1、专题 40：尺规作图一、选择题1. （2012 浙江绍兴 4 分）如图，AD 为O 的直径，作O 的内接正三角形 ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作 OD 的中垂线，交O 于 B，C 两点，2、连接 AB，AC，ABC 即为所求的三角形 乙：1、以 D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交O 于 B， C 两点。2、连接 AB，BC，CAABC 即为所求的三角形。对于甲、乙两人的作法，可判断【 】A 甲、乙均正确 B 甲、乙均错误 C甲正确、乙错误 D甲错误，乙正确【答案】A。【考点】垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30 度角的直角三角形。【分析】根据
2、甲的思路，作出图形如下：连接 OB，BC 垂直平分 OD，E 为 OD 的中点，且ODBC。OE=DE= OD。12又OB=OD， 在 RtOBE 中，OE= OB。OBE=30。12又OEB=90，BOE=60。OA=OB， OAB=OBA。/ 19- 2 -又BOE 为AOB 的外角，OAB= OBA=30 ，ABC= ABO+ OBE=60 。同理C=60。BAC=60。ABC=BAC=C=60。ABC 为等边三角形。故甲作法正确。根据乙的思路，作图如下：连接 OB，BD 。OD=BD，OD=OB，OD=BD=OB 。BOD 为等边三角形。OBD=BOD=60 。又BC 垂直平分 OD，
3、OM=DM。BM 为OBD 的平分线。OBM= DBM=30。又OA=OB，且 BOD 为 AOB 的外角，BAO=ABO=30。ABC=ABO+ OBM=60 。同理ACB=60。BAC=60。ABC=ACB=BAC。ABC 为等边三角形。故乙作法正确。故选 A。2. （2012 山东济宁 3 分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC 的依据是【 】ASSS BASA CAAS D角平分线上的点到角两边距离相等【答案】A。【考点】作图（基本作图） ，全等三角形的判定和性质。【分析】连接 NC，MC ，根据 SSS 证ONC OMC，即可推出答案：在ONC 和O
4、MC 中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，ONCOMC（SSS） 。AOC=BOC。故选 A。3. （2012 河北省 3 分）如图，点 C 在AOB 的 OB 边上，用尺规作出了 CNOA，作图痕迹中， 是【 】AFGA以点 C 为圆心，OD 为半径的弧 B以点 C 为圆心，DM 为半径的弧C以点 E 为圆心，OD 为半径的弧 D以点 E 为圆心， DM 为半径的弧【答案】D。【考点】作图（基本作图） ，平行线的判定，全等三角形的判定和性质。【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到 CNOA，只要作出BCN=AOB 即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答：根据题意，所作出的是BC
5、N=AOB ，根据作一个角等于已知角的作法， 是AFG以点 E 为圆心，DM 为半径的弧。故选 D。4. （2012 吉林长春 3 分） 如图，在平面直角坐标系中，在 x 轴、y 轴的正半轴上分别截取 OA、OB,使 OA=OB；再分别以点 A, B 为圆心，以大于 AB 长为半径作弧，两弧交于12点 C若点 C 的坐标为(m1,2n), 则 m 与 n 的关系为【 】(A)m2n=1 (B)m2n=1 (C)2nm=1 (D)n2m=1【答案】B。【考点】作图（基本作图） ，角平分线性质，点到 x 轴、y 轴距离。【分析】如图，根据题意作图知，OC 为AOB 的平分线，点 C 的坐标为(m1
6、,2n)且在第一象限，点 C 到 x 轴 CD=2n，到 y 轴距离 CE= m1。根据角平分线上的点到角两边距离相等，得 m1=2n，即 m2n=1 。故选B。/ 19- 4 -二、填空题1. （2012 河南省 5 分）如图，在ABC 中，C=90 0，CAB=50 0，按以下步骤作图：以点 A 为圆心，小于 AC 的长为半径，画弧，分别交 AB，AC 于点 E、F；分别以点 E,F为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G；作射线 AG，交 BC 边与点 D，12则ADC 的度数为 【答案】65 0。【考点】作图，角平分线的性质，三角形内角和外角的性质。【分析】根据已知条件中的
7、作图步骤知，AG 是CAB 的平分线，根据角平分线的性质有GAB=25 0。在ABC 中，C=90 0，CAB=50 0，根据三角形内角和定理，得B=40 0。根据三角形外角性质，得ADC =40 025 0=650。2. （2012 江西省 3 分）如图，已知正五边形 ABCDE，仅用无刻度的直尺准确作出其一条对称轴。 （保留作图痕迹）【答案】作图如下：【考点】作图题，【分析】正五边形的性质。连接 BD，CE 交于点 O，连接 AO，即为所求。三、解答题1. （2012 广东省 6 分）如图，在ABC 中，AB=AC ， ABC=72（1）用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点
8、 D（保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2）在（1）中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数【答案】解：（1）作图如下：（2）在ABC 中，AB=AC ，ABC=72 ，A=1802ABC=180144=36。AD 是ABC 的平分线，ABD= ABC= 72=36。12BDC 是ABD 的外角，BDC=A+ABD=36+36=72。【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。【分析】 （1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出ABC 的平分线：以点 B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB、BC 于点 E、F；分别以点 E、F 为圆心，大于 EF 为半
9、径画圆，两圆相较于点 G，连接12BG 交 AC 于点 D。（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出A 的度数，再由角平分线的性质得出ABD 的度数，再根据三角形外角的性质得出BDC 的度数即可。/ 19- 6 -2. （2012 广东佛山 8 分）比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；构造图形，如果一个角包含(或覆盖) 另一个角，则这个角大对于如图给定的ABC 与DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小注：构造图形时，作示意图（草图）即可3. （2012 广东珠海 6 分）如图，在ABC 中，AB=AC ， AD 是高，AM
10、是ABC 外角CAE 的平分线（1）用尺规作图方法，作ADC 的平分线 DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设 DN 与 AM 交于点 F，判断ADF 的形状 （只写结果）【答案】解：（1）如图所示：（2）ADF 的形状是等腰直角三角形。【考点】作图（基本作图） ，平行的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】 （1）作法：以 D 为圆心，以任意长为半径画弧，交 AD 于 G，交 DC 于 H，分别以 G、H 为圆心，以大于 GH 为半径画弧，两弧交于 N，作射线 DN。则 DN 即为所求。12（2）设 DN 交 AM 于 F，则AB=AC，AD 是高，BAD=CAD。又AM 是ABC
11、外角CAE 的平分线，FAD= 180=90。12AFBC。CDF=AFD。又AFD= ADF，CDF =ADF。AD=AF。ADF 是等腰直角三角形。4. （2012 广东汕头 7 分）如图，在ABC 中，AB=AC ， ABC=72 （1）用直尺和圆规作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2）在（1）中作出ABC 的平分线 BD 后，求BDC 的度数/ 19- 8 -【答案】解：（1）作图如下：（2）在ABC 中，AB=AC ，ABC=72 ，A=1802ABC=180144=36。AD 是ABC 的平分线，ABD= ABC= 72=36。12BD
12、C 是ABD 的外角，BDC=A+ABD=36+36=72。【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。【分析】 （1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出ABC 的平分线：以点 B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB、BC 于点 E、F；分别以点 E、F 为圆心，大于 EF 为半径画圆，两圆相较于点 G，连接12BG 交 AC 于点 D。（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出A 的度数，再由角平分线的性质得出ABD 的度数，再根据三角形外角的性质得出BDC 的度数即可。5. （2012 浙江杭州 8 分）如图，是数轴的一部分，其单位长度为 a，已知
13、ABC 中，AB=3a，BC=4a，AC=5a（1）用直尺和圆规作出ABC（要求：使点 A，C 在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法） ；（2）记ABC 的外接圆的面积为 S 圆 ，ABC 的面积为 S ，试说明 圆【答案】解：（1）如图所示：（2）AB 2+BC2=AC2=5a2，ABC 是直角三角形，且 AC 是斜边。AC 是ABC 外接圆的直径，则半径为 。5a2ABC 的外接圆的面积为 S 圆 ，S 圆 = 。25a4又ABC 的面积 SABC = 3a4a=6a2。1 。25aS4=6圆【考点】作图（三角形） ，勾股定理逆定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心。【分析】 （1）在数轴
14、上截取 AC=5a，再以 A，C 为圆心 3a，4a 为半径，画弧交点为 B，连接 AB，BC，则ABC 即为所求。（2）由三边，根据勾股定理逆定理知ABC 是直角三角形，根据直径所对圆周角是直角的性质知 AC 是ABC 外接圆的直径。从而求出圆和三角形面积即可求出二者的比值。6. （2012 湖北宜昌 7 分）如图，已知 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 上的点，连接 DE（1）在ABC 的内部，作射线 BM 交线段 CD 于点 F，使 CBF=ADE；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）在（1）的条件下，求证：ADECBF / 19- 10 -【答案】 （1）解：
15、作图如下：（2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，A=C，AD=BC 。ADE=CBF，ADECBF（ASA ） 。【考点】作图（复杂作图） ，平行四边形的性质，全等三角形的判定。1419956【分析】 （1）以点 C 为圆心， AC 长为半径画弧，交 CD 于点 F，连接 BF，则CBF= ADE。（2）根据平行四边形的性质可得A=C，AD=BC ，由 ASA 可证ADECBF。7. （2012 湖北荆州 8 分）如图，RtABC 中，C=90，将ABC 沿 AB 向下翻折后，再绕点 A 按顺时针方向旋转 度（BAC） ，得到 RtADE ，其中斜边 AE 交 BC 于点F，直角边 DE
16、 分别交 AB、BC 于点 G、H （1）请根据题意用实线补全图形；（2）求证：AFBAGE【答案】解：（1）画图，如图：（2）证明：由题意得：ABCAED 。AB=AE，ABC=E。在AFB 和 AGE 中，ABC=E ，AB=AE ，= ，AFB AGE（ASA ） 。【考点】翻折变换（折叠问题） ，旋转的性质，全等三角形的判定。【分析】 （1）根据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系。（2）由题意易得ABCAED ，即可得 AB=AE，ABC=E，然后利用 ASA的判定方法，即可证得AFB AGE 。8. （2012 四川达州 7 分）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆
17、规作角平分线，方法如下： 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_.小聪的作法正确吗？请说明理由.请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）【答案】解：(1)SSS。 (2)小聪的作法正确。理由如下： PMOM , PNON，OMP=ONP=90。在 Rt OMP 和 RtONP 中，OP=OP ，OM=ON ，RtOMPRtONP （HL） 。MOP= NOP 。OP 平分AOB。 （3）如图所示. / 19- 12 -步骤：利用刻度尺在 OA
18、、OB 上分别截取 OG=OH； 连接 GH，利用刻度尺作出 GH 的中点 Q； 作射线 OQ。则 OQ 为AOB 的平分线。【考点】作图（复杂作图） ，全等三角形的判定和性质。【分析】 （1）根据全等三角形的判定即可求解。（2）根据 HL 可证 RtOMPRtONP ，再根据全等三角形的性质即可作出判断。（3）根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可。9. （2012 四川巴中 9 分）如图 1，在每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形方格纸中有OAB，请将OAB 绕点 O 顺时针旋转 90，画出旋转后的OAB；折纸：有一张矩形纸片 ABCD（如图 2） ，要将点 D 沿
19、某条直线翻折 180，恰好落在 BC 边上的点 D处， ，请在图中作出该直线。【答案】解：如图，OAB 即为所求图形。如图，直线 MN 即为所求图形。【考点】作图（旋转和轴对变换）。【分析】 （1）根据旋转角度为 90，旋转方向为顺时针，旋转中心为点 O 可找到各点的对应点，顺次连接即可得出ABO 即可。（2）连接 DD，再作出 DD的垂直平分线即可。10. （2012 山东青岛 4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：线段 a、c ， 求作：ABC，使 BCa，ABc，ABC 结论：【答案】解：（1）作图如下，ABC 即为所求。/ 19- 14 -【考点】作图（基本作图）
20、。【分析】作ABC= ， 作 BCa，ABc ，连接 AC。ABC 即为所求。11. （2012 广西北海 8 分）已知：如图，在ABC 中，A30，B60。（1）作B 的平分线 BD，交 AC 于点 D；作 AB 的中点 E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） ；（2）连接 DE，求证：ADEBDE。【答案】解：（1）作图如下：（2）证明：ABD 6030，A 30 ，12ABD A。ADBD。又AEBE，ADE BDE（SAS ） 。【考点】作图（复杂作图） ，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定。【分析】 （1）以 B 为圆心，任意长为半径画弧，交 AB、BC 于 F、
21、N，再以 F、N 为圆心，大于 12FN 长为半径画弧，两弧交于点 M，过 B、M 作射线，交 AC 于 D，线段 BD 就是B 的平分线。分别以 A、B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，两弧交于 X、Y，过12X、Y 作直线与 AB交于点 E，点 E 就是 AB 的中点。（2）首先根据角平分线的性质可得ABD 的度数，从而得到ABD=A ，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件 AE=BE，即可利用 SAS 证明ADEBDE。12. （2012 广西贵港 5 分）如图，已知ABC，且ACB90。（1）请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法和证明） ；以点 A 为圆心，BC 边的
22、长为半径作A；以点 B 为顶点，在 AB 边的下方作 ABD= BAC （2）请判断直线 BD 与A 的位置关系（不必证明） 【答案】解：（1）作图如图所示：（2）直线 BD 与A 相切。【考点】作图（复杂作图） ，直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质。【分析】 （1）以点 A 为圆心，以 BC 的长度为半径画圆即可。以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，与边 AB、AC 相交于两点 E、F，再以点 B 为圆心，以同等长度为半径画弧，与 AB 相交于一点 M，再以点 M 为圆心，以 EF 长度为半径画弧，与前弧相交于点 N，作射线 BN 即可得到ABD ；/ 19- 16 -（2）根据内错角
23、相等，两直线平行可得 ACBD，再根据平行线间的距离相等可得点 A 到 BD的距离等于 BC 的长度，然后根据直线与圆的位置关系判断直线 BD 与A 相切：ABDBAC，ACBD。ACB90，A 的半径等于 BC，点 A 到直线 BD 的距离等于 BC。直线 BD 与A 相切。13. （2012 广西玉林、防城港 6 分）已知等腰ABC 的顶角A=36（如图）.（1）作底角ABC 的平分线 BD,交 AC 于点 D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加黑） ；（2）通过计算说明ABD 和BDC 都是等腰三角形.【答案】解：（1）如图所示，BD 即为所求：（2）A=36，ABC=
24、C=（180 36）2=72。BD 平分ABC ，ABD=DBC=722=36。CDB=1803672=72。A= ABD=36 ，C=CDB=72 ，AD=DB，BD=BC。ABD 和BDC 都是等腰三角形。【考点】作图（复杂作图） ，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理。【分析】 （1）以 B 为圆心，任意长为半径画弧，两弧交 AB、BC 于 M、N 两点；再分别以M、N 为圆心，大于 MN 长为半径画弧，两弧交于一点 O，画射线 BO 交 AC 于 D。BD12即为所求。（2）根据三角形内角和为 180计算出ABC，C，CDB ，ABD，DBC 的度数，再根据等角对等边可证出结论。1
25、4. （2012 甘肃白银 7 分）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点 P，使 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等（ A、B 、C 不在同一直线上，地理位置如下图） ，请你用尺规作图的方法确定点 P 的位置要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹【答案】解：已知：A 村、B 村、C 村，求作：一个医疗点 P，使 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等。作图如下：【考点】作图（应用与设计作图） ，线段垂直平分线的性质。【分析】根据线段垂直平分线的性质知，连接 AB，作 AB 的垂直平分线 DE，连接 AC，作 A
26、C 的垂直平分线 MN，交 DE 于 P，两垂直平分线的交点即是所求答案。15. （2012 甘肃兰州 8 分）如图(1)，矩形纸片 ABCD，把它沿对角线 BD 向上折叠，(1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形( 要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由/ 19- 18 -【答案】解：(1)作图如下：(2)等腰三角形。理由如下：BDE 是BDC 沿 BD 折叠而成，BDEBDC。FDB CDB 。四边形 ABCD 是矩形，ABCD 。 ABDBDC。FDBBDC 。BDF 是等腰三角形。【考点】翻折变换(折叠问题 )，尺规作图，矩形的性质，等腰三角
27、形的判定。【分析】(1)根据折叠的性质，可以作BDF BDC，EBDCBD，则可求得折叠后的图形。作法如下：作BDGBDC，在射线 DG 上截取 DEDC，连接 BE；作DBHDBC，在射线 BH 上截取 BEBC，连接 DE；作BDGBDC，过 B 点作 BHDG，垂足为 E；作DBHDBC，过，D 点作 DGBH，垂足为 E；分别以 D、B 为圆心，DC、BC 的长为半径画弧，两弧交于点 E，连接DE、BE。则DEB 为所求做的图形。 (2)由折叠的性质，易得FDB CDB，又由四边形 ABCD 是矩形，可得ABCD，即可证得 FDB FBD，即可证得FBD 是等腰三角形。16. （2012 内蒙古赤峰 10 分）如图所示，在ABC 中，ABC= ACB（1）尺规作图：过顶点 A 作 ABC 的角平分线 AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在 AD 上任取一点 E，连接 BE、CE求证：ABEACE
