1、第二节 一元二次方程及应用河北 8 年中考命题规律年份 题型 题号 考查点 考查内容 分值 总分2015 选择 12一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值范围2 22014 解答 21 解一元二 次方程(1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式；(2)用配方法解一元二次方程10 102012 选择 8 解一元二 次方程判断一元二次方程配方后所得的方程3 32010 填空 16 一元二次方 程的应用已知一元二次方程的一个根，求代数式的值( 整体代入思想)2 22008 选择 6 一元二次方 程的应用以教育经费为背景，列关于增长率的一元二次方程2 2命
2、题规律纵观河北 8年中考只有2008、2010、2012、2014、2015 年考查了一元二次方程，分值 210 分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了 1 次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过一次，一元二次方程根的判别式考查了 1次，属基础题 .命题预测预计 2016 年河北中考考查一元二次方程的应用可能性较大，应强化训练 .,河北 8 年中考真题及模拟)解一元二次方程(2 次)1(2012 河北 8 题 3 分)用配方法解方程 x24x10，配方后的方程是 ( )A(x2) 23 B(x2) 2 3C(x2) 25 D(x2)
3、 252(2014 河北 21 题 10 分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax2bxc0(a0) 的求根公式时，对于b24ac0 的情况，她是这样做的：由于 a0，方程 ax2bxc 0 变形为：x2 x ，第一步ba cax2 x ，第二步ba (b2a)2ca (b2a)2 ，第三步(x b2a)2 b2 4ac4a2x (b24ac0)，第四步b2a b2 4ac4ax .第五步 b b2 4ac2a(1)嘉淇的解法从第_步开始出现错误；事实上，当 b24ac0 时，方程 ax2bxc0(a0)的求根公式为_(2)用配方法解方程：x 22x240.一元二次方程根的判别式(1 次)3
4、(2015 河北 12 题 2 分)若关于 x 的方程 x22xa0 不存在实数根，则 a 的取值范围是( )Aa1 Ca1 Da 1一元二次方程的应用(2 次)4(2008 河北 6 题 2 分)某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入， 2013 年投入 5000 万元，预计 2015年投入 8000 万元设教育经费连续两年的年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是( )A5000(1x) 28000B5000x 28000C5000(1x%) 28000D5000(1x)5000(1 x) 280005(2015 河北模拟)若 x1，x 2 是一元二次方程 x23x2 0 的
5、两根，则 x1x 2 的值是( )A2 B2 C3 D16(2015 唐山丰润区二模)方程 x2x30 根的情况是( )A只有一个实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D没有实数根7(2015 保定博野模拟)已知关于 x 的一元二次方程(a1)x 22x10 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是( )Aa2 Ba2，所以a2 ab（a b）ab b2（a0) 的方程.配方法配方法一般适用于解二次项系数为 1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的_式，右边是一个非负常数.公式法 求根公式为_，适用于所有的一元二次方程.因式分解法因式分解法的步
6、骤：(1) 将方程右边化为_；(2) 将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0(a0)的解法：(1)当 b0，c0 时，x 2 ，考虑用直接开平方法解；(2)当 c0，b0 时，用因式分解法解；(3)当caa1，b 为偶数时，用配方法解简便一元二次方程根的判别式3根的判别式：一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的情况可由_来判定，我们将_称为根的判别式4判别式与根的关系：(1)当 b24ac0 方程有_的实数根；(2)当 b24ac0.一元二次方程
7、的应用5列一元二次方程解应用题的步骤：审题；设未知数；列方程；解方程；检验；做结论6一元二次方程应用问题常见的等量关系：(1)增长率中的等量关系：增长率增量基础量；(2)利率中的等量关系：本息和本金利息，利息本金利率时间；(3)利润中的等量关系：毛利润售出价进货价，纯利润售出价进货价其他费用，利润率利润进货价【方法点拨】利用方程根的意义，把方程的根代入方程中，是解决一元二次方程有关问题的一种重要方法，我们可以把这种方法称为让根回家,中考重难点突破一元二次方程的概念及解法【例 1】(1)( 2014 白银中考)若方程(m1)xm 21mx50 是关于 x 的一元二次方程，则 m_.(2)解方程：
8、(x 1)(2x1)3(x1)【解析】方程两边都含有因式 x1，如果在方程两边同时约去 x1，就会导致方程失去一个根 x1，本题可先移项，利用因式分解法求解【学生解答】【点拨】解一元二次方程时，不能随便在方程两边约去含未知数的代数式，否则，可能导致方程失去一个根1(2015 河北中考)若 n(n0) 是关于 x 的方程 x2mx2n0 的根，则 mn 的值为( )A2 B1 C 1 D22(2015 唐山路北一模)用配方法解一元二次方程 x24x 50，此方程可变形为( )A(x2) 29 B(x2) 2 9C(x2) 21 D(x2) 213用公式法解方程：(1)(2015 广东中考 )x2
9、3x20；(2)(2015 兰州中考 )解方程：x 212(x1) 一元二次方程根与系数关系和判别式【例 2】(2015 河北中考)已知关于 x 的一元二次方程 x2 2(m1)xm 210.(1)若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为 x1、x 2，且满足(x 1x 2)216x 1x2，求实数 m 的值【学生解答】【点拨】通过根与系数关系求得的 m 值必须满足 0.4(2014 黄冈中考)若 ， 是一元二次方程 x22x60 的两根，则 2 2( )A8 B32 C16 D405(2015 重庆中考)已知一元二次方程 2x25x30，则该方程根的情况是 ( )A
10、有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C两个根都是自然数D无实数根一元二次方程的应用【例 3】(2015 咸宁中考)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降咸宁市 2013 年销售烟花爆竹20 万箱，到 2015 年烟花爆竹销售量为 9.8 万箱求咸宁市 2013 年到 2015 年烟花爆竹年销售量的平均下降率【解析】先设咸宁市 2013 年到 2015 年烟花爆竹年销售量的平均下降率是 x，那么把 2013 年烟花爆竹销售量看作单位 1，在此基础上可求 2014 年的年销售量，以此类推可求 2015 年的年销售量，而 2015 年的年销售量为9.8 万箱，据此列方程即可【学生解答】6
11、(2015 武威中考)近年来某县加大了对教育经费的投入， 2013 年投入 2500 万元，2015 年将投入 3600 万元设该县投入教育经费的年平均增长率为 x，根据题意列方程，则下列方程正确的是( )A2500x 23600B2500(1x) 23600C2500(1x%) 23600D2500(1x)2500(1 x) 236007(2016 原创预测)唐山市某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个，定价每增加 1 元，销售量净减少 10 个；定价每减少 1 元，销售量净增加 10 个因受库存的影响，每批次进货个数不得超过 18
12、0 个，若商店准备获利 2000 元，则应进货多少个？定价为多少元？中考备考方略1(2015 衡阳中考)若关于 x 的方程 x23xa0 有一个根为1，则另一个根为( )A2 B2 C4 D32(2015 保定二模)用配方法解关于 x 的方程 x2mx n0，此方程可变形为( )A(x )2 B(x )2m2 4n m24 m2 m2 4n4C(x )2 D(x )2m2 m2 4n2 m2 4n m223(2015 石家庄 28 中模拟)关于 x 的一元二次方程 kx2 2x10 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是( )Ak 1 Bk1Ck0 Dk 1 且 k04(2015 金华中考)
13、一元二次方程 x24x30 的两根为 x1、x 2，则 x1x2 的值是( )A4 B4 C3 D35(2015 沧州一模)已知关于 x 的方程 x2(m2)xm 20 有两个相等的实数根，则方程的根为( )14Ax 1x 21 Bx 1x 22Cx 1x 21 Dx 1x 226(2015 廊坊二模)关于 x 的方程 x24xm 0 有唯一实数根，( ) 的值为( )1m 2 1m 2 mm2 4A1 B1 C2 D27(2015 怀化中考)设 x1，x 2 是方程 x25x30 的两个根，则 x x 的值是( )21 2A19 B25 C31 D308(2015 宁夏中考)如图，某小区有一
14、块长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 60 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道若设人行道的宽度为 x 米，则可以列出关于 x 的方程是( )Ax 29x80 Bx 29x80Cx 29x80 D2x 29x809(2015 沧州一模)为了让山更绿、水更清，确保到 2015 年实现全省森林覆盖率达到 63%的目标，已知 2013年全省森林覆盖率为 60.05%，设从 2013 年起全省森林覆盖率的年平均增长率为 x，则可列方程( )A60.02(1 2x)63%B60.05(1 3x)63C60.02(1x) 263%D60.
15、05%(1 x)263%10(2015 秦皇岛 16 中模拟)若实数 a、b 满足(4a4b)(4a4b2)80，则 ab_11(2015 温州中考)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙 (墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1m 宽的门已知计划中的材料可建墙体( 不包括门)总长为 27m，则能建成的饲养室总占地面积最大为_m 2.12(1)( 2015 遂宁中考 )x22x30；(2)(2015 自贡中考 )3x(x2) 2(2x)13(2015 唐山南路二模)先化简，再求代数式( ) 的值，其中 m 为非负整数，且 m 满足一元1m 2 1m 2 mm2 4二次方程 x
16、23xm0 有实数根14(2016 原创预测)利用一面墙(墙的长度不限) ，另三边用 58m 长的篱笆围成一个面积为 200m2 的矩形场地，求矩形的长和宽15(2015 攀枝花中考)关于 x 的一元二次方程(m2)x 2(2m1)xm20 有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是( )Am Bm 且 m234 34C 117(2015 烟台中考)等腰三角形边长分别为 a，b，2，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x26xn10 的两根，则 n 的值为( )A9 B10C9 或 10 D8 或 1018(2015 南充中考)关于 x 的一元二次方程 x22mx 2n0 有两个整数根且乘
17、积为正，关于 y 的一元二次方程 y22ny2m0 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：这两个方程的根都是负根；(m1)2(n 1)22； 12m 2n1，其中正确结论的个数是 ( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个19(2016 原创预测)若一元二次方程 ax2b(ab0)的两个根分别是 m1 与 2m4，则 _.ba20(2015 武威中考)关于 x 的方程 kx24x 0 有实数根，则 k 的取值范围是_2321(2015 南充中考)已知关于 x 的一元二次方程 x22 xm0，有两个不相等的实数根2(1)求实数 m 的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是 x
18、1，x 2，求代数式 x x x 1x2 的值21 222(2015 梅州中考)已知关于 x 的方程 x2axa 20.(1)若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论 a 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根23(2016 原创预测)如图，要利用一面墙(墙长为 25 米) 建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米24(2015 广州中考)某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元， 2015 年投入教育经费 3025 万元(1)求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费
19、的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元25(2015 宜昌中考)在“文化宜昌全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量(单位：本)进行了调查，2013 年全校有 1000 名学生，2014 年全校学生人数比 2013 年增加 10%，2015年全校学生人数比 2014 年增加 100 人(1)求 2015 年全校学生人数；(2)2014 年全校学生人均阅读量比 2013 年多 1 本，阅读总量比 2013 年增加 1700 本( 注：阅读总量人均阅读量人数)求 2013 年全校学生人均阅读量；2013 年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的 2.5 倍，如果 2014 年、2015 年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数 a，2015 年全校学生人均阅读量比 2013 年增加的百分数也是 a，那么 2015年读书社全部 80 名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的 25%，求 a 的值
