1、抛物线焦点弦的性质及应用平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。由于抛物线定义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常要考查的内容。据不完全统计，在近几年高考中关于抛物线焦点弦的性质出现在：1、2000 年理科的第 11 题（选择题） ， 2、2001 年理科的第 19 题（解答题），3 、 2002 年文科的第 16 题（填空题） ，4 、2004 年理科的第 16 题（填空题）设抛物线的方程为 y2=2px(P0),过焦点 F( ,0)作倾斜角为 的直线，交抛物线于 P、Qp2两点，则线段 PQ
2、称抛物线的焦点弦，(如图 1). 抛物线的焦点弦具有以下性质:性质 1：设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1y2=-p2. 421px证明：当 =90时，PQ 方程为 x= 代入 y2=2px 中有 y2=p2,p2即 y1=p,y2=-p,y 1y2=-p2.当 90 时，设直线 PQ 斜率为 k,则PQ 方程为 y=k(x )与 y2=2px 联立，消 x 后得到：p2ky2-2py-kp2=0,y 1y2=-p2.因为 ， ，所以 ，1xyx21214xpy所以 24221p例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q，通过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M，求证
3、：直线 MQ 平行与抛物线的对称轴.证明：为了方便比较，可将 P 点横坐标及 Q 点纵坐标均用 P点的纵坐标 y1 表示.P( ,y1),Q(x2,y2),但 y1y2=-p2，y 2= ,p2y1PM 方程是：y= x,当 x= 时 ,y= 即为 M 点的纵坐2py1 p2 p2y1标，这样 M 点与 Q 点的纵坐标相同，故 MQOx.例 2（2001 年高考 ）设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 . OABA、 B、- C、3 D、-3434解析：设弦的两个端点为 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，x 1 x2= ， ，4P21Py -
4、 ，故答案选 B。 OAB214P2p3性质 2：抛物线焦点弦的长度： = .)(21xAB2psin2证明：如图所示，分别做 、 垂直于准线 ，由抛物线定义有1l.FABpxpx212且有 ,cos1,Bp于是可得 , .cos1AFcos1pF + = = .B22sinp故命题成立.例 3 已知圆 M：x 2+y2-4x=0 及一条抛物线，抛物线顶点在 O(0,0),焦点是圆 M 的圆心 F，过 F 作倾斜角为 的直线 l,l 与抛物线及圆由上而下顺次交于 A、B、C、D 四点，若 =arcsin,求|AB|+|CD|.解：如图，方程 x2+y2-4x=0,表示的图的圆心为(2，0)即为
5、抛物线的焦点，抛物线的方程是 y2=8x(其中 p=4),|AD|= = =40,但圆的直径|BC|=4， 2psin2|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.性质 3：三角形 OAB 的面积公式： sin2pSOAB证法一：当直线倾斜角 为直角时，公式显然成立。当直线倾斜角 不是直角时，设焦点弦所在直线方程： )2(pxky由 pxyk2)( 022pyk21|21ypSOAB |421y2121)(4yp2tanpsin2性质 4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.证法一：如图 3，设 PQ 中点为 R，则 R 即为 PQ 为直线圆的圆心，过 R 作 RSMN
6、于 S，又设 P(x1,y1),Q(x2,y2),|PQ|=|PF|+|QF|= += + =x1+ +x2+ =x1+x2+p,p2 p2而 R( , ),RS= + = ,x1+x22 y1+y22 x1+x22 p2x1+x2+p2|RS|= |PQ|,RS 为圆的半径，命题得证.12证法二：由图 3 知 RS 为梯形 PQNM 的中位线，|RS|= (|PM|+|QN|)= |PQ|(利用性质 3)， 12 12RS 为圆的半径，故结论成立.性质 5：以抛物线 y2=2px(p0),焦点弦 PQ 端点向准线作垂线，垂足分别为 M、N，则FMFN.(其中 F 为焦点).证明：如图 4，由
7、抛物线定义知|PF|=|PM|，1=2，而 PMOx, 2=3，1=3, 同理4=6，而1+3+4+6=180，3+6=90，FMFN.性质 6：设抛物线 y2=2px(p0),焦点为 F，焦点弦 PQ，则 + = (定值).1|FP| 1|FQ|2p证法一：由 P、Q 向准线作垂线，垂足分别为 M、N，作 QAOx 于 A，FBPM 于 B，准线与 Ox 交于 E，(如图 5)由AFQBPF，则 ,即 =|AF|QF| |BP|FP| |EF|-|NQ|QF|,|PM|-|EF|PF|但由定义知|NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|, = ,有 1=1 即 + =2,|EF|-|FQ|FQ|
8、 |PF|-|EF|FP| |EF|FQ| |EF|FP| |EF|QF|EF|PF|而|EF|=p,代入后即得 + = .1|FP| 1|FQ|2p证法二：由性质的语法二，设|FP|=t 1,|FQ|=-t2,而 t1+t2= ,t1t2= ,|t1-t2|= ,2pcossin2 p2sin2 2psin2则 + = = = = (t 2t 10),还有其它证法.1|PF| 1|QF| 1t1 1t2t2-t1t1t2 2p例 4 2001 年理科第 11 题：过抛物线 的焦点 F 作一直线交抛物线于)0(axyP、Q 两点，若线段 PF 与 QF 的长分别是 p,q，则 等于（ ）qp（
9、A）2a （ B） （C）4a （D ）a21a42004 年理科第 16 题：设 是曲线 上的一个动点，则点 到点 的距P)1(42xyP)1,0(离与点 到 轴的距离之和的最小值为 .Py性质 7：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。证明：如图，设 ， 则 ，),2(),(11ypByA)2,(11ypM又 ，ppKFM22121 ，212121 ypyxAB ，即 . 1FMABKAB性质 8：如图，A、O 、 B1 和 B 、O、A 1 三点分别共线。证明：因为 ，121ypxAxo1BF1A1ByxoF1A，而 ， pyKOB22121p所以 ，122OBAKy所以 A、O、B 1 三点共线。同理可证，B、O、A 1 三点分别共线.例 5 2001 年理科第 19 题：设抛物线的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B两点，点 C 在抛物线上，且 BC/x 轴，证明直线 AC 经过原点 O对于上述结论，重在考察抛物线的定义、直线方程、根与系数的关系等知识的综合应用，考察数形结合的数学思想，在处理客观题时，可以提高思维起点，迅速求解.
