.考点：因式分解的应用.2. (2015湖北衡阳，19 题，3 分)已知 3ab， 1，则 2ab的值为 【答案】 -3考点： 因式分解；整体代入思想课时作业能力提升一、选择题1下列因式分解中正确的个数为( )x 32xyx=x(x 22y)；x 24x4=(x2) 2；x 2y 2=(xy)(xy)A3 个 B2 个 C1 个 D0 个【答案】C【解析】试题分析：直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可试题解析：解：x 3+2xy+x=x（x 2+2y+1） ，故
11、原题错误；x 2+4x+4=（x+2） 2；正确；-x 2+y2=（x+y） （y-x） ，故原题错误；故正确的有 1 个故选：C考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法2.（2015 宜宾）把代数式 321xx分解因式，结果正确的是（ ）A 23(4)x B (4) C 3(2)x D 23()x【答案】D【解析】试题分析：原式= 23(4)x= 23()x，故选 D考点：提公因式法与公式法的综合运用3.下列四个选项中，哪一个为多项式 8x210x2 的因式( )A2x2 B2x2C4x1 D4x2【答案】A考点：因式分解的意义4.(2015湖北武汉，3 题，3 分）把 a22a 分
12、解因式，正确的是（ ）Aa(a2) Ba(a2) Ca(a 22) Da(2a)【答案】A【解析】试题分析：对于因式分解，首先进行提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行因式分解.原式=a(a2).考点：因式分解.5.（2015.山东枣庄，第 7 题，3 分）如图边长为 a、b 的矩形的周长为 14，面积为 10，则 ab+ab的值为A.140 B.70 C.35 D.24【答案】【解析】试题分析：由题意可得 a+b=7,ab=10,所以 2()abab=710=70.故选 B.考点：分解因式；求代数式的值6. 若分解因式 x2+mx-15=（x+3） （x-5） ，则 m 的值为（ ）A
13、-2 B2 C-5 D5【答案】A考点：因式分解的意义7.把 x2y-4y 分解因式，结果正确的是（ ）Ay（x 2-4） By（x+2） （x-2） Cy（x+2） 2Dy（x-2） 2【答案】B【解析】试题分析：先提取公因式 y，再利用平方差公式继续分解试题解析：x 2y-4y，=y（x 2-4） ，=y（x+2） （y-2） 故选 B考点：提公因式法与公式法的综合运用8.把 x3-xy2分解因式，正确的结果是（ ）A （x+xy） （x-xy） Bx（x 2-y2） Cx（x-y） 2Dx（x-y） （x+y）【答案】D考点：提公因式法与公式法的综合运用 二、填空题9.（2015.山东菏
14、泽第 12 题，3 分）若 2(3)xmxn对 x 恒成立，则 n= 【答案】4【解析】试题分析： 2(3)xmxn， 22(3)xxn，故 31n，解得：n=4故答案为：4考点：因式分解-十字相乘法等10.（2015.山东潍坊，第 15 题，3 分）因式分解： 276ax .【答案】a（x-1） （x-6）【解析】试题分析： 2276(76)(1)6axaxax.考点：分解因式.11.（2015.山东东营第 12 题，3 分）分解因式： 2)(9)(24yx 【答案】 （3x-3y+2) 2【解析】试题分析：原式+（） （3x-3y+2) 2考点：分解因式.12.（2015 内江）分解因式：
15、 28xy= 【答案】 2()yx【解析】试题分析：原式= 2(4)= (2)yx故答案为： 2()2yx考点：提公因式法与公式法的综合运用13.（2015 泸州）分解因式： 2m= 【答案】 2(1)【解析】试题分析： 2= 2()= (1)故答案为： 2(1)m考点：提公因式法与公式法的综合运用三、解答题14.分解因式：ax 4-81a【答案】a（x 2+9） （x+3） （x-3） 考点：提公因式法与公式法的综合运用15.分解因式：x 2y-4xy+4y【答案】y（x-2） 2【解析】试题分析：首先提取公因式 y，再把余下的式子用完全平方公式：（a 2-2ab+b2）=（a-b） 2进行二次分解即可试题解析：x 2y-4xy+4y，=y（x 2-4x+4） ，=y（x-2） 2考点：提公因式法与公式法的综合运用
