1、学优中考网 第十讲 图形变换知识梳理知识点 1、平移变换重点：掌握平移的概念及性质难点：平移性质的运用1. 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离2. 平移变换的性质（1）平移前后的图形全等即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小：（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等如图所示， ，且 共线，且 来源:学优中考网 xyzkw3. 用坐标表示平移：（1）在平面直角坐标系中，将点 ：向右或向左平移 a 个单位 点 或向上或向下平移 b 个单位 点 或（2）对一个图形进行平移，
2、相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按（1）中的方式作出改变例 1. 下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）来源:xyzkw.ComA. B. C. D. 解题思路：根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置选项 B 的两个图形不是全等形；选项 C、D 中两个图形的方向发生了改变解答：选 A例 2如图 1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为 540 米 2，则道路的宽应是 米？解题思路：尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图形，问题就迎刃而解了解答：将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方，设道路宽
3、为 x 米，则有 32(0)32054xx，整理，得 0152， 5， 01x（不合题意，舍去）， 2x 道路宽应为 2 米练习：如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是 1，则图中阴影部分的面积是 答案为 5 知识点 2、轴对称变换重点：掌握轴对称的概念及性质难点：轴对称的性质的运用1. 轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称这条直线就是对称轴两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点如图所示， 关于直线 l 对称，l 为对称轴32m20m图 120-x32学优中考网 2. 轴
4、对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴一个图形的对称轴可以有 1 条，也可以有多条3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别 联系轴对称 轴对称是指两个图形的对称关系轴对称图形来源:xyzkw.Com 来源:xyzkw.Com轴对称图形是指具有某种对称特性的一个图形来源:学优中考网把轴对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为轴对称图形；把轴对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成轴对称 来源:学优中考网来源 :学优中考网 来源 :学优中考网来源:学优中考网 xyzkw4. 轴对称的性
5、质：（1）关于某条直线对称的两个图形全等；（2）对称点的连线段被对称轴垂直平分；（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；（4）轴对称图形的重心在对称轴上如图 被直线 l 垂直平分5. 轴对称变换的作图：举例说明：已知四边形 ABCD 和直线 l，求作四边形 ABCD 关于直线 l 的对称图形作法：（1）过点 A 作 l 于 E，延长 AE 到 A，使 ，则得到点 A 的对称点 ；（2）同理作 B、C、D 的对称点 ；（3）顺次连结 则四边形 为四边形 ABCD 关于直线 l 的对称图形6. 用坐标表示轴对称：点 关于 x 轴对称的点为 ；点 关于 y 轴对称的点为 ；点 关于直线
6、的对称点为 ；点 关于直线 的对称点为 ；点 关于直线 的对称点为点 关于直线 的对称点为 例 1. 下列图形中，是轴对称图形的为（ ）A. B. C. D. 解题思路：根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后两部分应该能完全重合；或者根据轴对称的性质，对称点的连线段应该被对称轴垂直平分所以解决此题的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴解答：选 D例 2. 如图所示， 关于直线 l 对称，将 向右平移得到由此得出下列判断： ； ； 其中正确的是（ ）A. B. C. D. 学优中考网 解题思路：由于 是从 平移得来的，故 ，但 与关于 l 成轴对称，不一定有 ，故不一定正确；平移
7、和轴对称变换都是全等变换，故和正确解答：选 B练习1. 如图所示，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直，以 O 为顶点的两条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F ，则图中阴影部分的面积是_2. 已知AOB30，点 P 在AOB 内部， 与 P 关于 OB 对称， 与 P 关于 OA 对称，则 等于（ ）A. 45 B. 50 C. 60 D. 70答案：1. 2. 60 知识点 3、旋转变换重点：掌握旋转的概念及性质难点：旋转的性质的运用1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的
8、图形变换叫做旋转这个定点 O 叫旋转中心，转动的角称为旋转角注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角2. 旋转变换的性质：（1）旋转前、后的图形全等（2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角3. 旋转变换的作图：（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2）找出能确定图形的关键点；（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点；（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形5. 旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于 360）后
9、能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形6. 中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转 180，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点7. 中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，另外，还有自己特殊的性质（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（即：对称中心是两个对称点连线的中点）；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）；（4）中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线平分该图形的面积
10、如图所示，若 关于点 O 中心对称，则对称中心 O 是线段共同的中点， 且 ， 且；反过来，若线段 都经过点 O 且 O 是它们的中点，那么 关于点 O 中心对称8. 中心对称的作图：以上图为例，作 关于点 O 的对称图形：（1）找出能确定原图形的关键点，如顶点 A、B、C；（2）分别作出原图形的关键点的对称点如：连结 AO，并在 AO 的延长线上截取，则点 A为点 A 关于点 O 的对称点；（3）按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点 所得的图形 即为求作的对称图形学优中考网 9. 中心对称图形：一个图形绕着一个定点旋转 180后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形这个定点叫做该
11、图形的对称中心中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于 180）10. 中心对称与中心对称图形的区别与联系区别 联系中心对称中心对称是指两个图形的对称关系中心对称图形中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形把中心对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为中心对称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成“ 两个图形”，则它们成中心对称11. 关于原点对称的点的坐标点 关于原点对称的点的坐标为 例 1. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为 1， 构成的图形是中心对称图形（1）画出此中心对称图形的对称中心 ；（2）画出将 沿直线 DE 方向向上平移 5 格得到的 ；（
12、3）要使 重合，则 绕点 顺时针方向旋转；至少要旋转多少度？（不要求证明）解题思路：（1）在中心对称的问题中，可根据“对称中心为对称点连线段的中点”来确定对称中心；（3）可根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”来确定旋转角的大小画出图形后，可以看出，点 与点 是旋转变换的一组对应点，则 等于旋转角解答（1）如图，画出对称中心点 O（2）画出 （3）至少需要旋转 90例 2 如图所示， 是 绕某点逆时针旋转后得到的图形，请确定旋转中心，并测量出旋转角的大小解题思路：可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心解答：如图，连结 、 ，分别作 和 的垂直平分线，交于点 O则
13、点 O即为旋转中心连结 、 ，测量得 ，故旋转角等于 练习1.如图所示， 均为等腰直角三角形，BAFEAC90，那么以点 A 为旋转中心逆时针旋转 90之后与_ 重合，其中点 F 与点_对应，点 C 与点_对应2. 如图两个全等的正六边形 ABCDEF，PQRSTU，其中点 P 位于正六边形 ABCDEF的中心，如果它们的面积均为 3，那么阴影部分的面积是（ ）学优中考网 答案：1. ，B，E 2.1知识点 4、位似变换重点：掌握位似的概念及性质难点：位似的性质的运用（1）如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心（2）如果两图形 F 与
14、 是位似图形，它们的位似中心是点 O，相似比为 k，那么：设 A 与 是一双对应点，则直线 过位似中心 O 点，并且 设 A 与 ，B 与 是任意两双对应点，则 ；若直线 AB、 不通过位似中心 O，则 （3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小（4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 例 已知等边 ABC，画一个与之相似且它们的相似比为 2 的 ABC。解题思路：已知一个等边 ，要求画一个三角形，使这两个三角形相似，并且相似比为 2。根据题意可知，已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的，即题中没有说明是原三角形与
15、新三角形相似，还是新三角形与原三角形相似，这样形成的对应边的关系有两种，因此是不确定的，再者由于有相似比的值 2，那么要画的三角形边与原三角形的边是对应边，要满足比值为 2 的情况也有两种，而实现这两种情况只能借助位似形的知识。根据位似形的知识可知，位似中心存在的情况有两种，即在已知图形内或已知图形外，它们都可以实现放大或缩小的作用。解：如图 1，当设位似中心在 ABC的形内时，取内心 O 作为位似中心。（1）在 AO、BO、CO 上分别取中点 ABC、 、 ，连结 AB、BC、AC，则ABC，且有 ： ：12；（2）取 的内心 O，连接 OA、OB 、OC 且延长，使 AO， B，连结 AC
16、B、，则有 BC，且 ： ：12。如图 2，设位似中心在 的外部时（1）在 ABC外任取一点 O，过 O 点作射线 OA、OB、OC，并截取 AO，cOBCA ， ， 连 结 、 、 ， 则 可 证 BC，且： ：2。（2）在 C外任取一点，过 O 作直线 OA，OB ，OC ，在 OA、OB、OC 的另一侧取 AB， ， ，使 B 112， ， CO12。连结 AB、 C、学优中考网 CA，则可证 BCA，且 BA： ：12。练习下列说法正确的是（ ）A分别在ABC 的边 AB、AC 的反向延长线上取点 D、E，使 DEBC ， 则ADE是ABC 放大后的图形；B两个位似图形的面积比等于位似
17、比；C位似多边形中对应对角线之比等于位似比；D位似图形的周长之比等于位似比的平方答案：C最新考题中考要求及命题趋势 1 理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；2 掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。3 理解图形的平移性质；4 会 按要求画出平移图形；5 会利用平移进行图案设计。6 理解图形旋转的有关性质；7 掌握基本中心对称图形；8 会运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计2010 年将继续考查图形的轴对称，图形的平移，要求画出平移后图形，设计图案是考查的重点。图形的旋转的性质及应用是考试的重点。应试对策 1 要掌握轴对称问题的特征及其规律，熟练掌握基本图形的轴对称性，能结合实际图
18、形予以辨认轴对称图形，并能按要求作图。2 要理解图形平移的性质，掌握平移图形图案设计，对实际中平移图形要后会灵活运用。 3 要理解图形旋转的性质，掌握基本图形旋转形成过程，能运用轴对称、平移和旋转的有关知识进行图案设计。 考查目标一、平移变换问题例 1 (09.盐城)在 55 方格纸中，将图 1 中的图形 N 平移后的位置如图 2 中所示，那么正确的平移方法是( ).A.先向下移动 1 格，再向左移动 1 格B.先向下移动 1 格，再向左移动 2 格C.先向下移动 2 格，再向左移动 1 格D.先向下移动 2 格，再向左移动 2 格解题思路： 利用方格很容易判断图形的平移过程，先向下平移 2
19、格，再向左平移 1 格或先向左平移 1 格，再向下平移 2 格均可.选 C.例 2 (2009 扬州) 如图在AOB 中，AO=AB.在直角坐标系中，点 A 的坐标是(2,2)，点 O 的坐标是(0,0)，将AOB 平移得到AOB，使得点 A在 y 轴上.点O、 B在 x 轴上.则点 B的坐标是 _.解题思路：AOB 是等腰三角形，容易得到 B 点坐标为(4,0)，将AOB 平移得到AOB，使得点 A在 y 轴上是将图形向左平移 2 个单位长度.根据平移特点，平移后对应线段相等，因此点 B 也向左平移 2 个单位长度，所以点 B的坐标为(2,0).考查目标二、旋转变换问题例 1（08 徐州）
20、如图所示，在图甲中，Rt OAB 绕其直角顶点 O 每次旋转 90，旋转三次得到右边的图形.在图乙中，四边形 OAB 绕 O 点每次旋转 120，旋转二次得到右边的图形.学优中考网 下列图形中，不能通过上述方式得到的是( ).解题思路：(A) 、图(B)、图(C) 都可以用一个基本图形绕中心旋转一定角度、一定次数得到，而图(D) 不能由旋转得到.故选(D).例 2 （09.宿迁）如图 5 所示，把一个直角三角形尺 ABC 绕着 30角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 A 与 CB 的延长线上的点 E 重合.(1)三角尺旋转了多少度？(2)连结 CD，试判断 CBD 的形状；(3)求BDC 的度数
21、.解题思路：(1)顶点 A 顺时针旋转后与点 E 重合，ABE 和CBD 都等于旋转角.ABC=30，所以ABE=180-30=150，所以三角尺旋转了 150.(2)BC 和 BD 是对应边，BC=BD，所以CBD 是等腰三角形 .(3)CBD 是等腰三角形， CBD=150，所以 .考查目标三、折叠问题例 1 如图 6，梯形纸片 ABCD，B=60 ，ADBC，AB=AD=2，BC=6. 将纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 AE，则 CE=_.解题思路：折叠后点 B 与点 D 重合，BAE=DAE. B=60，BAE=60.ABE 是等边三角形.BE=AB=2，CE=CB-BE=
22、6-2=4.例 2（09 苏州）在矩形 ABCD中，如图， AB3， C4，将矩形折叠，使点C与点 A重合，求折痕 EF的长 解题思路：连结 ，则 =设 = x，则 = 4x在 RtCDE 中， 22CD所以 2()3x解得 58 即 58E在 RtABC中， 22345ABC由题意知：5O所以，在 t E中， 2158EO又因为 A C所以， F所以， 1524EO练习 如图所示，直线 分别与 x 轴、y 轴交于 B、A 两点（1）求 B、A 两点的坐标；（2）把 以直线 AB 为轴翻折，点 O 落在平面上的点 C 处，以 BC 为一边作等边 求 D 点的坐标答案：（1）令 ，由 ，OFE
23、DCBA学优中考网 令点的坐标为 ，A 点的坐标为（ 0，1）（2）由（1）知，过点 C 作 轴于 M，则在 中，C 点坐标为 连结 OC，为等边三角形过点 C 作 轴，并截取 CEBC，则BCE60 连结 BE，则 为等边三角形作 轴于 F，则 点 D 的坐标为（0，0）或过关测试一、选择题1.下列图形中，是中心对称图形的是-（ ）A.菱 形 B.等 腰 梯 形 C.等 边 三 角 形 D.等 腰 直 角 三 角 形2下列图案中，不是中心对称图形的是 （ ）3下列图案中，不是轴对称图形的是 （ ）A B C D 4下列图形中，旋转 600 后可以和原图形重合的是 （ ）A.正六边形 B.正五
24、边形 C.正方形 D.正三角形5在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）6下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）等边三角形 正方形 正六边形 圆7下列轴对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（ ）A圆 B正六边形 C正方形 D等边三角形8下面四个图案中，是旋转对称图形的是（ ） 9下列图案属于轴对称图形的是 （ ）A B C D学优中考网 A B C D10下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ ）A.正三角形 B.菱形 C.直角梯形 D.正六边形11下列图形中，轴对称图形的是 （ ）12下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）正六边
25、形 正五边形 平行四边形 等腰三角形二、填空题1如图 1，小亮从 A 点出发，沿直线前进 10 米后向左转 30，再沿直线前进 10 米，又向左转 30， 照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了 米。2.如图 2 用等腰直角三角板画 45AOB ，并将三角板沿 OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点 M逆时针方向旋转 2，则三角板的斜边与射线 A的夹角 为_ 3.如图 3，已知 RtABC 中，C= 90，AC=4cm，BC=3cm，现将ABC 进行折叠，使顶点 A、B 重合，则折痕 DE= cm。4如图 4，直角梯形 CD中， AB ， C， 2AD， 3B，5C，将腰 以点 为
26、中心逆时针旋转 90至 E，连结 CE， ，则AE的面积是 303030第8第A图 1图 25如图 5，在 2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ABC ，请你找出格纸中所有与 ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个6如图 6，RtABC 中，B90 ，AB3cm，AC5cm，将ABC 折叠，使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则ABE 的周长等于_cm.三、解答题1.如图,已知 O 是坐标原点， B、C 两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)(1)以 0 点为位似中心在 y 轴的左侧将OBC 放大到两倍( 即新图与原图的相似比为 2)，画出图形；(2)分别写出
27、B、C 两点的对应点 B、C的坐标；(3)如果OBC 内部一点 M 的坐标为(x，y),写出 M 的对应点 M的坐标2如图是规格为 88 的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作： 请在网格中建立平面直角坐标系, 使 A 点坐标为( 2， 4)，B 点坐标为(，2)； 在第二象限内的格点上画一点 C, 使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰（图 4）ABCDE（图 6）图 3图 5学优中考网 三角形, 且腰长是无理数 , 则 C 点坐标是 ， ABC 的周长是 (结果保留根号)； 画出ABC 以点 C 为旋转中心、旋转 180后的ABC, 连结 AB和 AB, 试说出四边形 A
28、BAB是何特殊四边形 , 并说明理由.3.在平面直角坐标系中，直线 l过点M (3,0)， 且 平 行 于 y轴 .(1)如果 ABC三个顶点的坐标分别是A (-2,0),B(-l,O),C(-1,2)， ABC关 于 y轴 的对称图形是 A1B1C1， A1B1C1关 于 直线 的对称图形是 A2B2C1， 写出 A2B2C1的三个顶点的坐标；(2)如果 点 P的 坐 标 是 ( a,0)， 其 中 0， 点 P关 于 y轴 的对称点是 1P，点1关 于 直线 l的对称点是 2P，求 2的长.4如图， ABC 中 (23)， ， (1)B， ， (2)C， （1）将 向右平移 4个单位长度，
29、画出平移后的 1 ；（2）画出 ABC 关于 x轴对称的 2ABC ；（3）将 绕原点 O旋转 80，画出旋转后的 3 ；（4）在 1 ， 2 ， 3 中，_与 _成轴对称，对称轴是_；_与 _成中心对称，对称中心的坐标是_5如图，在平面直角坐标系中，点 ABCP， ， ， 的坐标分别为 (02)3()1， ， ， ， ， ， ， （1）请在图中画出 ，使得 与 A 关于点 P成中心对称；（2）若一个二次函数的图象经过（1）中 的三个顶点，求此二次函数的关系式6在平面内，先将一个多边形以点 O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为 k，并且原多边形上的任一点 P，它的对应点
30、 在线段 OP或其延长线上；接着将所得多边形以点 为旋转中心，逆时针旋转一个角度 ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为 ()k， ，其中点 叫做旋转相似中心， k叫做相似比， 叫做旋转角（1）填空：如图 1，将 ABC 以点 为旋转相似中心，放大为原来的 2 倍，再逆时针旋转 ABCO xyxOyACBP（第 5 题图）学优中考网 60，得到 ADE ，这个旋转相似变换记为 A（ ， ）；如图 2， BC 是边长为 1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换 (390)A， ，得到 AE ，则线段 的长为 c；（2）如图 3，分别以锐角三角形 AB的三边 ， BC， 为边向外作正方形D
31、， FG， HI，点 1O， 2， 3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用 12A 与 ， CI 与 2 之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段 与 之间的关系 BDE图 1B DE图 2 3O12图 3答案:一、选择题1 A； 2C ； 3C ； 4A；5B ； 6A ；7D；8D；9C ；10A；11D；12A ；二、填空题1120； 2. 2； 3 1； 4 ；55；67；三、解答题1.(1)画图略 (2) B(-6,2)，C(-4,-2) (3) M(-2x-2y)。2（答案略）3. （1）A 2B2C2 的三个顶点的坐标分别是 A2（4，0），B 2（5，0），C 2（5，
32、2）；（2）如果 0a3，那么点 P1 在线段 OM 上PP 2PP 1P 1P22OP 12P 1M2（OP 1P 1M）2OM6；如果 a3，那么点 P1 在点 M 的右边PP2PP 1P 1P22OP 12P 1M2（OP 1P 1M）2OM6所以 PP2 的长是 64图略（4） 2ABC 与 3 成轴对称，对称轴是 y轴3与 1 成中心对称，对称中心的坐标是 (20)， 5（1）画图略（2）由（1）知，点 ， ， 的坐标分别为 1， ， ， ， ， 由二次函数图象与 y轴的交点 C的坐标为 (0)， ，故可设所求二次函数关系式为 2axb将 (20)(1)AB， ， ， 的坐标代入，得 410，解得12ab故所求二次函数关系式为 21yx6（1） 2， 60； ；（2） 2AO 经过旋转相似变换 (245)A， ，得到P P1 P2 MxOly11P P2 P1 MxOly11学优中考网 ABI ，此时，线段 12O变为线段 BI； CI 经过旋转相似变换 245C， ，得到 2C ，此时，线段 变为线段 1AO 21， 90，1O， 12学 优#中.考，网
