1、考点十八：与圆有关的位置关系聚焦考点温习理解一、点和圆的位置关系设O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有：dr 点 P 在O 外。二、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么：直线 l 与O 相交 dr；三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，
2、相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么两圆外离 dR+r两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rr）两圆内含 dr）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。名师点睛典例分类考点典例一、直线与圆的位置关系【例 1】已知O 的半径是 6cm，点 O 到同一平面内直线 l 的
3、距离为 5cm，则直线 l 与O 的位置关系是（ ）A 相交 B 相切 C 相离 D 无法判断【答案】A.考点：直线与圆的位置关系【点睛】考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与 d 与 r 的数量关系【举一反三】如图，矩形 ABCD 的长为 6，宽为 3，点 O1为矩形的中心，O 2的半径为 1，O 1O2AB 于点P，O 1O2=6若O 2绕点 P 按顺时针方向旋转 360，在旋转过程中，O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）A 3 次 B4 次 C5 次 D6 次【答案】B【解析】试题分析：如图：O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现 4 次，故选
4、 B考点：直线与圆的位置关系考点典例二、切线的性质【例 2】 （2015 宜宾）如图， AB 为 O 的直径，延长 AB 至点 D，使 BD=OB， DC 切 O 于点 C，点 B 是 AF的中点，弦 CF 交 AB 于点 E若 O 的半径为 2，则 CF= 【答案】 23考点：1切线的性质；2含 30 度角的直角三角形；3垂径定理【点晴】本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键【举一反三】1.（2015 自贡）如图，已知 AB 是O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使 AC=3BC，CD 与O 相切于 D点若 CD 3，则劣弧 AD 的长为
5、【答案】 32考点：1切线的性质；2弧长的计算2.（2015 泸州）如图， PA、 PB 分别与 O 相切于 A、 B 两点，若 C=65，则 P 的度数为（ ）A65 B130 C50 D100【答案】C【解析】试题分析： PA、 PB 是 O 的切线， OA AP， OB BP， OAP= OBP=90，又 AOB=2 C=130，则 P=360（90+90+130）=50故选 C考点：切线的性质考点典例三、圆和圆的位置关系【例 3】如图， 1O， 2的圆心 1， 2O都在直线 l上，且半径分别为 2cm，3cm， 12O8cm.若1以 1cm/s 的 速 度 沿 直 线 l向右匀速运动（
6、 2保 持 静 止 ） ， 则 在 7s 时 刻 与 的 位 置 关系 是 （ ）A外切 B相交 C内含 D内切【答案】D.考点：1.面动平移问题；2. 两圆的位置关系.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系.注意：根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和） ，内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差） ，外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和） ，相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差） ，内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）.【举一反三】1.已知两圆半径分别为 3、5，圆心距为 8，则这两圆的位置关系为（ ）A. 外离 B. 内含 C. 相交 D. 外切【答案】D.【解析
7、】试题分析：根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和） ，内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差） ，外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和） ，相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差） ，内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）. 因此，两圆半径分别为 3、5，且圆心距为 8，3+5=8，即两圆圆心距离等于两圆半径之和.这两圆的位置关系为外切.故选 D.考点：圆与圆的位置关系2.两圆的半径分别为 2 和 3，圆心距为 7，则这两圆的位置关系为（ ）A外离 B外切 C相交 D内切【答案】A考点：两圆的位置关系.课时作业能力提升一选择题1 （2015.山东潍坊，第 7 题，3
8、 分）如图，AB 是 oA的弦，AO 的延长线交过点 B 的 oA的切线于点 C，如果ABO=20,则C 的度数是（ ）A. 70 B. 50 C. 45 D. 20【答案】B【解析】试题分析：因为 OA=OB,所以A=ABO=20,所以BOC=2A=40,又因为 BC 是切线，所以CBO=90,所以C=50,故选：B.考点：1.切线的性质；2.直角三角形的性质.2.如图，直线 AB 与O 相切于点 A，弦 CDAB，E，F 为圆上的两点，且CDE=ADF若O 的半径为 52，CD=4，则弦 EF 的长为（ ）A 4 B 2 5C 5 D 6【答案】B.【解析】试题分析：连接 OA，并反向延长
9、交 CD 于点 H，连接 OC，直线 AB 与O 相切于点 A，OAAB，弦 CDAB，AHCD，CH= 12CD= 4=2，O 的半径为 5，OA=OC= ，OH= 23OCH，AH=OA+OH= 52+ 3=4，AC= AHCCDE=ADF， EF， AC，EF=AC= 25故选 B考点：切线的性质3.（2015.重庆市 B 卷，第 9 题，4 分）如图，AC 是O 的切线，切点为 C，BC 是O 的直径，AB 交O 与点 D，连接 OD，若BAC=55，则COD 的大小为( )A70 B60 C55 D359图DAOBC【答案】A【解析】试题分析：根据 AC 为切线，OC 为半径可得AC
10、B=90，根据A=55可得B=9055=35，根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系可得：DOC=2B=352=70.考点：圆的基本性质4.(2015.上海市，第 17 题，4 分)在矩形 ABCD中， 5， 12BC，点 A在 B上如果 DA与BA相交，且点 在 DA内，那么 的半径长可以等于_(只需写出一个符合要求的数)9 题图【答案】 14（答案不唯一，只要大于 13，小于 8即可）【解析】试题分析：如图，先根据矩形的性质和勾股定理，求得 13BD.再根据点 A在 B上，可知 A的半径为 5r，因 B在 DA内，故 的半径 13R.又因为 A与 相交，圆心距 13D，故13R，解得 8，所以
11、 8，从中选一个数填写即可. AB CD考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.圆相交的性质.5.（2015.重庆市 A 卷，第 9 题，4 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AE 是O 的切线，A 为切点，连接 BC 并延长交 AE 于点 D.若 AOC=80，则 ADB 的度数为（ ）A.40 B.50 C.60 D.20【答案】B.考点：圆的基本性质、切线的性质.6.（2015 内江）如图，在 O 的内接四边形 ABCD 中， AB 是直径， BCD=120，过 D 点的切线 PD 与直线AB 交于点 P，则 ADP 的度数为（ ）A40 B35 C30 D45【答案】C【
12、解析】试题分析：连接 BD， DAB=180 C=60， AB 是直径， ADB=90， ABD=90 DAB=30， PD 是切线， ADP= ABD=30，故选 C考点：切线的性质7.（2014北海）若两圆的半径分别是 1cm 和 4cm，圆心距为 5cm，则这两圆的位置关系是（ ）A内切 B相交 C外切 D外离【答案】C考点：两圆的位置关系.8.（2015 达州）如图， AB 为半圆 O 的在直径， AD、 BC 分别切 O 于 A、 B 两点， CD 切 O 于点 E，连接OD、 OC，下列结论： DOC=90， AD+BC=CD， 2ADC:S， OD： OC=DE： EC，2ODE
13、C，正确的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【答案】D【解析】试题分析：连接 OE，如图所示： AD 与圆 O 相切， DC 与圆 O 相切， BC 与圆 O 相切， DAO= DEO= OBC=90， DA=DE， CE=CB， AD BC， CD=DE+EC=AD+BC，选项正确；在 Rt ADO 和 Rt EDO 中， OD=OD， DA=DE， Rt ADO Rt EDO（ HL） ， AOD= EOD，同理 RtCEO Rt CBO， EOC= BOC，又 AOD+ DOE+ EOC+ COB=180，2（ DOE+ EOC）=180，即 DOC=90，选项正确； DOC
14、= DEO=90，又 EDO= ODC， EDO ODC， ODEC，即 2DC，选项正确； AOD+ COB= AOD+ ADO=90， A= B=90， AOD BOC，22AODBC()()SADO，选项正确；同理 ODE OEC， EC，选项正确；故选 D考点：1切线的性质；2切线长定理；3相似三角形的判定与性质；4综合题9.在平面直角坐标系 xOy中，直线经过点 A（3，0） ，点 B（0， 3） ，点 P 的坐标为（1，0） ，与 y轴相切于点 O，若将P 沿 轴向左平移，平移后得到（点 P 的对应点为点 P） ，当P与直线相交时，横坐标为整数的点 P共有（ ）A. 1 个 B.
15、2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C二填空题10.（2015.山东济南，第 18 题,3 分）如图，PA 是O 的切线，A 是切点，PA=4，OP=5，则O 的周长为 （结果保留 ） 【答案】6【解析】试题分析： 连接 OA，PA 是O 的切线，A 是切点，OAP=90，在 RtOAP 中，OAP=90，PA=4，OP=5，由勾股定理得：OA=3，则O 的周长为 23=6.考点：1.切线的性质；2.勾股定理11.已知 O1与 O2的圆心距为 6，两圆的半径分别是方程 x25 x+5=0 的两个根，则 O1与 O2的位置关系是 【答案】相离考点：1、根与系数的关系；2、圆与圆的位置关系1
16、2.（2015.山东泰安，第 24 题） （3 分）如图， AB 是 O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，过 CD 延长线上一点 E 作 O 的切线，切点为 F若 ACF=65，则 E= 【答案】50【解析】试题分析：连接 DF，连接 AF 交 CE 于 G， AB 是 O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H， ACD， EF是 O 的切线， GFE= GFD+ DFE= ACF=65， FGD= FCD+ CFA， DFE= DCF， GFD= AFC， EFG= EGF=65， E=180 EFG EGF=50， 故答案为：50考点：切线的性质13.（2015辽宁沈阳）如图，在 ABC
17、 中， AB=AC， B=30，以点 A 为圆心，以 3cm 为半径作 A，当AB= cm 时， BC 与 A 相切【答案】6【解析】试题分析：如图，过点 A 作 AD BC 于点 D AB=AC， B=30， AD= 12AB，即 AB=2AD又 BC 与 A相切， AD 就是圆 A 的半径， AD=3cm，则 AB=2AD=6cm故答案为：6考点：切线的判定14.(2015湖北襄阳,16 题)如图， P 为 O 外一点， PA， PB 是 O 的切线， A， B 为切点，PA= 3， P=60，则图中阴影部分的面积为 【答案】 13【解析】试题分析：连结 AO，连结 PO 交圆于 C PA
18、， PB 是 O 的切线， A， B 为切点， PA= 3， P=60， OAP=90， OA=1， S 阴影 =2（ S PAO S 扇形 AOC）=216012(3)= 故答案为：13考点：1扇形面积的计算；2切线的性质15.如图，等圆O 1与O 2相交于 A、B 两点，O 1经过O 2的圆心 O2，点 A 在 x 轴的正半轴上，两圆分别与 x 轴交于 C、D 两点，y 轴与O 2相切于点 O1，点 O1在 y 轴的负半轴上四边形 AO1BO2为菱形；点 D 的横坐标是点 O2的横坐标的两倍；ADB=60；BCD 的外接圆的圆心是线段 O1O2的中点以上结论正确的是 （写出所有正确结论的序
19、号）【答案】试题解析：如图 1 所示，连接 AO1，AO 2，BO 1，BO 2，圆O 1与O 2是等圆，AO 1=AO2=BO1=BO2，四边形 AO1BO2为菱形，故此小题正确；AD 是O 2的弦，O 2在线段 AD 的垂直平分线上，点 D 的横坐标不是点 O2的横坐标的两倍，故此小题错误；连接 O1O2，AB，BD，y 轴是O 2的切线，O 1O2y 轴，AD 1O2四边形 AO1BO2为菱形，ABO 1O2，O 1E=O2E，BAD=90，BD 过点 O2，O 2E 是ABD 的中位线，AD=O 1O2= BD，ADB=60；由知，2AD=BD，CD=BD=BC，BCD 的外心是各边线
20、段垂直平分线的交点，O 1O2的中点是BCD 中位线的中点，BCD 的外接圆的圆心不是线段 O1O2的中点，故此小题错误考点：圆的综合题三、解答题16.如图，在ABO 中，OA=OB，C 是边 AB 的中点，以 O 为圆心的圆过点 C.（1）求证：AB 与O 相切；（2）若AOB=120，AB= 43，求O 的面积.【答案】 （1）证明见解析；（2） 4.【解析】试题分析：（1）由 OA=OB，AC=BC，根据等腰三角形三线合一的性质可推出 OCAB，即 AB 是O 的切线 .（2）由AOB=120，AB= 43，根据等腰三角形三线合一的性质可推出AOC 的度数和 AC 的长，根据锐角三角函数
21、可求出 OC 的长，从而可求O 的面积.考点：1. 等腰三角形的性质；2.切线的判定；3. 锐角三角函数定义.17.（2014毕节）如图，在 RtABC 中，ACB=90，以 AC 为直径作O 交 AB 于点 D，连接 CD（1）求证：A=BCD；（2）若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与O 相切？并说明理由【答案】 （1）证明见解析；（2）当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与O 相切，理由见解析.试题解析：（1）证明：AC 为直径，ADC=90. A+DCA=90.ACB=90，DCB+ACD=90. DCB=A.（2）当 MC=
22、MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与O 相切，理由如下：如答图，连接 DO，DO=CO，1=2.DM=CM，4=3.2+4=90，1+3=90. 直线 DM 与O 相切考点：1. 圆周角定理；2. 直角三角形两锐角的关系；3. 切线的判定和性质；4.等腰三角18.(2015.宁夏，第 23 题，8 分)如图， AC 是 O 的直径， BC 是 O 的弦，点 P 是 O 外一点，连接PB、 AB， PBAC.（1）求证： PB 是 O 的切线；（2）连接 OP，若 ，且 OP=8， 的半径为 2，求 BC 的长.OPCBA【答案】(1)详见解析；（2）BC=2.【解析】试题分析：
23、(1)连接 OB，由CBO+ OBA =90，C=CBO， PBAC可得 PBA+OBA=90，即PBO=90，所以 PB 是 O 的切线；（2）易证 RtABCRtPBO，根据相似三角形对应边的比相等即可 BC 的长.试题解析： O PCBA（1）连接 OB，AC 是O 的直径,CBO+OBA=90.OC=OB,C=CBO. PBAC, O, + OBA =90, 即 =90.PB 是 的切线考点：圆周角定理的推论；切线的判定；相似三角形的判定及性质.19.（2015 攀枝花） （8 分）如图，在 O 中， AB 为直径， OC AB，弦 CD 与 OB 交于点 F，在 AB 的延长线上有点
24、 E，且 EF=ED（1）求证： DE 是 O 的切线；（2）若 OF： OB=1：3， O 的半径 R=3，求 BDA的值【答案】 （1）证明见试题解析；（2） 12【解析】试题分析：（1）连结 OD，如图，由 EF=ED 得到 EFD= EDF，再利用对顶角相等得 EFD= CFO，则 CFO= EDF，由于 OCF+ CFO=90， OCF= ODF，则 ODC+ EDF=90，于是根据切线的判定定理可得 DE 是 O 的切线；（2）由 OF： OB=1：3 得到 OF=1， BF=2，设 BE=x，则 DE=EF=x+2，根据圆周角定理，由 AB 为直径得到 ADB=90，接着证明 EBD EDA，利用相似比得 DEBA= ，即 26x= BDA，然后求出 x 的值后计算 BDA的值考点：1切线的判定；2综合题
