1、 / 22- 1 -专题 45：梯形一、选择题1. （2012 广东广州 3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，BCAD，AD=5，DC=4 ，DEAB 交 BC 于点 E，且 EC=3，则梯形 ABCD 的周长是【 】A26 B25 C 21 D20【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。【分析】BCAD ，DEAB，四边形 ABED 是平行四边形。BE=AD=5 。EC=3，BC=BE+EC=8。四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=DC=4 。梯形 ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选 C。2. （2012 江苏无锡 3 分）如图，梯
2、形 ABCD 中，ADBC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交 BC 于 E，连接 DE，则四边形 ABED 的周长等于【 】A 17 B 18 C 19 D20【答案】A。【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。【分析】由 CD 的垂直平分线交 BC 于 E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得 DE=CE，即可由已知 AD=3，AB=5，BC=9 求得四边形 ABED 的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17。故选 A。3. （2012 福建漳州 4 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC ，AB=DC，B=80 o，则D 的度数是【 】A120 o
3、 B110 o C100 o D80 o【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。【分析】ADBC ，B=80，A=180B=18080=100。四边形 ABCD 是等腰梯形，D=A=100。故选 C。4. （2012 湖北十堰 3 分）如图，梯形 ABCD 中，AD BC ，点 M 是 AD 的中点，且MB=MC，若 AD=4，AB=6，BC=8，则梯形 ABCD 的周长为 【 】A22 B24 C26 D28 【答案】B。【考点】梯形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】ADBC ，AMB=MBC，DMC=MCB，又MC=MB，MBC=MCB。AMB=
4、DMC 。在AMB 和DMC 中，AM=DM，AMB=DMC，MB=MC， AMBDMC （SAS） 。AB=DC 。四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=24。故选 B。5. （2012 四川宜宾 3 分）如图，在四边形 ABCD 中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= AB，点 E、F 分别为 ABAD 的中点，则AEF 与12多边形 BCDFE 的面积之比为【 】/ 22- 3 -A B C D17161514【答案】C。【考点】直角梯形的性质，三角形的面积，三角形中位线定理。【分析】如图，连接 BD，过点 F 作 FGAB 交 BD 于点 G，连接EG，CG。DCAB，
5、CBAB，AB=AD，CD= AB，点 E、F12分别为 ABAD 的中点，根据三角形中位线定理，得 AE=BE=AF=DF=DC=FG。图中的六个三角形面积相等。AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为 。故选 C。156. （2012 四川达州 3 分）如图， 在梯形 ABCD 中，ADBC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，则下列结论：EFAD； S ABO =SDCO ；OGH 是等腰三角形；BG=DG； EG=HF。其中正确的个数是【 】A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个【答案】D。【考点】梯形中位线定理，等腰三角形的判定，三角形中位线定理。【分析】在梯形 ABCD
6、中，ADBC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EFADBC ，正确。在梯形 ABCD 中，ABC 和DBC 是同底等高的三角形，S ABC =SDBC 。S AB C S OBC =SDBC S OBC ，即 SABO =SDCO 。正确。EFBC， OGH=OBC，OHG=OCB。已知四边形 ABCD 是梯形，不一定是等腰梯形，即OBC 和OCB 不一定相等，即OGH 和OHG 不一定相等，GOH 和OGH 或OHG 也不能证出相等。OGH 是等腰三角形不对，错误。EFBC，AE=BE（E 为 AB 中点） ，BG=DG，正确。EFBC，AE=BE（E 为 AB 中点） ，AH=CH。E
7、、F 分别为 AB、CD 的中点，EH= BC，FG= BC。EH=FG。12EG=FH，正确。正确的个数是 4 个。故选 D。7. （2012 山东临沂 3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 ACBD 相交于点 O，下列结论不一定正确的是 【 】AAC=BD BOB=OC C BCD=BDC DABD=ACD【答案】C。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。【分析】A四边形 ABCD 是等腰梯形，AC=BD，故本选项正确。B四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=DC ，ABC=DCB，在ABC 和DCB 中，AB
8、=DC，ABC=DCB，BC=CB，ABCDCB（SAS） 。ACB=DBC。OB=OC。故本选项正确。CBC 和 BD 不一定相等， BCD 与BDC 不一定相等，故本选项错误。DABC=DCB ，ACB= DBC，ABD=ACD。故本选项正确。故选 C。/ 22- 5 -8. （2012 山东烟台 3 分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形 ABCD 的下底在 x 轴上，且 B 点坐标为（4，0） ，D 点坐标为（0，3 ） ，则 AC 长为【 】A4 B5 C6 D不能确定【答案】B。【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】如图，连接 BD，由题意得，OB=4 ，OD=3
9、，根据勾股定理，得 BD=5。又ABCD 是等腰梯形，AC=BD=5 。故选 B。9. （2012 广西北海 3 分） 如图，梯形 ABCD 中 AD/BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AOCO2：3，AD4，则 BC 等于：【 】A12 B8 C7 D6【答案】D。【考点】梯形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】梯形 ABCD 中 ADBC，ADO=OBC， AOD= BOC。AOD COB。AO：CO=2： 3，AD=4，AD ：BC =AO ：CO =2 3 ，4：即 BC =2 ：3 。解得 BC=6。故选 D。10. （2012 广西贵港 3 分）如图，在直
10、角梯形 ABCD 中，AD/BC，C 90，AD5，BC 9，以 A 为中心将腰 AB 顺时针旋转 90至 AE，连接 DE，则ADE 的面积等于【 】A10 B11 C12 D13【答案】A。【考点】全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质，矩形的判定和性质，旋转的性质。【分析】如图，过 A 作 ANBC 于 N，过 E 作 EMAD，交 DA 延长线于 M，ADBC， C90，CADCANC 90 。四边形 ANCD 是矩形。DAN90ANBMAN，ADNC5，ANCD。BN954。MEABMANANB=90 ，EAMBAM 90 ， MABNAB 90。 EAMNAB，在EAM 和BNA
11、中，MANB；EAMBAN；AEAB，EAMBNA（AAS ） 。EMBN4。ADE 的面积是 ADEM 5410。故选 A。12 1211. （2012 内蒙古呼和浩特 3 分）已知：在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ACBD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【 】A25B50CD253024【答案】A。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】 过点 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于点 E，作 DFBC 于 F。ADBC，DEAC，四边形 ACED 是平行四边形。 AD=CE=3 ，AC=DE。在等腰梯形 ABCD 中，AC=DB ，DB
12、=DE。/ 22- 7 -ACBD ，ACDE ，DBDE。BDE 是等腰直角三角形。DF= BE=5。12S 梯形 ABCD= （AD+BC）DF= （3+7）5=25。故选 A。 121212. （2012 黑龙江龙东地区 3 分）如图，已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=BC=2AD，点 E、F 分别是 AB、BC 边的中点，连接 AF、CE 交于点 M，连接 BM 并延长交 CD 于点N，连接 DE 交AF 于点 P，则结论：ABN=CBN； DE BN； CDE 是等腰三角形； ；MB=53形 ，正确的个数有【 】EPACD1S 8形A. 5 个 B. 4 个
13、C. 3 个 D. 2 个 【答案】B。【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，相似全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，连接 DF，AC，EF，E、F 分别为 AB、BC 的中点，且 AB=BC，AE=EB=BF=FC。在ABF 和 CBE 中，AB=CB，ABF=CBE， BF=BE，ABF CBE（SAS） 。 BAF=BCE，AF=CE。在AME 和CMF 中，BAF=BCE，AME=CMF ，AE=CF，AMECMF（AAS） 。EM=FM。在BEM 和BFM 中，B
14、E=BF，BM=BM， EM=FM，BEMBFM（SSS ） 。ABN=CBN。结论正确。AE=AD，EAD=90，AED 为等腰直角三角形。AED=45 。ABC=90，ABN= CBN=45 。AED=ABN=45。EDBN。结论正确。AB=BC=2AD ，且 BC=2FC，AD=FC 。又ADFC ，四边形 AFCD 为平行四边形。AF=DC。又 AF=CE，DC=EC 。则CED 为等腰三角形。结论正确。EF 为ABC 的中位线，EF AC ，且 EF= AC。12MEF=MCA，EFM=MAC。EFMCAM。EM： MC=EF：AC=1 ：2。设 EM=x，则有 MC=2x，EC=E
15、M+MC=3x，设 EB=y，则有 BC=2y，在 Rt EBC 中，根据勾股定理得： ，2ECB5y3x= y，即 x：y= ：3。EM：BE= ：3。结论正确。55E 为 AB 的中点，EPBM，P 为 AM 的中点。 。APEMAE1SS2又 ， 。BBFM形 AEBMFABF1SS3四边形 ABFD 为矩形， 。AD又 ， S。ADFCSBFFCABCD1S3形 。结论错误。EPMD1 8形因此正确的个数有 4 个。故选 B。二、填空题1. （2012 上海市 4 分）如图，已知梯形 ABCD，ADBC，BC=2AD，如果那么 =AD=aBb形AC/ 22- 9 - （用 表示） ab
16、形【答案】 。2a+b【考点】平面向量。【分析】梯形 ABCD，ADBC，BC=2AD， ， 。AD=aBC2=a又 ， 。AB=bC+Bb2+2. （2012 江苏南通 3 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD ，AB 90 ，AB7cm ，BC3cm，AD4cm，则 CD cm 【答案】2。【考点】梯形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理。【分析】作 DEBC 交 AB 于 E 点，则DEA=B 。A+ B=90 ，A+ DEA=90。ADE=90。又ABCD ，四边形 DCBE 是平行四边形。DE=CB，CD=BE。BC=3，AD=4，EA= 。22
17、DE+A345CD=BE=ABAE=75=2 。3. （2012 江苏扬州 3 分）已知梯形的中位线长是 4cm，下底长是 5cm，则它的上底长是 cm【答案】3。【考点】梯形中位线定理。【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”直接求解：设梯形的上底长为 x，则梯形的中位线 (x5)4，解得 x3。124. （2012 福建厦门 4 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 OB3，则 OC 【答案】3。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】梯形 ABCD 是等腰梯形，AB=CD ，BCD=ABC，
18、在ABC 与DCB 中， AB=CD，ABC=BCD ，BC=BC ABCDCB（SAS ） 。DBC=ACB，OB=OC=3。5. （2012 湖北咸宁 3 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC， ，BE 平分ABC90C且交 CD 于 E，E 为 CD 的中点，EFBC 交 AB 于 F，EGAB 交 BC 于 G，当 ，2AD时，四边形 BGEF 的周长为 12BC【答案】28。【考点】梯形中位线定理，平行的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质。【分析】EFBC 交 AB 于 F，EGAB 交 BC 于 G，四边形 BGEF 是平行四边形。BE 平分ABC 且交 CD 于 E，F
19、BE=EBC。EFBC， EBC=FEB。FBE=FEB 。EF=BF。四边形 BGEF 是菱形。E 为 CD 的中点，AD=2，BC=12，EF= （AD+BC ）= （2+12）=7。1212四边形 BGEF 的周长=47=28。6. （2012湖北黄冈3分）如图，在梯形ABCD 中，ADBC ，AD=4 ，AB=CD=5，B=60 ，则下底BC 的长为 ./ 22- 11 -【答案】9。【考点】等腰梯形的性质，含 30 度角直角三角形的性质，矩形的判定。【分析】过点A作AEBC 于点E，过点D 作DFBC于点F，AB=5，B=60，BAE=30。BE=2.5 。同理可得CF=2.5。又A
20、D=4 ， EF=AD=4（矩形的性质） 。BC =BE+EF+FC=5+4=9。7. （2012 湖南长沙 3 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=2，B=60，则 BC 的长为 【答案】4。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。【分析】过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E，ADBC， 四边形 AECD 是平行四边形。AE=CD=2， AD=EC=2。B=60，ABE 是等边三角形。BE=AB=AE=2 。BC=BE+CE=2+2=4。8. （2012 湖南常德 3 分）若梯形的上底长是 10 厘米，下底长是 30 厘米，则它的中位
21、线长为 厘米。【答案】20。【考点】梯形的中位线定理。【分析】根据梯形的中位线的长度等于上下两底和的一半的性质直接求得：（1030）2=20。9. （2012 四川内江 5 分）如图，四边形 ABCD 是梯形，BD=AC，且 BDAC 若AB=2，CD=4 则 ABCDS梯 形 【答案】9。【考点】梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】如图，过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E，过点 B 作 BFDC 于点 F，则 AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6。又BD=AC 且 BDAC， BDE 是等腰直角三角形。BF= DE=3。12梯形 ABCD 的面积为 （AB
22、+CD ）BF=9 。1210. （2012 四川巴中 3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，BDDC，点 E 是 BC的中点，且 DEAB，则BCD 的度数是 【答案】60。【考点】等腰梯形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。【分析】BDAC，点 E 是 BC 的中点，DE 是 RtBDC 的中线，DE=BE=EC= BC.12DEAB，ADBC，四边形 ABED 是菱形。AB=DE 。四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=CD 。DE =EC= CD。DEC 是等边三角形。BCD=60。/ 22- 13 -11. （2012 辽宁丹东 3
23、 分）如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD BC， E 是 CD 的 中 点 ， 连 接 AE并延长交 BC 的延长线于点 F，且 ABAE 若 AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为 【答案】13。【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】在梯形 ABCD 中，ADBC，F=DAE，ECF=D。E 是 CD 的中点，DE=CE 。在ADE 和 FCE 中，DAE=F，D=ECF，DE=CE，ADE FCE（AAS ） 。CF=AD，EF=AE=6 。AF=AE+EF=12 。ABAE，BAF=90。AB=5， 。22BFA51312. （ 2012 辽宁营口 3
24、 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC，过点 D 作 DFBC于 F若 AD=2，BC=4，DF=2 ，则 DC 的长为 【答案】 。5【考点】等腰梯形的性质，勾股定理。【分析】由在等腰梯形 ABCD 中，ADBC， DFBC ， AD=2，BC=4 可得FC=（42）2=1.在 RCDF 中，DF=2，FC=1，根据勾股定理,得 DC。22DFC1513. （ 2012 贵州黔西南 3 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AD1，BC3，AOD 的面积为 3，则BOC 的面积为 。【答案】27。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】先
25、判定出AODBOC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解：ADBC， AOD BOC。 。2AODBCS形AD=1 ，BC=3， ， 。AODS313形 。BOCS2714. （2012 广西钦州 3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，ACBC ，B=60，BC=8，则等腰梯形 ABCD 的周长为 【答案】40。【考点】等腰梯形的性质，锐角克角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】B=60，DCAB，ACBC，CAB=30=ACD，DAC=30。AD=DC=BC=8 。在 RABC 中， 。BC8A16cos2等腰梯形 ABCD 的周长=AD+DC+BC+AB=
26、40。三、解答题1. （2012 浙江杭州 10 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，分别以 AB，CD为边向外侧作等边三角形 ABE 和等边三角形 DCF，连接 AF，DE（1）求证：AF=DE；（2）若BAD=45，AB=a， ABE 和DCF 的面积之和等于梯形 ABCD 的面积，求 BC的长/ 22- 15 -【答案】 （1）证明：在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，BAD=CDA。在等边三角形 ABE 和等边三角形 DCF 中，AB=AE，DC=DF，且BAE=CDF=60，AE=DF，EAD=FDA，AD=DA。AED DFA（SAS） 。 AF=DE。
27、（2）解：如图作 BHAD，CKAD，则有 BC=HK。BAD=45，HAB=KDC=45 。AB= BH= AH。2同理：CD= CK= KD。2S 梯形 ABCD= ，AB=a，AD+BCHS 梯形 ABCD= 。22aa+BC=又S ABE =SDCF = ，23a4 ，解得： 。2a+BC62=a【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。【分析】 （1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形 SAS 的判定证明AED DFA 即可。（2）如图作 BHAD，CKAD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出 BC的长。2. （2012 江苏南京 8 分） 如图
28、，梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，对角线 AC、BD 交于点 O，AC BD，E、F、G 、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点（1）求证：四边形 EFGH 为正方形；（2）若 AD=2，BC=4，求四边形 EFGH 的面积。【答案】 （1）证明：在ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF= AC。12同理 FG= BD，GH= AC， HE= BD。1212在梯形 ABCD 中，AB=DC ，AC=BD 。EF=FG=GH=HE，四边形 EFGH 是菱形。设 AC 与 EH 交于点 M，在ABD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，则 EHBD，同理GHAC
29、。又ACBD ，BOC=90 。EHG=EMC=90 。四边形 EFGH 是正方形。（2）解：连接 EG。在梯形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、DC 的中点， 。1GADBC32形在 Rt EHG 中，EH 2+GH2=EG2，EH=GH， ，即四边形 EFGH 的面积为 。9EH9【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。【分析】 （1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由 ACBD 入手，进行正方形的判断。（2）连接 EG，利用梯形的中位线定理求出 EG 的长，然后结合（ 1）的结论求出，也即得出了正方形 EHGF 的面积。9EH3. （
30、2012 江苏苏州 6 分）如图，在梯形 ABCD 中，已知 ADBC，AB=CD ，延长线段CB 到 E，使 BE=AD，连接 AE、AC./ 22- 17 -求证：ABECDA；若DAC=40，求EAC 的度数.E DCBA【答案】证明：在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，ABE=BAD，BAD=CDA 。ABE=CDA。在ABE 和CDA 中，AB=CD，ABE=CDA， BE=AD， ABECDA（SAS） 。解：由得：AEB=CAD，AE=AC。AEB=ACE。DAC=40，AEB= ACE=40 。EAC=1804040=100。【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，
31、三角形内角和定理。【分析】 （1）先根据题意得出ABE=CDA，然后结合题意条件利用 SAS 可判断三角形的全等。（2）根据题意可分别求出AEC 及ACE 的度数，在AEC 中利用三角形的内角和定理即可得出答案。4. （2012 江苏盐城 10 分） 如图所示,在梯形 中, , , 为ABCD90BDCE上一点 ,BC. DE(1) 求证: ；C（2）若 ,试判断四边形 的形状,并说明理由 12ABABED5. （2012 湖南永州 8 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，点 E、F、G 分别在边AB、BC 、CD 上，且 AE=GF=GC求证：四边形 AEFG 为平行四边形【答案】
32、证明：梯形 ABCD 是等腰梯形，ADBC，B=C （等腰梯形底角相等） 。GF=GC，GFC=C（等边对等角） 。GFC=B（等量代换） 。ABGF（同位角相等，两直线平行） 。又AE=GF，四边形 AEFG 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 。【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。/ 22- 19 -【分析】由等腰梯形的性质可得出B=C ，再根据等边对等角的性质得到 C=GFC，所以B=GFC，故可得出 ABGF，再由 AE=GF 即可得出结论。 6. （2012 湖南怀化 10 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，点 E 为底边 BC 的中点
33、，连结AE、DE求证：AE=DE 【答案】证明：四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=DC，B= C。E 是 BC 的中点，BE=CE。在ABE 和DCE 中， AB=DC，B=C ，BE=CE，ABEDCE（SAS） 。AE=DE。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】利用等腰梯形的性质证明ABEDCE 后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等。7. （2012 四川南充 6 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 是 AD 延长线上的一点，且 CE=CD，求证：B=E【答案】证明：ABCD 是等腰梯形，ADBC，B=BCD, BCD =EDC。B=EDC。
34、又CE=CD。EDC=E。B=E。【考点】等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质。【分析】根据等腰梯形的性质获得B=BCD，再利用等腰三角形的性质得到EDC=E 。8. （2012 辽宁大连 12 分）如图 1，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC2BCD2，点E 在 AD 上，点 F 在 DC 上，且BEF= A. （1）BEF=_(用含 的代数式表示) ；（2）当 ABAD 时，猜想线段 ED、EF 的数量关系，并证明你的猜想；（3）当 ABAD 时，将“ 点 E 在 AD 上”改为“点 E 在 AD 的延长线上，且AEAB，ABmDE，ADnDE” ，其他条件不变（如图 2） ，求
35、 的值（用含 m、n 的EBF代数式表示） 。【答案】解：（1）1802。（2）EB=EF。证明如下：连接 BD 交 EF 于点 O，连接 BF。ADBC， A=180-ABC=180 2，ADC=180C=180-。AB=AD， ADB= （180A ）=。12BDC=ADCADB=1802 。由（1）得：BEF=1802=BDC。又EOB=DOF ，EOBDOF。 ，即OEB=DF。OED=BFEOD=BOF，EODBOF 。EFB=EDO=。EBF=180BEFEFB=EFB。EB=EF。（3） 延长 AB 至 G，使 AG=AE，连接 BE，GE ，则G= AEG= 。1802A=2A
36、DBC，EDF=C=，GBC=A ，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A，BEF=GBC 。GBC+EBC=DEB+ BEF，即EBG=FED。DEFGBE。 。EBG=FDAB=mDE，AD=nDE，AG=AE=（n+1）DE。/ 22- 21 -BG=AGAB=（n+1）DE mDE=（n+1m ）DE。 。EBn1mDE=n1F形【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】 （1）由梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=2BCD=2，根据平行线的性质，易求得A 的度数，又由BEF=A，即可求得BEF 的度数：梯形 ABCD 中，ADBC，A+AB
37、C=180 。 A=180ABC=1802。又BEF=A，BEF=A=1802。（2）连接 BD 交 EF 于点 O，连接 BF，由 AB=AD，易证得EOBDOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而可证得 EOD BOF，又由相似EB=DF三角形的对应角相等，易得EBF= EFB=，即可得 EB=EF。（3）延长 AB 至 G，使 AG=AE，连接 BE，GE ，易证得DEFGBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值。EF9. （2012 山东滨州 9 分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”， “三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类
38、似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，点 E，F 分别是AB，CD 的中点，那么 EF 就是梯形 ABCD 的中位线通过观察、测量，猜想 EF 和AD、BC 有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论【答案】解：结论为：EFADBC ，EF= （AD+BC） 。理由如下：12连接 AF 并延长交 BC 的延长线于点 G。ADBC， ADF=GCF。在ADF 和 GCF 中，ADF= GCF，DF=CF ， DFA=CFG ，ADF GCF（ASA） 。AF=FG，AD=CG。又AE=EB，EFBG ，EF= BG。12EFADBC ，EF= （AD+BC） 【考点】全等三角形的判定和性质；三角形中位线定理。【分析】连接 AF 并延长交 BC 于点 G，则ADFGCF，可以证得 EF 是ABG 的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得。
