1、 本科毕业设计(论文)荆门市人口模型研究学 院 数理学院 专 业 数学与应用数学 年级班别 08 数本 1 班 学 号 2008409010154 学生姓名 艾 博 指导教师 侯兰宝(讲师) 2012 年 5 月 18 日JINGCHU UNIVERSITY OF TECHNOLOGY2目 录摘要 3关键词 31 问题的背景 42 模型的假设 43 符号说明 44 问题分析 45 荆门市人口现状描述与分析 56.人口预测模型及合理性 .66.1 马尔萨斯人口模型 .66.2 灰色预测 GM（1,1）模型 .76.3 Logistic 模型 106.3.1 总人口预测 106.3.2 出生率预测
2、 116.3.3 死亡率预测 136.3.4 城镇、乡村人口预测 136.4 回归模型 .147 预测结果及结论 157.1 预测结果 .157.2 模型评价 .167.3 模型优缺点 .167.3.1 灰色预测模型的优缺点 167.3.2 Logistic 模型优缺点 .16致谢 18参考文献 193荆门市人口模型研究摘要： 通过对 1996 2010 年荆门市人口总量的分析，以及从 2010 年第 6 次全国人口普查中荆门市的相关情况，重点考察了荆门市的生育状况、死亡状况、年龄和性别状况，找出荆门市人口存在的问题 通过运用马尔萨斯人口模型、回归模型、灰色预测模型以及提出的 Logistic
3、 模型以对荆门市的人口进行预测，并进行模型之间的比较，进而得出荆门市未来人口的发展状况.关键词： 年龄和性别状况； 马尔萨斯人口模型；灰色预测模型 ；Logistic 模型 ；回归模型Study of the Population Forecasting Model for JingmenAbstract： Through an analysis of the total population of Jingmen between 1996 and 2010 as well as the sixth census statistics obtained since 2010 in Jingme
4、n，this paper focuses on a study of its birth rate，death rate，age and sex groups，and points out the existing problemsApplying the Malthuss population model，the logistic model and the linear regression model，the paper predicts the total population of Jingmen and its development trendKey words： age and
5、 sex groups； Malthus population model；Gray prediction model； Logistic model；Regression model41 问题的背景人类文明发展到今天，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口预测模型的研究对制定比较长远的发展规划有非常重大的意义，并且人口预测研究是制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于经济计划的制定和战略目标的决策具有重要参考价值.2 模型的假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些未知因素的干扰，提出以下几点假设：1、文中所用的数据均来自中国统计信息网，不考虑存在错误的
6、情况；2、预测期间出生和死亡水平比较稳定，即使有变化，也比较有规律的；3、不考虑重大事件如自然灾害等对人口预测的影响；4、不考虑人口的迁入、迁出的影响，总人口的变化情况至于人口出生率和死亡率直接关联；3 符号说明为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明）符号 符号意义t离起始年 1996 年的年数P第 年人口总数t0起始年的人口总数m中国人口总数峰值4 问题分析一个国家或一个地区根据人口现状以及对影响人口发展的各种因素的假设，对未来某一时间人口规模、水平和趋势所做的测算，即为人口预测 如何使人口、资源、5环境与经济协调发展已经成为当今社会众多
7、学者关注的问题 然而，人口预测是一个比较复杂的问题 因为影响人口发展过程的因素很多，要将这些所有因素都准确地包含在预测之内，显然是比较困难的 所以在人口预测中，一般只能根据过去的人口发展变化的实际统计资料，加以分析比较，找出历史上人口发展过程中一些带有共同规律并考虑到未来其他各种因素的影响5 荆门市人口现状描述与分析 1根据国务院的决定，我国以 2010 年 11 月 1 日零时为标准时点进行了第六次全国人口普查.在国务院、湖北省和荆门市各级人民政府的统一领导和全市人民的支持配合下，通过近一万五千名普查工作人员的艰苦努力，圆满完成了人口普查的现场登记和复查任务.目前，主要数据的快速汇总工作已经
8、结束，现公布初步汇总数如下：2010 年 11 月 1 日零时，全市常住人口为 2873687 人.常住人口包括，居住在本乡镇街道，户口在本乡镇街道或户口待定的人；居住在本乡镇街道，户口在外乡镇街道，离开户口所在的乡镇街道半年以上的人；户口在本乡镇街道，外出不满半年或在境外工作学习的人.全市常住人口共有家庭户 818567 户，家庭户人口为 2649504 人，平均每个家庭户的人口为 3.24 人，比 2000 年第五次全国人口普查的 3.52 人减少了 0.28 人.全市常住人口中，男性为 1461184 人，占总人口的 50.85%；女性为 1412503 人，占总人口的 49.15%.总
9、人口性别比（以女性为 100，男性对女性的比例）由 2000 年第五次全国人口普查的 106.14 下降为 103.45.全市常住人口中，0-14 岁的人口为 341162 人，占总人口的 11.87%；15-64 岁的人口为 2282177 人，占总人口的 79.42%；65 岁及以上的人口为 250348 人，占总人口的8.71%.同 2000 年第五次全国人口普查相比，0-14 岁人口的比重下降了 9.27 个百分点，15-64 岁人口的比重上升了 7.18 个百分点，65 岁及以上人口的比重上升了 2.09 个百分点.全市常住人口中，具有大学（指大专以上）程度的 203836 人；具有
10、高中（含中专）程度的 600116 人；具有初中程度的 1245281 人；具有小学程度的 577379 人（以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生）.同 2000 年第五次全国人口普查相比，每 10 万人中具有大学程度的由 3093 人上升为 7093 人；具有高中程度的由 14976 人上升为 20883 人；具有初中程度的由 39713 人上升为 43334 人；具有小学程度6的由 30170 人下降为 20092 人。全市常住人口中，文盲人口（15 岁及以上不识字的人）为 95320 人，文盲率（是 指 15 岁及以上不识字人口占总人口的比重）由第五次全国人口普查时
11、的 5.64%下降为 3.32%，下降了 2.32 个百分点.6 人口预测模型及合理性6.1 马尔萨斯人口模型 2马尔萨斯模型是一种关于人口或种群增长的模型.它发现人口或种群是在成指数增长.假设在 时刻（单位以年计）人口为 ，则人口的增长率 由出生率t )(tpdtp)(和死亡率 决定。假定 和 不随时间的变化而变化，即t),B(pt),D(p,Bt),D(相对于 来说， 和 为常数，从而有 ，,t),( B(p) ,如果说 1000 个人中每年有 50 个小孩出生，那么我们就可以认为()t),D(2000 个人中每年有 100 个小孩出生是有依据的。换句话说就是出生率是与人口成正比的。如果我
12、们设出生率为 R ，死亡率为 ，则有 = = ，同样道理12t),B(p(p)P(t)R1，此处 R 和 R 均为大于 0 的常数，并且一般来说P(t)(p)t),(21.0R21由上面的叙述可以得出：)(-(Pt) -(t) )( 21221 tpdtp令 ，则可得到a21R-.(t) t假设在基年 时的人口数量是 ，则我们对 积分可以得到： 0)P(0t aP(t)dtp,这既是马尔萨斯人口模型.etatP)(0)(但是，肯定得自然增长率 a 不是一个固定不变的数值，所以在应用这个模型的时候我们还得对荆门市人口自然增长率进行估计.通过对荆门市 1996-2010 年人口自然增长率进行研究，
13、特作出自然增长率如图所示：7荆 门 市 人 口 自 然 增 长 率-10.00-5.000.005.0010.001996年1998年2000年2002年2004年2006年2008年2010年年 份人口自然增长率/%系 列 1图 1 荆门市人口自然增长率通过图 1 我们可以看出，荆门市人口自然增长率 并不是一直上升的，而是有上下起伏波动的，此时我们就要用时间序列模型来模拟自然增长率的趋势.若令 代表1x1996 年荆门市的人口自然增长率， 代表 1997 年荆门市的人口自然增长率， 代表2x 31998 年荆门市的人口自然增长率，以此类推。得到一元线性回归模型：tbxt10计算得到以下结果：
14、相关系数73.20b42.1 281.0R这说明模型是不显著的，所以这个模型不可用，我们必须寻找其他的模型. 6.2 灰色预测 GM（1,1）模型介绍灰色预测模型前，我们先来了解一下白色系统、黑色系统和灰色系统.白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全明确的；黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究；灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知 的，系统内各因素间有不确定的关系. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的
15、系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测.灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来8寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况.灰色预测方法的特点表现在它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据，此方法不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型，这样可以抵消大部分随机误差，显示出规律性.灰色预测 GM（1,1）模型的建立步骤 3：（1）设原始数据序列为 ，经 1-AGO 算子作用即令0001
16、,2,.Xxxn得到原始数据数列的一次累加和 ，我01kixx111,2,.Xxn们称 为 GM(1,1)模型的原始形式.ab（2）令 为 紧邻均值生成序列，即：1ZX1112,3,.Zzzn其中 ，我们称 为 GM(1,1)模型111 ,.2xkzkn 01xkazb的基本形式。在 GM(1,1)模型中， 称为发展系数， 称为灰色作用量.ab（3）利用 数据数列可以建立微分方程（白化方程）：1x1dxt我们可以求解方程得到： 101akbxkxe用最小二乘法计算 1()TaBYb其中 01012233.xzYBxnzn我们由此可得到 即为累加数列的预测值，对数列 进行还原得到数列 的1xk1
17、x0x预测值，即：0001xkxkk9我们从国家统计局网查找中国统计年鉴 2010，以此作为灰色预测的初始数据，对未来 5 年人口进行预测.表 1 2001-2005 荆门市人口总数统计 1年份 2001 2002 2003 2004 2005总人口数（万人） 299.0 300.5 300.6 298.4 294.9由上表我们很容易得到原始数据序列为： )98.4,2.5,306(29)0X对原始数据数列进行一次累加和得到： 13.) .5,.,()1由此，我们可以依次得到：B= Y=95.13408.729.2486.30利用最小二乘法计算得到：=-0.0025a=298.25b所以我们得
18、到累加数列的预测值： 101akbxkxe1930-195e025.k由 我们可以得到预测值并与实际统计值比较得到如下0001xk表格：表 2 2001-2005 年统计人口与预测人口比较年份 2001 2002 2003 2004 2005统计人口 299.00 300.5 300.6 298.4 294.9预测人口（万人） 299.37 300.12 300.87 301.63 302.38误差 0.120% 0.126% 0.057% 1.082% 2.536%10从表中我们可以清晰看出，预测人口与统计人口差距在慢慢拉大，而且预测人口是会一直无限的增加，而荆门市是处于一个相对稳定的状态，
19、人口不可能会一直增加，所以我认为该预测模型只适用于短期的预测.6.3 Logistic 模型6.3.1 总人口预测我们假设 时的人口为 ，人口增长率为 ，则第 的人口为:0t0Prt(1)tt我们将上式两边同时取对数且同乘以 ，得到：r0lnl()tPtr化简得到: 0rtte由于时间变量 连续，我们可以对上式直接求导得到微分方程：t0rtdPteP上式即为人口增长的马尔萨斯模型，我们知道由于受到自然资源环境、资源等因素的影响，人口不可能一直成指数型增长，这些因素对人口数量具有阻滞作用，随着人口的增加，阻滞作用就越大，此时我们需要对上式进行修改，从而得到下式的 Logistic阻滞人口增长模型
20、 4： 1mdPtPtrt对上式进行求解我们即可得到预测敞口数量的方程： 00,111mrtrtmPt eP其 中我们取 1996 年为初始年份，分别代入 1997,2002,2003 年人口数据求得：3.04518.mpr所以：11105.134)(08.tetP对此，我们绘制上述 Logistic 模型的曲线图如下：图 2 荆门市未来人口预测从图 2 中我们可以清楚看出荆门市人口将在以后基本达到稳定，此后人口总数基本保持不变，即自然增长约为 0.从上述方程中，我们能够很容易预测未来几十年的荆门市人口总述.6.3.2 出生率预测我们从国家统计局查找相关 2000-2010 年的出生率统计数据
21、如下表 1：12表 3 2000-2010 年出生率统计年份 出生率（）2000 6.182001 6.222002 6.822003 6.342004 6.692005 7.862006 7.312007 7.832008 7.512009 7.872010 8.99观察数据特点我认为出生率应该是呈正指数增加，所以可以设方程为： baeYrt从表中带入数据求得出生率预测方程为： 7.3950.15.t图 3 出生率预测图我们从图 3 可以看出出生率是在不断增加的，但从长远来看，随着国家政策的控制，出生率不可能一直增加，它会达到一个临界点，最终达到一个稳定的状态. 136.3.3 死亡率预测我
22、们从国家统计局查找相关 2000-2010 年的死亡率统计数据如下表：表 4 2000-2010 年死亡率统计年份 死亡率（）2000 5.092001 5.112002 5.042003 5.012004 5.082005 5.062006 5.12007 4.722008 3.932009 4.112010 17.64从表 4 我们可以看到 2000-2006 年的死亡率基本维持在 5.0 与 5.1 左右波动，而后死亡率会有些减小，2010 年死亡率增加到 17.64，可能是由于一些自然原因造成，总的来说没有其他原因的影响，死亡率相对比较平稳，对人口增长不会造成动态影响。 6.3.4 城
23、镇、乡村人口预测表 5 2005-2009 年城镇与乡村人口统计年份城镇人口数（万）城镇人口比例乡村人口数（万）乡村人口比例2005 123.15 42.31 167.95 57.692006 104.61 35.48 190.28 64.522007 126.33 42.31 172.27 57.692008 110.89 36.95 189.22 63.052009 113.49 37.70 187.56 62.3014从表 5 分析来看，荆门市城镇人口数在缓慢的增加，乡村人口数在慢慢的减少，可见如今乡村人口正在逐步往城市和城镇迁移，这对于荆门市未来人口发展还是有一定影响的，因为乡村人口由
24、于计划生育等措施普及没有城镇范围广，导致生育率相对较高，而且乡村人口基数相对较大，所以对过去的人口增长有很大影响，但随着乡村人口往城镇的慢慢迁移，使得荆门市总体的生育率有所下降，这就能很好的控制人口的增长.6.4 回归模型 8910回 归 分 析 (regression analysis) 7是 研 究 一 个 变 量 关 于 另 一 个 （ 些 ） 变 量 的具 体 依 赖 关 系 的 计 算 方 法 和 理 论 .从 一 组 样 本 数 据 出 发 ， 确 定 变 量 之 间 的 数 学 关 系 式对 这 些 关 系 式 的 可 信 程 度 进 行 各 种 统 计 检 验 ， 并 从 影
25、响 某 一 特 定 变 量 的 诸 多 变 量 中 找出 哪 些 变 量 的 影 响 显 著 ， 哪 些 不 显 著 。 利 用 所 求 的 关 系 式 ， 根 据 一 个 或 几 个 变 量 的 取值 来 预 测 或 控 制 另 一 个 特 定 变 量 的 取 值 ， 并 给 出 这 种 预 测 或 控 制 的 精 确 程 度 。 这里 前 一 个 变 量 被 称 为 被 解 释 变 量 （ Explained Variable） 或 应 变 量 （ Dependent Variable） ， 后 一 个 （ 些 ） 变 量 被 称 为 解 释 变 量 （ Explanatory Varia
26、ble） 或 自 变量 （ Independent Variable） .在 对 荆 门 市 人 口 作 出 研 究 ， 我 运 用 了 简 单 的 一 元 线 性 回 归 模 型 4， 假 设 用 t代 表 年 份 ， 我 们 把 1996 年 用 t =1 来 表 示 ， 以 此 类 推 ， 我 们 用 y 来 表 示 第 t 年 的i i人 口 ， 所 以 我 们 有 一 下 的 模 型 ：tby10其 中 221iiittnby10现 在 在 下 表 6 我 们 给 出 荆 门 市 1996 年 到 2005 年 的 人 口 数 据15表 6 1996 年 到 2005 年 荆 门 市
27、 人 口年份/年 t人口总数/万人1996 1 289.41997 2 292.81998 3 296.31999 4 300.062000 5 297.082001 6 2992002 7 300.52003 8 300.62004 9 298.42005 10 291.1从表中数据计算可得到578.296y5.t通过计算得到 1b22iiittny63.y10.8从 而tb10t63.2.7 预测结果及结论7.1 预测结果对荆门市总人口做灰色模型、Logistic 模型以及回归模型预测结果，如下表表 7 荆门市总人口灰色模型预测年份 2006 2007 2008 2009 2010预测值/
28、万人302.38 303.14 303.90 304.66 305.4216表 8 荆门市总人口 Logistic 模型预测年份 2006 2007 2008 2009 2010预测值/万人293.90 294.33 294.74 295.13 295.40表 9 荆门市总人口回归模型预测年份 2006 2007 2008 2009 2010预测值/万人311.06 313.69 316.32 318.25 321.587.2 模型评价根据表 7、表 8 和表 9 所预测的人数跟实际人数的对比，我们可以很明显的计算出，灰色预测模型的平均误差为 5.004，Logistic 模型的平均误差为 4
29、.196，回归模型的平均误差为 17.58，这就说明用 Logistic 模型来估计荆门市未来人口数量是相对来说比较合适的.7.3 模型优缺点7.3.1 灰色预测模型的优缺点灰色预测模型对于影响人口系统的因素,除了出生率和死亡率外，还有人口迁移，社会经济,自然环境, 科学技术等一系列方面, 这些众多的因素, 不是用几个指标所能表达清楚的.而且, 它们之间的结构关系错综复杂, 它们对人口增长的作用更是无法精确计算.多数因素都在动态变化之中, 其运行机制和变化规律难以完全明白. 所以，将灰色模型用到人口短期预测中不仅简单而且能达到比较准确的预测效果。但灰色预测模型在其使用条件上存在着一定的限制，它
30、是描述按指数规律变化的事物的模型，因此，它使用于呈指数规律发展变化的系统进行预测，也就是说我们默认了人口的指数增长方式，而且人口的发展速度却可能由于各种因素的影响而出现阶段性增长的特征，呈“波浪”型发展，那么利用 GM(1,1)模型进行预测时，由于累加生成数列的缘故，也会对其发展的规律产生影响，削弱人口系统发展的阶段性规律.7.3.2 Logistic 模型优缺点17Logistic 模型是在马尔萨斯的人口指数增长模型的基础上，不仅承传了马尔萨斯人口模型指数增长模型简单的优点，而且能比其更准确的预测出中长期中国人口的数量，是一个较实用的中国人口中长期预测模型。但其预测人口总数时没有对性别、年龄
31、等进行分类，预算结果不够精确，并且未考虑出生人口性别比的不断增大对人口发展的影响.18致谢：在此论文撰写过程中，要特别感谢我的导师侯兰宝老师的悉心指导，侯老师在百忙中还要抽时间对我们的论文进行指导和批阅，在此我对侯老师的敬业精神再次感谢！侯老师作为一名优秀的、经验丰富的教师，具有丰富的数学专业知识和论文指导经验，在整个论文写作过程中，从选题、列提纲到论文初稿都对我进行了耐心指导和帮助，引导我开阔思路，鼓励我进行个人创新，在这过程中让我增长了知识、锻炼了心态. 同时，也要感谢我的班主任龙兵老师，感谢他在这两年中为我们班所做的一切，他不求回报，一切都以班集体的利益出发为我们办事.也感谢龙老师作为我
32、们的班主任对我们写论文进行督促和教诲.感谢所有的同学们，有你们的陪伴和关心我们彼此才能顺利完成毕业论文.感谢这篇论文所涉及到的各位学者.本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作.感谢我们的母校荆楚理工学院，让我拥有一个快乐充实的大学生活。感谢我的父母，没有他们辛勤的付出，也就没有我学业有成的今天，谢谢您们！由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师批评和指正！19参考文献：1中华人民共和国国家统计局M.中国人口统计年鉴 2011.2龙承星，张波. 昆明市人口预测模型研究J. 云南民族大学学报（自然科学版） ,2011.20
33、(4).3周瑞平. GM（1,1）模型灰色预测法预测城市人口规模J. 内蒙古师范大学学报,2005.34(1). 4邵晓峰,张克新.黄冈市人口增长模型的研究J.数学的实践与认识,2008(13).5杨丽霞等.数学模型在人口预测中的应用以江苏省为例J.长江流域资源与环境,2006(3).6唐云，关于中国人口预测的数学模型J.工程数学学报 ,2007(24).7王艳萍，人口增长率经典模型多元回归分析研究J.太原师范学院学报（自然科学版） ，2008.7(3).8韩中庚，数学建模方法及其应用M.北京：高等教育出版社， 2009.9陈光亭，数学建模M.北京：高等教育出版社， 2010.10宋健，田雪原，于景元，人口预测和人口控制M.北京：人民出版社， 1982.20毕业设计（论文）成绩评定表指导教师评语：分数： 签名： 年 月 日答辩小组评语：答辩小组成员签字：分数： 签名： 年 月 日答辩委员会意见（同意给优、良、中、及格、不及格等次）分数： 签名： 年 月 21日学院负责人签字：
