1、2014 年中考数学分类汇编：与特殊四边形有关的填空压轴题2014 年与特殊四边形（正多边形）有关的填空压轴题，题目展示涉及：折叠问题；旋转问题；三角形全等问题；平面展开最短路径问题；动点问题的函数图象问题.知识点涉及：全等三角形的判定与性质；正方形的判定和性质；解直角三角形，勾股定理，正多边形性质；锐角三角函数.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；方程思想. 现选取部分省市的 2014 年中考题展示，以飨读者.【题 1】(2014.年河南省第题)如图矩形 ABCD 中，AD=5，AB=7，点 E 为 DC 上一个动点，把ADE 沿 AE 折叠，当点 D 的对应点 D落在ABC 的角平分线上时，
2、DE 的长为 【考点】： 翻折变换（折叠问题） 【分析】： 连接 BD，过 D作 MNAB，交 AB 于点 M，CD 于点 N，作 DPBC 交 BC 于点 P，先利用勾股定理求出 MD，再分两种情况利用勾股定理求出 DE【解答】： 解：如图，连接 BD，过 D作 MNAB，交 AB 于点 M，CD 于点 N，作DPBC 交 BC 于点 P，点 D 的对应点 D落在ABC 的角平分线上，MD=PD，设 MD=x，则 PD=BM=x，AM=ABBM=7x，又折叠图形可得 AD=AD=5，x 2+（7x） 2=25，解得 x=3 或 4，即 MD=3 或 4在 RTEND中，设 ED=a，当 MD
3、=3 时，DE=53=2，EN=7CNDE=73a=4a，a 2=22+（4a） 2，解得 a=，即 DE=，当 MD=4 时，DE=54=1，EN=7CNDE=74a=3a，a 2=12+（3a） 2，解得 a=，即 DE=故答案为：或【点评】： 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的【题 2】(2014 年四川省绵阳市第 17 题)如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边BC、CD 上的点，EAF=45，ECF 的周长为 4，则正方形 ABCD 的边长为 【考点】： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质【分析】： 根据旋转的性
4、质得出EAF=45，进而得出FAEEAF，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4，得出正方形边长即可【解答】： 解：将DAF 绕点 A 顺时针旋转 90 度到BAF位置，由题意可得出：DAFBAF，DF=BF，DAF=BAF，EAF=45，在FAE 和EAF中，FAEEAF（SAS） ，EF=EF，ECF 的周长为 4，EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4，2BC=4，BC=2故答案为：2【点评】： 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出FAEEAF是解题关键【题 3】 (2014 年湖北随州第 16 题)如图 1，正方形纸
5、片 ABCD 的边长为 2，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P、EF、GH 分别是折痕（如图2） 设 AE=x（0x2） ，给出下列判断：当 x=1 时，点 P 是正方形 ABCD 的中心；当 x=时，EF+GHAC；当 0x2 时，六边形 AEFCHG 面积的最大值是 ；当 0x2 时，六边形 AEFCHG 周长的值不变其中正确的是 （写出所有正确判断的序号） 【考点】： 翻折变换（折叠问题） ；正方形的性质【分析】： （1）由正方形纸片 ABCD，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点 P，得出BEF 和三 DGH 是等腰直角三角形，所以当 AE=1
6、时，重合点 P 是 BD的中点，即点 P 是正方形 ABCD 的中心；（2）由BEFBAC，得出 EF=AC，同理得出 GH=AC，从而得出结论（3）由六边形 AEFCHG 面积=正方形 ABCD 的面积EBF 的面积GDH 的面积得出函数关系式，进而求出最大值（4）六边形 AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解【解答】： 解：（1）正方形纸片 ABCD，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，BEF 和三 DGH 是等腰直角三角形，当 AE=1 时，重合点 P 是 BD 的中点，点 P 是正方形 ABCD
7、 的中心；故结论正确，（2）正方形纸片 ABCD，翻折B、D，使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P，BEFBAC，x=，BE=2=， = ，即= ，EF=AC，同理，GH=AC，EF+GH=AC，故结论错误，（3）六边形 AEFCHG 面积=正方形 ABCD 的面积EBF 的面积GDH 的面积AE=x，六边形 AEFCHG 面积=2 2BEBFGDHD=4（2x）（2x）xx=x 2+2x+2=（x1） 2+3，六边形 AEFCHG 面积的最大值是 3，故结论错误，（4）当 0x2 时，EF+GH=AC，六边形 AEFCHG 周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CF）+
8、（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2 =4+2故六边形 AEFCHG 周长的值不变，故结论正确故答案为：【点评】： 考查了翻折变换（折叠问题） ，菱形的性质，本题关键是得到 EF+GH=AC，综合性较强，有一定的难度【题 4】（2014 江西第 13 题）如图，是将菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向分别旋转 90，180，270后形成的图形。若 ，AB=2，则图中阴影部分的面积60BAD为_.【考点】 菱形的性质，勾股定理，旋转的性质【分析】 连接 AC、BD，AO、BO，AC 与 BD 交于点 E，求出菱形对角线 AC 长，根据旋转的性质可知 AOCO。在 RtAOC 中，根
9、据勾股定理求出 AO=CO= ，从而求22(3)6AC出 RtAOC 的面积，再减去ACD 的面积得阴影部分 AOCD 面积，一共有四个这样的面积，乘以 4 即得解。【解答】解：连接 BD、AC，相交于点 E，连接 AO、CO。因为四边形 ABCD 是菱形，AC BD，ABAD2。BAD60，ABD 是等边三角形，BDAB2，BAE BAD30，AE AC，BE=DE= BD=1，11212在 RtABE 中，AE ，23ABEAC2 。3菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向旋转 90，180，270，AOC 36090，即 AOCO，AOCO14在 RtAOC 中，AO=CO= 。2
10、2(3)6AC SAOC = AOCO= =3， SADC = ACDE 2 1 ,126123S 阴影S AOC S ADC =4（3 ）124 3所以图中阴影部分的面积为 124 。【题 5】 (2014 年河南省第 14 题)如图，在菱形 ABCD 中，AB=1，DAB=60，把菱形ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30得到菱形 ABCD，其中点 C 的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为 【考点】： 菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质【分析】： 连接 BD，过 D作 DHAB，则阴影部分的面积可分为 3 部分，再根据菱形的性质，三角形的面积公式以及扇形的面积公式计算即可【解答】： 解
11、：连接 BD，过 D作 DHAB，在菱形 ABCD 中，AB=1，DAB=60，把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30得到菱形ABCD，DH=，S ABD = 1=，图中阴影部分的面积为 + ，故答案为： + 【点评】： 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键【题 6】 （2014泰州第 16 题）如图，正方向 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，DAE=30，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若 PQ=AE，则AP 等于 cm【考点】: 全等三角形的判定
12、与性质；正方形的性质；解直角三角形【专题】： 分类讨论【分析】： 根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到三角形ADE 与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30，再由 PN 与 DC 平行，得到PFA=DEA=60，进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长
13、，再利用对称性确定出 AP的长即可【解答】： 解：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，四边形 ABCD 为正方形，AD=DC=PN，在 RtADE 中，DAE=30，AD=3cm，tan30= ，即 DE= cm，根据勾股定理得：AE= =2 cm，M 为 AE 的中点，AM=AE= cm，在 RtADE 和 RtPNQ 中，RtADERtPNQ（HL） ，DE=NQ，DAE=NPQ=30，PNDC，PFA=DEA=60，PMF=90，即 PMAF，在 RtAMP 中，MAP=30，cos30= ，AP= = =2cm；由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm，
14、综上，AP 等于 1cm 或 2cm故答案为：1 或 2【点评】： 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键【题 7】 (2014 年重庆市第 18 题)如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF的长为 【考点】： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质【分析】： 在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG，证明OBGOCF，则OG=OF，BOG=COF，得出等腰直角三角形 GOF，在 RTBCE 中，根
15、据射影定理求得 GF 的长，即可求得 OF 的长【解答】： 解：如图，在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG，RTBCE 中，CFBE，EBC=ECF，OBC=OCD=45，OBG=OCF，在OBG 与OCF 中OBGOCF（SAS）OG=OF，BOG=COF，OGOF，在 RTBCE 中，BC=DC=6，DE=2EC，EC=2，BE= = =2 ，BC 2=BFBE，则 62=BF ，解得：BF= ，EF=BEBF= ，CF 2=BFEF，CF= ，GF=BFBG=BFCF= ，在等腰直角OGF 中OF2=GF2，OF= 【点评】： 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射
16、影定理、勾股定理的应用【题 8】 (2014 年宁夏第 15 题)如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AB=CD=2，BC=5，BAD 的平分线交 BC 于点 E，且 AECD，则四边形 ABCD 的面积为 【考点】： 平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质【分析】： 根据题意可以判定ABE 是等边三角形，求得该三角形的高即为等腰梯形ABCD 的高所以利用梯形的面积公式进行解答【解答】： 解：如图，过点 A 作 AFBC 于点 FADBC，DAE=AEB，又BAE=DAE，BAE=AEB，AECD，AEB=C，ADBC，AB=CD=2，四边形是等腰梯形，B=C，ABE 是等边三角形
17、，AB=AE=BE=2，B=60，AF=ABsin60=2 = ，ADBC，AECD，四边形 AECD 是平行四边形，AD=EC=BCBE=52=3，梯形的面积=（AD+BC）AF=（3+5） =4 【点评】： 本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质等【题 9】（2014宁波第 11 题）如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=1，CE=3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是 【考点】： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理【分析】： 连接 AC、CF，根据正方形性质求出 AC、CF，ACD=GCF=45
18、，再求出ACF=90，然后利用勾股定理列式求出 AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【解答】： 解：如图，连接 AC、CF，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC=1，CE=3，AC= ，CF=3 ，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，AF= = =2 ，H 是 AF 的中点，CH=AF=2 = 【点评】： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键【题 10】（2014武汉第 16 题）如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则
19、 BD 的长为_【考点】： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形【分析】： 根据等式的性质，可得BAD 与CAD的关系，根据 SAS，可得BAD 与CAD的关系，根据全等三角形的性质，可得 BD 与 CD的关系，根据勾股定理，可得答案【解答】： 解：作 ADAD，AD=AD，连接 CD，DD，如图：，BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD 与CAD中，BADCAD（SAS），BD=CDDAD=90由勾股定理得 DD= ，DDA+ADC=90由勾股定理得 CD= ，BD=CD= ，故答案为： 【点评】： 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性
20、质，勾股定理，作出全等图形是解题关键【题 11】 （2014苏州第 17 题）如图，在矩形 ABCD 中， =，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边 AD 于点 E若 AEED=，则矩形 ABCD 的面积为 【考点】： 矩形的性质；勾股定理【分析】： 连接 BE，设 AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出 AE=4x，DE=x，求出 x 的值，求出 AB、BC，即可求出答案【解答】： 解：如图，连接 BE，则 BE=BC设 AB=3x，BC=5x，四边形 ABCD 是矩形，AB=CD=3x，AD=BC=5x，A=90，由勾股定理得：AE=4x，则 DE=5x4x=x，AEED=，4xx
21、=，解得：x= （负数舍去） ，则 AB=3x= ，BC=5x= ，矩形 ABCD 的面积是 ABBC= =5，故答案为：5【点评】： 本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出 x 的值，题目比较好，难度适中【题 129】（2014枣庄第 18 题）图所示的正方体木块棱长为 6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为_cm【考点】： 平面展开-最短路径问题；截一个几何体【分析】： 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果【解答】： 解：如图所
22、示：BCD 是等腰直角三角形，ACD 是等边三角形，在 RtBCD 中，CD= =6 cm，BE=CD=3 cm，在 RtACE 中，AE= =3 cm，从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为（3 +3 ）cm故答案为：（3 +3 ）【点评】： 考查了平面展开最短路径问题，本题就是把图的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题【题 13】 (2014 年江苏徐州第 18 题)如图，在正方形 ABCD 中，点 P 沿边 DA 从点D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动；同时，点 Q 沿边 AB、BC 从点 A 开始向点 C 以 2cm/s 的速度移动当
23、点 P 移动到点 A 时，P、Q 同时停止移动设点 P 出发 xs 时，PAQ 的面积为ycm2，y 与 x 的函数图象如图，则线段 EF 所在的直线对应的函数关系式为 【考点】：动点问题的函数图象【分析】：根据从图可以看出当 Q 点到 B 点时的面积为 9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出 EF 所在的直线对应的函数关系式【解答】：解：点 P 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动；点 Q 沿边 AB、BC从点 A 开始向点 C 以 2cm/s 的速度移动当 P 点到 AD 的中点时，Q 到 B 点，从图可以看出当 Q 点到 B 点时的面积为 9，9=（AD）AB，AD=AB，AD=6，即正方形的边长为 6，当 Q 点在 BC 上时，AP=6x，APQ 的高为 AB，y=（6x）6，即 y=3x+18故答案为：y=3x+18【点评】：本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长
