1、北京工商大学附中 2012届高三数学二轮复习专题训练：导数及其应用I 卷一、选择题1 已知函数 y=f(x)=x2+1,则在 x=2, x=0.1时, y的值为A0.40 B0.41 C0.43 D0.44【答案】B2定义域为 ),0(),(的偶函数 )(f在区间（0，+ ）上的图象如图所示，则不等式)xf的解集是（ ）A )0,(0,1) B 1C ),(),( D （-1，0） （0，1）【答案】B3 若曲线 C:y= 3x-2a 2+2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么 a的取值范围是 ( )A0【答案】C4若曲线 4yx的一条切线 l与直线 480xy垂直,则 l的方程为( )
2、A 30B 5C 3xyD 430xy答案：A 5若函数 f(x) ax4 bx2 c满足 f (1)2，则 f (1)( )A1 B2C2 D0【答案】B6 已知函数 ()sinafxx，且 0(1)(2limhff，则 a的值为 ( ）A 1 B 2 C D任意正数【答案】B7函数 f（x）= xe的 零 点 所 在 的 一 个 区 间 是 （ ）A （-2,-1） B (-1,0） C (0,1） D (1,2）【答案】C8若函数 f(x)2 x2ln x在其定义域内的一个子区间( k1， k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )A1，) B 1，32)C1,2) D 32， 2
3、)【答案】B9曲线 y ex在点 A(0,1)处得切线斜率为( )A1 B 2C e D1e【答案】A10给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射； f(x) 是函数；函数 y2 x(xN)的图x 3 2 x象是一条直线； f(x) 与 g(x) x是同一个函数x2x其中正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个【答案】A11由直线 x ， x ， y0 与曲线 ycos x所围成的封闭图形的面积为( )3 3A B112C D32 3【答案】D12函数 ()(xfe为自然对数的底数）在区间-1，1 上的最大值是（ ）A 1B1 C 1eD 1e【答案】DII卷二、填空题13 cosy
4、x在 3处的导数值是_. 【答案】 12614已知 logab1(0 a1)，则 _.limn bn anbn an【答案】115 一质点的运动方程为 s53 t2，则在一段时间 1,1 t内相应的平均速度为_【答案】3 t616在平面直角坐标系 xOy中，点 P(0,1)在曲线 C： y x3 x2 ax b(a， b为实数)上，已知曲线 C在点 P处的切线方程为 y2 x1，则 a b_.【答案】1三、解答题17已知函数 32()fxbcxd有两个极值点 12,x，且直线 61yx与曲线 y相切于 P点。(1) 求 b和 c(2) 求函数 ()fx的解析式；(3) 在 d为整数时，求过 点
5、和 ()yfx相切于一异于 P点的直线方程【答案】 (1)设直线 61x，和 32bcd相切于点 0(,)xy32()fxbcd有两个极值点 12,x，于是 2()3fxxc23(1)396xx从而 96c(2）又 32()fxxd，且 0(,)Pxy为切点。由 求得 0x或 03，由联立知 23091dx。在 0x时， 1d；在03时， 29d 2()6fx，或()6fx(3）当 为整数时， 1符合条件，此时 P为 (0,1)，设过 (0,1)P的直线 :1lykx和329yxx相切于另一点 1(,xy 由及 10x，可知 321196kxx即 2196kx，再联立可知226k，又 0， 4
6、，此时 5k 故切线方程为：156yx 18已知函数 f是定义在实数集 R上的奇函数，当 x 0时，.,lnaxaf其 中(1）已知函数 f的解析式；(2）若函数 x在区间 1,上是单调减函数，求 a的取值范围；(3）试证明对 1,/effeRa使存 在 .【答案】 （1） 0)(f0x时， )ln(xx所以 0),l(,)(xaf(2）函数 f是奇函数，则 (f在区间 )1,(上单调递减，当且仅当 )(xf在区间 ),1(上单调递减，当 x时， xafxa,ln)由 af10 得 1在区间（1，+ ）的取值范围为 0,所以 a的取值范围为 ,(3） 11eaeqfe解 af得（ 11分） ，
7、因为 1e1e ，所以 1e为所求.19已知函数 2()().xxfgee,(） 求函数 的极值；(） 求证：当 1x时， ();fx(） 如果 2，且 2，求证： 12().fx【答案】 ()fx= e， ()fx=1e令 ()f=0，解得 x(,1)1 (,)()f 0 极大值 e当 1x时， ()fx取得极大值 (1)f= e 证明： 2)xxFfg令,则()x=221()1()xxee 当 时， 0， 2，从而 2x0， ()Fx0， ()在 1,)是增函数 ().xfgxe 故 当 时 ,证明： ()fx在 ,)内是增函数，在 1内是减函数 当 12，且 12(fx时， 、 2x不可
8、能在同一单调区间内 x，由的结论知 时， ()()Fxfgx0， 22()fxg 12()fxf， 12f又 2)g， ().xf 20设 a为实数，函数 f(x)e x2 x2 a， xR.(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 aln21 且 x0时，e xx22 ax1.【答案】(1)由 f(x)e x2 x2 a， xR 知 f ( x)e x2， xR.令 f ( x)0，得 xln2.于是当 x变化时， f ( x)， f(x)的变化情况如下表：故 f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在 xln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2
9、)e ln22ln22 a2(1ln2 a)(2)证明：设 g(x)e x x22 ax1， xR.于是 g( x)e x2 x2 a， xR.由(1)知当 aln21 时， g( x)最小值为 g(ln2)2(1ln2 a)0.于是对任意 xR，都有g( x)0，所以 g(x)在 R内单调递增于是当 aln21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，)， g(x)0，即 ex x22 ax10，故 exx22 ax1.21已知函数 f(x) x3 ax23 x.(1)若 f(x)在区间 1，)上是增函数，求实数 a的取值范围；(2)若 x 是 f(
10、x)的极值点，求 f(x)在 1， a上的最大值；13(3)在(2)的条件下，是否存在实数 b，使得函数 g(x) bx的图象与函数 f(x)的图象恰有 3个交点？若存在，请求出实数 b的取值范围；若不存在，试说明理由【答案】 (1) f( x)3 x22 ax3. f(x)在 1，)是增函数， f( x)在 1，)上恒有 f( x)0，即3x22 ax30 在 1，)上恒成立，则必有 1 且 f(1)2 a0. a0. a3(2)依题意， f( )0，13即 a30.13 23 a4， f(x) x34 x23 x.令 f( x)3 x28 x30，得 x1 ， x23.13则当 x变化时，
11、 f( x)与 f(x)变化情况如下表x 1 (1,3) 3 (3,4) 4f( x) 0 f(x) 6 18 12 f(x)在 1,4上的最大值是 f(1)6. (3)函数 g(x) bx的图象与函数 f(x)的图象恰有 3个交点，即方程 x34 x23 x bx恰有 3个不等实根 x34 x23 x bx0， x0 是其中一个根，方程 x24 x3 b0 有两个非零不等实根Error! b7 且 b3.存在满足条件的 b值， b的取值范围是 b7 且22某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为 (0)k，且知当利率为 0.012时，存款量为 1.44亿；
12、又贷款的利率为 4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为 x， (0,.48)，则当 x为多少时，银行可获得最大收益？（提示：银行收益=贷款获得利润银行支付的利息）【答案】由题意知：存款量 2()fxk，当利率为 0.012时，存款量为 1.44亿，即 0.12x时， .4y；由 21.(0.1)，得 10k，故 ()fx，银行应支付的利息 3()()10gfxx，设银行可获收益为 y，则 248，由于 29603yx，则 0y，即 ，得 x或 .32因为 (0.32)x，时， 0y，此时，函数 234801yxx是增函数；.48时， ，此时，函数 0是减函数；故当 0.32x时， y有最大值，其值约为 0.164亿
