1、3.1.1 方程的根与函数的零点（教学设计）教学目标：知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件过程与方法：零点存在性的判定情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定难点：零点的确定一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程 的根与二次函数)0(2acbxa数的图象有什么关系？)0(2cbxay先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型方程 与函数 ；032x32xy方程 与函数 ；11方程 与函数 ；2x2xy
2、再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图一元二次方程 有两不同根就是相应的二次函数)0(2acbxa的图象与 轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；02cbxay一元二次方程 有两个重根就是相应的二次函数)(2cx的图象与 轴一个交点，且其横坐标就是根；2cxy一元二次方程 无实数根就是相应的二次函数)0(2acbxa的图象与 轴没有交点；02cbxay总之，一元二次方程 的根就是相应的二次函数)(2cx的图象与 轴的交点的横坐标02cbxayx二、师生互动，新课讲解：1、函数的零点对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点)(xfy0)(xfx)(xfy（zero point） 显然，函
3、数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数)(f )(f的图象与 轴的交点的横坐标)(xfy方程 有实数根函数 的图象与 轴有交点 函数 有0)(xfy)(xfy零点2、函数零点的判定：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与 x 轴的交点情况。 问题 1： 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图，第一组第一行两图，第二组第二行两图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？第组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第组中他的行程就不一定曾渡过河。问题 2：将河流抽象成 x
4、 轴，将前后的两个位置视为 A、B 两点。请问当 A、B 与 x 轴怎样的位置关系时，AB 间的一段连续不断的函数图象与 x 轴一定会有交点？A、B 两点在 x 轴的两侧。问题 3： A、B 与 x 轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？A、B 两点在 x 轴的两侧。可以用 f（ a） f（ b）0,则 ，这说明函数 在区间（2，3）内有零点。结合函数 的单调性，进而说明 零点是只有唯一一个变式训练 2：利用函数图象判断下列方程有几个根（1）2x(x-2)=-3 （2） 0xe例 3：已知函数 ，问该函数在区间 内是否有零点？13)(xf )1,2(解：因为 ， ，所以 ，又函数020)
5、(f 0ff是连续的曲线，所以 在区间 内有零点1)(3xf )(xf),(变式训练 3：函数 的零点所在的大致区间是（ B ）xf2ln)(（A） (B) (C) (D) 2,)3,()3,(e),(e三、课堂小结，巩固反思：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的)(xfy,ba函数值符号相反，那么，函数 在区间 内至少有一个零点，即相应的方程)(xfy),(ba在区间 内至少有一个实数解0)(xf),(会用代数法或几何法（特别转化为两条曲线的交点）来判断零点的个数。四、布置作业：A 组：1 （课本 P92 习题 3.1 A 组 NO：2）2 求下列函数的零点：（1
6、 ） ；（2） ；（3）452xy 0xy )13)(2xxy)3)()(xf3 求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1 ） ；（ 2） 12xy 142xy4 已知 ：)()mf（1 ） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；m（2 ）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值5 求下列函数的定义域：（1 ） ；（2） ；（3）9xy42xy 1242xy6设函数 求函数 的零点个数。()ln1f )(fB 组：1、函数 f(x)x 的零点个数为( A )1xA0 B1 C2 D32若 yf(x) 在区间 a，b上的图象为连续
7、不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A若 f(a)f(b)0，不存在实数 c(a，b)，使得 f(c)0D若 f(a)f(b)0，有可能存在实数 c( a，b)，使得 f(c)0答案 D3方程 2xx0 在下列哪个区间内有实数根( )A(2，1) B(0,1) C(1,2) D( 1,0)答案 D4若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5) 内，那么下列说法中错误的是 ( )A函数 f(x)在(1,2)或2,3)内有零点 B函数 f(x)在(3,5)内无零点C函数 f(x)在 (2,5)内有零点 D函数 f(x)在(2,4) 内不一定有零点答案 C5函数 f(x)log 3x82x 的零点一定位于区间( )A(5,6) B (3,4) C(2,3) D(1,2)答案 B解析 f(3)log 3382310.又 f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)
