（新课标）2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用习题（打包14套）.zip

12017 高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第 10 讲 导数的概念及运算(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．下列各组函数中导函数相同的是 ( )导 学 号 25400473A． y＝ x2与 y＝2 x B． y＝ln(－ x)与 y＝ln xC． y＝ln x2与 y＝2ln x D． y＝sin xcosx 与 y＝ sin2x12[答案] D[解析] 对于选项 C，(ln x2)′＝ ·2x＝ (x≠0)，(2ln x)′＝ (x＞0)，否定 C．1x2 2x 2x对于选项 A，( x2)′＝2 x，(2 x)′＝2 x·ln2，否定 A．对于选项 B，(ln(－ x))′＝(－ )×(－1)＝ (x＜0)，(ln x)′＝ (x＞0)，否定 B，故1x 1x 1x选 D．2．(2015·宁夏大学附属中学上学期期中)函数 f(x)＝ 的图象在点(1，－2)处lnx－ 2xx的切线方程为 ( )导 学 号 25400474A．2 x－ y－4＝0 B．2 x＋ y＝0C． x＋ y＋1＝0 D． x－ y－3＝0[答案] D[解析] ∵ f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图象上．∴ f ′( x)＝ ，∴ f ′(1)＝ ＝1，∴切线方程是 y－(－2)＝1·( x－1)，1－ lnxx2 1－ ln112即 x－ y－3＝0.故选 D．3．(2015·吉林长春十一高中上学期阶段性考试)已知曲线 y＝ －3ln x＋1 的一条切线x24的斜率为 ，则切点的横坐标为 ( )12 导 学 号 25400475A．3 B．2C．1 D．12[答案] A[解析] 设切点为( x0， y0)，则 f ′( x0)＝ － ＝ ，解得 x0＝3 或 x0＝－2.又x02 3x0 12x0＞0，所以 x0＝3.故选 A．24．(2015·福建八县(市)一中上学期联考)函数 f(x)＝e xcosx 的图象在点(0， f(0))处的切线的倾斜角为 ( )导 学 号 25400476A． B．0π 4C． D．13π4[答案] A[解析] f ′( x)＝e xcosx－e xsinx，所以 f ′(0)＝e 0cos0－e 0sin0＝1，所以倾斜角α ＝ .故选 A．π 45．(2015·日照一中检测)已知函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是x－2 y＋1＝0，则 f(1)＋2 f ′(1)的值是 ( )导 学 号 25400477A． B．112C． D．232[答案] D[解析] ∵函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是 x－2 y＋1＝0，∴ f(1)＝1， f ′(1)＝ .∴ f(1)＋2 f ′(1)＝2，故选 D．126．若 P 为曲线 y＝ln x 上一动点， Q 为直线 y＝ x＋1 上一动点，则| PQ|min＝( )导 学 号 25400478A．0 B．22C． D．22[答案] C[解析] 如图所示，直线 l 与 y＝ln x 相切且与 y＝ x＋1 平行时，切点 P 到直线 y＝ x＋1 的距离| PQ|即为所求最小值．(ln x)′＝ ，令1x＝1，得 x＝1.故 P(1,0)．故| PQ|min＝ ＝ .故选 C．1x 22 2二、填空题7．直线 y＝ kx＋ b 与曲线 y＝ ax2＋2＋ln x 相切于点 P(1,4)，则 b 的值为________.导 学 号 25400479[答案] －1[解析] 由点 P(1,4)在曲线上可得 a×12＋2＋ln1＝4，解得 a＝2，故3y＝2 x2＋2＋ln x， y′＝4 x＋ ，从而曲线在点 P 处切线的斜率 k＝ y′| x＝1 ＝4×1＋ ＝5，则1x 11切线方程为 y＝5 x＋ b，由点 P 在切线上得 4＝5×1＋ b，解得 b＝－1.8．设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝ x＋e x，则 f ′(1)＝________.导 学 号 25400480[答案] 2[解析] 方法 1 令 t＝e x，故 x＝ln t，∴ f(t)＝ln t＋ t，即 f(x)＝ln x＋ x，∴ f ′( x)＝ ＋1，∴ f ′(1)＝2.1x方法 2 f ′(e x)＝1＋e x， f ′(1)＝ f ′(e 0)＝1＋e 0＝2.9．(2015·陕西)设曲线 y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线垂1x直，则 P 的坐标为________. 导 学 号 25400481[答案] (1,1)[解析] y′＝e x，则 y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率 k 切 ＝1，又曲线 y＝ (x＞0)上点1xP 处的切线与 y＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以 y＝ (x＞0)在点 P 处的切线的斜率为1x－1，设 P(a， b)，则曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线的斜率为 y′| x＝ a＝－ a－2 ＝－1，可1x得 a＝1，又 P(a， b)在 y＝ 上，所以 b＝1，故 P(1,1)．1x10．(2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：(ⅰ)直线 l 在点 P(x0， y0)处与曲线 C 相切；(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C． 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). 导 学 号 25400482①直线 l： y＝0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝ x3②直线 l： x＝－1 在点 P(－1,0)处“切过”曲线 C： y＝( x＋1) 2③直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝sin x④直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝tan x⑤直线 l： y＝ x－1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： y＝ln x[答案] ①③④[解析] 对于①， y′＝3 x2， y′| x＝0 ＝0，所以 l： y＝0 是曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)处的切线，画图可知曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，①正确；对于②，因为 y′＝2( x＋1)， y′| x＝－1 ＝0，所以 l： x＝－1 不是曲线 C： y＝( x＋1) 2在点 P(－1,0)处的切线，②错误；对于③， y′＝cos x， y′| x＝0 ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，4画图可知曲线 C： y＝sin x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，③正确；对于④， y′＝， y′| x＝0 ＝ ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，画图可知曲线 C： y＝tan x1cos2x 1cos20在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，④正确；对于⑤， y′＝ ， y′| x＝1 ＝1，在点 P(1,0)1x处的切线为 l： y＝ x－1，令 h(x)＝ x－1－ln x(x＞0)，可得 h′( x)＝1－ ＝ ，所以 h(x)1x x－ 1xmin＝ h(1)＝0，故 x－1≥ln x，可知曲线 C： y＝ln x 在点 P(1,0)附近位于直线 l 的下侧，⑤错误．三、解答题11．已知函数 f(x)＝ x3＋ x－16. 导 学 号 25400483(1)求曲线 y＝ f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．[答案] (1) y＝13 x－32 (2) y＝13 x，(－2，－26)[解析] (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝ f(x)上．∵ f ′( x)＝( x3＋ x－16)′＝3 x2＋1.∴ f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝ f ′(2)＝13.∴切线的方程为 y＋6＝13( x－2)，即 y＝13 x－32.(2)设切点坐标为( x0， y0)，则直线 l 的斜率为 f ′( x0)＝3 x ＋1， y0＝ x ＋ x0－16，20 30∴直线 l 的方程为 y＝(3 x ＋1)( x－ x0)＋ x ＋ x0－16.20 30又∵直线 l 过坐标点(0,0)，∴0＝(3 x ＋1)(－ x0)＋ x ＋ x0－16，20 30整理得， x ＝－8，∴ x0＝－2，30∴ y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)， k＝3×(－2) 2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13 x，切点坐标为(－2，－26)．12．(2015·临沂一模)已知函数 f(x)＝ x3－2 x2＋3 x(x∈R)的图象为曲线 C．13导 学 号 25400484(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围．[答案] (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)2 2[解析] (1)由题意得 f ′( x)＝ x2－4 x＋3，5则 f ′( x)＝( x－2) 2－1≥－1，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得－1≤ k＜0 或 k≥1，故由－1≤ x2－4 x＋3＜0 或 x2－4 x＋3≥1，得 x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)．2 2B 组 能力提升1．(2015·福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f ′( x)满足 f ′( x)＞ k＞1，则下列结论中一定错误的是 ( )导 学 号 25400485A． f( )＜ B． f( )＞1k 1k 1k 1k－ 1C． f( )＜ D． f( )＞1k－ 1 1k－ 1 1k－ 1 kk－ 1[答案] C[解析] 取满足题意的函数 f(x)＝2 x－1，若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ ＜ ＝ ，所以32 1k 23 13 23 1k排除 A；若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ f(10)＝19＞11＝ ＝ ，所以排除 D；1110 1k－ 1 11110－ 111101110－ 1 kk－ 1取满足题意的函数 f(x)＝10 x－1，若取 k＝2，则 f( )＝ f( )＝4＞1＝ ＝ ，所以排1k 12 12－ 1 1k－ 1除 B．故结论一定错误的是 C．2．(2015·重庆七校联盟联考)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)＝2 f(2－ x)－ x2＋8 x－8，则曲线 y＝ f(x)在点(1， f(1))处切线的斜率是 ( )导 学 号 25400486A．2 B．1C．3 D．－2[答案] A[解析] 由 f(x)＝2 f(2－ x)－ x2＋8 x－8 两边求导得， f ′( x)＝2 f ′(2－ x)×(－1)－2 x＋8.令 x＝1 得 f ′(1)＝2 f ′(1)×(－1)－2＋8⇒ f ′(1)＝2，故所求切线斜率是 2.3．(2015·江西九江月考)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f ′( x)存在，且导数 f ′( x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导数，记为 f ″( x)＝[ f ′( x)]′，若 f ″( x)＜0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数．以下四个函数在(0， )上是凸π 2函数的是________(把你认为正确的序号都填上). 导 学 号 254004876① f(x)＝sin x＋cos x；② f(x)＝ln x－2 x；③ f(x)＝－ x3＋2 x－1；④ f(x)＝ xex.[答案] ①②③[解析] 由①知， f ′( x)＝cos x－sin x，则 f ″( x)＝－sin x－cos x＝－ sin(x＋ )2π 4＜0 在区间(0， )上恒成立；由②知， f ′( x)＝ －2( x＞0)，则 f ″( x)＝－ ＜0 在区π 2 1x 1x2间(0， )上恒成立；由③知， f ′( x)＝－3 x2＋2，则 f ″( x)＝－6 x＜0 在区间(0， )上π 2 π 2恒成立．故①②③中的函数为凸函数．由④知， f ′( x)＝e x＋ xex， f ″( x)＝2e x＋ xex＝e x(x＋2)＞0 在区间(0， )上恒成立，故④中的函数不是凸函数．π 24．设 L 为曲线 C： y＝ 在点(1,0)处的切线.lnxx 导 学 号 25400488(1)求 L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方．[答案] (1) y＝ x－1 (2)略[解析] (1)设 f(x)＝ ，则 f ′( x)＝ .lnxx 1－ lnxx2所以 f ′(1)＝1，即 L 的斜率为 1.又 L 过点(1,0)，所以 L 的方程为 y＝ x－1.(2)令 g(x)＝ x－1－ f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)＞0(∀ x＞0， x≠1)．g(x)满足 g(1)＝0，且 g′( x)＝1－ f ′( x)＝ .x2－ 1＋ lnxx2当 0＜ x＜1 时， x2－1＜0，ln x＜0，所以 g′( x)＜0，故 g(x)单调递减；当 x＞1 时， x2－1＞0，ln x＞0，所以 g′( x)＞0，故 g(x)单调递增．所以， g(x)＞ g(1)＝0(∀ x＞0 ， x≠1)．所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．5．(2015·河北唐山一中月考)已知函数 f(x)＝ ax3＋3 x2－6 ax－11， g(x)＝3 x2＋6 x＋12 和直线 m： y＝ kx＋9，且 f ′(－1)＝0. 导 学 号 25400489(1)求 a 的值；(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝ f(x)的切线，又是曲线 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1) a＝－2 (2) k＝0[解析] (1)由已知得 f ′( x)＝3 ax2＋6 x－6 a，7∵ f ′(－1)＝0，∴3 a－6－6 a＝0，∴ a＝－2.(2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 y＝ g(x)的切线，则设切点为( x0,3x ＋6 x0＋12)．20∵ g′( x0)＝6 x0＋6，∴切线方程为 y－(3 x ＋6 x0＋12)＝(6 x0＋6)( x－ x0)，20将(0,9)代入切线方程，解得 x0＝±1.当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9；当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12 x＋9.由(1)知 f(x)＝－2 x3＋3 x2＋12 x－11，①由 f ′( x)＝0 得－6 x2＋6 x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.在 x＝－1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝－18；在 x＝2 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝9，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9.②由 f ′( x)＝12 得－6 x2＋6 x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1.在 x＝0 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－11；在 x＝1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－10，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线不是 y＝12 x＋9.综上所述， y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.12017 高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第 10 讲 导数的概念及运算(文)习题A 组 基础巩固一、选择题1．函数 y＝ln 的导函数为 ( )1x 导 学 号 25400599A． B． x1xC．－ D．－ x1x[答案] C[解析] ∵ln ＝ln x－1 ＝－ln x1x∴(ln )′＝(－ln x)′＝－ ，故选 C．1x 1x2．(2015·宁夏大学附属中学上学期期中)函数 f(x)＝ 的图象在点(1，－2)处lnx－ 2xx的切线方程为 ( )导 学 号 25400600A．2 x－ y－4＝0 B．2 x＋ y＝0C． x＋ y＋1＝0 D． x－ y－3＝0[答案] D[解析] ∵ f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图象上．∴ f ′( x)＝ ，∴ f ′(1)＝ ＝1，∴切线方程是 y－(－2)＝1·( x－1)，1－ lnxx2 1－ ln112即 x－ y－3＝0.故选 D．3．(2015·吉林长春十一高中上学期阶段性考试)已知曲线 y＝ －3ln x＋1 的一条切线x24的斜率为 ，则切点的横坐标为 ( )12 导 学 号 25400601A．3 B．2C．1 D．12[答案] A[解析] 设切点为( x0， y0)，则 f ′( x0)＝ － ＝ ，解得 x0＝3 或 x0＝－2.又x02 3x0 12x0＞0，所以 x0＝3.故选 A．24．(2015·福建八县(市)一中上学期联考)函数 f(x)＝e xcosx 的图象在点(0， f(0))处的切线的倾斜角为 ( )导 学 号 25400602A． B．0π 4C． D．13π4[答案] A[解析] f ′( x)＝e xcosx－e xsinx，所以 f ′(0)＝e 0cos0－e 0sin0＝1，所以倾斜角α ＝ .故选 A．π 45．(2015·日照一中检测)已知函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是x－2 y＋1＝0，则 f(1)＋2 f ′(1)的值是 ( )导 学 号 25400603A． B．112C． D．232[答案] D[解析] ∵函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是 x－2 y＋1＝0，∴ f(1)＝1， f ′(1)＝ .∴ f(1)＋2 f ′(1)＝2，故选 D．126．若 P 为曲线 y＝ln x 上一动点， Q 为直线 y＝ x＋1 上一动点，则| PQ|min＝( )导 学 号 25400604A．0 B．22C． D．22[答案] C[解析] 如图所示，直线 l 与 y＝ln x 相切且与 y＝ x＋1 平行时，切点 P 到直线 y＝ x＋1 的距离| PQ|即为所求最小值．(ln x)′＝ ，令1x＝1，得 x＝1.故 P(1,0)．故| PQ|min＝ ＝ .故选 C．1x 22 2二、填空题7．直线 y＝ kx＋ b 与曲线 y＝ ax2＋2＋ln x 相切于点 P(1,4)，则 b 的值为________.导 学 号 25400605[答案] －1[解析] 由点 P(1,4)在曲线上可得 a×12＋2＋ln1＝4，解得 a＝2，故3y＝2 x2＋2＋ln x， y′＝4 x＋ ，从而曲线在点 P 处切线的斜率 k＝ y′| x＝1 ＝4×1＋ ＝5，则1x 11切线方程为 y＝5 x＋ b，由点 P 在切线上得 4＝5×1＋ b，解得 b＝－1.8．设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝ x＋e x，则 f ′(1)＝________.导 学 号 25400606[答案] 2[解析] 方法 1 令 t＝e x，故 x＝ln t，∴ f(t)＝ln t＋ t，即 f(x)＝ln x＋ x，∴ f ′( x)＝ ＋1，∴ f ′(1)＝2.1x方法 2 f ′(e x)＝1＋e x， f ′(1)＝ f ′(e 0)＝1＋e 0＝2.9．(2015·陕西)设曲线 y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线垂1x直，则 P 的坐标为________. 导 学 号 25400607[答案] (1,1)[解析] y′＝e x，则 y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率 k 切 ＝1，又曲线 y＝ (x＞0)上点1xP 处的切线与 y＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以 y＝ (x＞0)在点 P 处的切线的斜率为1x－1，设 P(a， b)，则曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线的斜率为 y′| x＝ a＝－ a－2 ＝－1，可1x得 a＝1，又 P(a， b)在 y＝ 上，所以 b＝1，故 P(1,1)．1x10．(2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件： 导 学 号 25400608(ⅰ)直线 l 在点 P(x0， y0)处与曲线 C 相切；(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C． 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线 l： y＝0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝ x3②直线 l： x＝－1 在点 P(－1,0)处“切过”曲线 C： y＝( x＋1) 2③直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝sin x④直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝tan x⑤直线 l： y＝ x－1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： y＝ln x[答案] ①③④[解析] 对于①， y′＝3 x2， y′| x＝0 ＝0，所以 l： y＝0 是曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)处的切线，画图可知曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，①正确；对于②，因为 y′＝2( x＋1)， y′| x＝－1 ＝0，所以 l： x＝－1 不是曲线 C： y＝( x＋1) 2在点 P(－1,0)处的切线，②错误；对于③， y′＝cos x， y′| x＝0 ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，4画图可知曲线 C： y＝sin x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，③正确；对于④， y′＝， y′| x＝0 ＝ ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，画图可知曲线 C： y＝tan x1cos2x 1cos20在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，④正确；对于⑤， y′＝ ， y′| x＝1 ＝1，在点 P(1,0)1x处的切线为 l： y＝ x－1，令 h(x)＝ x－1－ln x(x＞0)，可得 h′( x)＝1－ ＝ ，所以 h(x)1x x－ 1xmin＝ h(1)＝0，故 x－1≥ln x，可知曲线 C： y＝ln x 在点 P(1,0)附近位于直线 l 的下侧，⑤错误．三、解答题11．已知函数 f(x)＝ x3＋ x－16. 导 学 号 25400609(1)求曲线 y＝ f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．[答案] (1) y＝13 x－32 (2) y＝13 x，(－2，－26)[解析] (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝ f(x)上．∵ f ′( x)＝( x3＋ x－16)′＝3 x2＋1.∴ f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝ f ′(2)＝13.∴切线的方程为 y＋6＝13( x－2)，即 y＝13 x－32.(2)设切点坐标为( x0， y0)，则直线 l 的斜率为 f ′( x0)＝3 x ＋1， y0＝ x ＋ x0－16，20 30∴直线 l 的方程为 y＝(3 x ＋1)( x－ x0)＋ x ＋ x0－16.20 30又∵直线 l 过坐标点(0,0)，∴0＝(3 x ＋1)(－ x0)＋ x ＋ x0－16，整理得， x ＝－8，20 30 30∴ x0＝－2，∴ y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)， k＝3×(－2) 2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13 x，切点坐标为(－2，－26)．12．(2015·临沂一模)已知函数 f(x)＝ x3－2 x2＋3 x(x∈R)的图象为曲线 C．13导 学 号 25400610(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围．[答案] (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)2 2[解析] (1)由题意得 f ′( x)＝ x2－4 x＋3，5则 f ′( x)＝( x－2) 2－1≥－1，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得－1≤ k＜0 或 k≥1，故由－1≤ x2－4 x＋3＜0 或 x2－4 x＋3≥1，得 x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)．2 2B 组 能力提升1．(2015·福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f ′( x)满足 f ′( x)＞ k＞1，则下列结论中一定错误的是 ( )导 学 号 25400611A． f( )＜ B． f( )＞1k 1k 1k 1k－ 1C． f( )＜ D． f( )＞1k－ 1 1k－ 1 1k－ 1 kk－ 1[答案] C[解析] 取满足题意的函数 f(x)＝2 x－1，若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ ＜ ＝ ，所以32 1k 23 13 23 1k排除 A；若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ f(10)＝19＞11＝ ＝ ，所以排除 D；1110 1k－ 1 11110－ 111101110－ 1 kk－ 1取满足题意的函数 f(x)＝10 x－1，若取 k＝2，则 f( )＝ f( )＝4＞1＝ ＝ ，所以排1k 12 12－ 1 1k－ 1除 B．故结论一定错误的是 C．2．已知函数 f(x)＝ ， g(x)＝ alnx， a∈R.若曲线 y＝ f(x)与曲线 y＝ g(x)相交，且在x交点处有共同的切线，则切线方程为________. 导 学 号 25400612[答案] y＝ x＋12e e2[解析] f ′( x)＝ ， g′( x)＝ (x＞0)，12x ax由已知得Error!解得 a＝ ， x＝e 2.e2∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为 k＝ f ′(e 2)＝ ，12e∴切线的方程为 y－e＝ (x－e 2)，12e6即 y＝ x＋ .12e e23．(2015·江西九江月考)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f ′( x)存在，且导数 f ′( x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导数，记为 f ″( x)＝[ f ′( x)]′，若 f ″( x)＜0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数．以下四个函数在(0， )上是凸π 2函数的是________(把你认为正确的序号都填上). 导 学 号 25400613① f(x)＝sin x＋cos x；② f(x)＝ln x－2 x；③ f(x)＝－ x3＋2 x－1；④ f(x)＝ xex.[答案] ①②③[解析] 由①知， f ′( x)＝cos x－sin x，则 f ″( x)＝－sin x－cos x＝－ sin(x＋ )2π 4＜0 在区间(0， )上恒成立；由②知， f ′( x)＝ －2( x＞0)，则 f ″( x)＝－ ＜0 在区π 2 1x 1x2间(0， )上恒成立；由③知， f ′( x)＝－3 x2＋2，则 f ″( x)＝－6 x＜0 在区间(0， )上π 2 π 2恒成立．故①②③中的函数为凸函数．由④知， f ′( x)＝e x＋ xex， f ″( x)＝2e x＋ xex＝e x(x＋2)＞0 在区间(0， )上恒成立，故④中的函数不是凸函数．π 24．设 L 为曲线 C： y＝ 在点(1,0)处的切线.lnxx 导 学 号 25400614(1)求 L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方．[答案] (1) y＝ x－1 (2)略[解析] (1)设 f(x)＝ ，则 f ′( x)＝ .lnxx 1－ lnxx2所以 f ′(1)＝1，即 L 的斜率为 1.又 L 过点(1,0)，所以 L 的方程为 y＝ x－1.(2)令 g(x)＝ x－1－ f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)＞0(∀ x＞0， x≠1)．g(x)满足 g(1)＝0，且 g′( x)＝1－ f ′( x)＝ .x2－ 1＋ lnxx2当 0＜ x＜1 时， x2－1＜0，ln x＜0，所以 g′( x)＜0，故 g(x)单调递减；当 x＞1 时， x2－1＞0，ln x＞0，所以 g′( x)＞0，故 g(x)单调递增．所以， g(x)＞ g(1)＝0(∀ x＞0 ， x≠1)．所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．5．(2015·河北唐山一中月考)已知函数 f(x)＝ ax3＋3 x2－6 ax－11， g(x)7＝3 x2＋6 x＋12 和直线 m： y＝ kx＋9，且 f ′(－1)＝0. 导 学 号 25400615(1)求 a 的值；(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝ f(x)的切线，又是曲线 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1) a＝－2 (2) k＝0[解析] (1)由已知得 f ′( x)＝3 ax2＋6 x－6 a，∵ f ′(－1)＝0，∴3 a－6－6 a＝0，∴ a＝－2.(2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 y＝ g(x)的切线，则设切点为( x0,3x ＋6 x0＋12)．20∵ g′( x0)＝6 x0＋6，∴切线方程为 y－(3 x ＋6 x0＋12)＝(6 x0＋6)( x－ x0)，20将(0,9)代入切线方程，解得 x0＝±1.当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9；当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12 x＋9.由(1)知 f(x)＝－2 x3＋3 x2＋12 x－11，①由 f ′( x)＝0 得－6 x2＋6 x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.在 x＝－1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝－18；在 x＝2 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝9，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9.②由 f ′( x)＝12 得－6 x2＋6 x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1.在 x＝0 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－11；在 x＝1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－10，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线不是 y＝12 x＋9.综上所述， y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.12017 高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第 11 讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1． f ′( x)是 f(x)的导函数，若 f ′( x)的图象如图所示，则 f(x)的图象可能是( )导 学 号 25400503[答案] C[分析] → →观 察 导 函 数 图 象f ′  x ＞ 0时 f x 递 增 ，f ′  x ＜ 0时 f x 递 减 得 正 确 选 项[解析] 由导函数的图象可知，当 x＜0 时， f ′( x)＞0，即函数 f(x)为增函数；当0＜ x＜ x1时， f ′( x)＜0，即函数 f(x)为减函数；当 x＞ x1时， f ′( x)＞0，即函数 f(x)为增函数．观察选项易知 C 正确．2．设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f ′( x)，且函数 y＝(1－ x)f ′( x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( )导 学 号 25400504A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1)C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2)D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)[答案] D[分析] →利 用 函 数 y＝  1－ x f ′  x的 图 象 分 析 各 个 区 间 内f ′  x 的 正 负 结 合 极 值 的 概念 作 出 判 断[解析] 由图可知，当 x＜－2 时， f ′( x)＞0；当－2＜ x＜1 时， f ′( x)＜0；当1＜ x＜2 时， f ′( x)＜0；当 x＞2 时， f ′( x)＞0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．3．(2015·重庆一模)函数 f(x)＝ x3＋ bx2＋ cx＋ d 的图象如图，则函数2y＝log 2(x2＋ bx＋ )的单调递减区间为 ( )23 c3 导 学 号 25400505A．[ ，＋∞) B．[3，＋∞)12C．[－2,3] D．(－∞，－2)[答案] D[解析] 因为 f(x)＝ x3＋ bx2＋ cx＋ d，所以 f ′( x)＝3 x2＋2 bx＋ c.由图可知 f ′(－2)＝ f ′(3)＝0.所以Error! 解得Error!令 g(x)＝ x2＋ bx＋ ，23 c3则 g(x)＝ x2－ x－6， g′( x)＝2 x－1.由 g(x)＝ x2－ x－6＞0，解得 x＜－2 或 x＞3.当 x＜ 时， g′( x)＜0，12所以 g(x)＝ x2－ x－6 在(－∞，－2)上为减函数．所以函数 y＝log 2(x2＋ bx＋ )的单调递减区间为(－∞，－2)．故选 D．23 c34．(2015·陕西)对二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是 ( )导 学 号 25400506A．－1 是 f(x)的零点 B．1 是 f(x)的极值点C．3 是 f(x)的极值 D．点(2,8)在曲线 y＝ f(x)上[答案] A[解析] 由 A 知 a－ b＋ c＝0；由 B 知 f ′( x)＝2 ax＋ b,2a＋ b＝0；由 C 知 f ′( x)＝2 ax＋ b，令 f ′( x)＝0 可得 x＝－ ，则 f(－ )＝3，则 ＝3；由 D 知b2a b2a 4ac－ b24a4a＋2 b＋ c＝8.假设 A 选项错误，则Error!，得Error!，满足题意，故 A 结论错误．同理易知当 B 或 C 或 D 选项错误时不符合题意，故选 A．5．若函数 f(x)＝ (a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为 ，则 a 的值为xx2＋ a 33( )导 学 号 25400507A． B．33 3C． ＋1 D． －13 3[答案] D3[解析] f ′( x)＝ ＝ ，x2＋ a－ 2x2 x2＋ a 2 a－ x2 x2＋ a 2若 a＞1，当 x＞ 时， f ′( x)＜0， f(x)单调递减，a当 1＜ x＜ 时， f ′( x)＞0， f(x)单调递增，a当 x＝ 时，令 f(x)＝ ＝ ， ＝ ＜1，不合题意．aa2a 33 a 32若 0＜ a≤1，则 f ′( x)≤0， f(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴ f(x)max＝ f(1)＝ ＝ ， a＝ －1，故选 D．11＋ a 33 36．函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x)＝ f(2－ x)，且当 x∈(－∞，1)时，( x－1) f ′( x)＜0，设 a＝ f(0)， b＝ f( )， c＝ f(3)，则 ( )12 导 学 号 25400508A． a＜ b＜ c B． c＜ a＜ bC． c＜ b＜ a D． b＜ c＜ a[答案] B[解析] 由 f(x)＝ f(2－ x)可得对称轴为 x＝1，故 f(3)＝ f(1＋2)＝ f(1－2)＝ f(－1)．又 x∈(－∞，1)时，( x－1) f ′( x)＜0，可知 f ′( x)＞0.即 f(x)在(－∞，1)上单调递增， f(－1)＜ f(0)＜ f( )，即 c＜ a＜ b.12二、填空题7．函数 y＝ x－2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________. 导 学 号 25400509[答案] ( ， )π 3 5π3[解析] ∵ y′＝1－2cos x，∴由Error!即Error! 得 ＜ x＜ .π 3 5π3∴函数 y＝ x－2sin x 在(0,2π)内的增区间为( ， )．π 3 5π38．若函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(2)＝2， f ′( x)＞1，则不等式 f(x)－ x＞0 的解集为________. 导 学 号 25400510[答案] (2，＋∞)[解析] 令 g(x)＝ f(x)－ x，∴ g′( x)＝ f ′( x)－1.由题意知 g′( x)＞0，∴ g(x)为增函数．∵ g(2)＝ f(2)－2＝0，∴ g(x)＞0 的解集为(2，＋∞)．49．若 y＝ alnx＋ bx2＋ x 在 x＝1 和 x＝2 处有极值，则 a＝________， b＝________.导 学 号 25400511[答案] － －23 16[解析] y′＝ ＋2 bx＋1.ax由已知Error! 解得Error!10．已知 y＝ f(x)是奇函数，当 x∈(0,2)时， f(x)＝ln x－ ax(a＞ )，当 x∈(－2,0)时，12f(x)的最小值为 1，则 a＝________. 导 学 号 25400512[答案] 1[解析] ∵ f(x)是奇函数，且当 x∈(－2,0)时， f(x)的最小值为 1，∴ f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当 x∈(0,2)时， f ′( x)＝ － a，令 f ′( x)＝0 得 x＝ ，又1x 1aa＞ ，∴0＜ ＜2.当 x＜ 时， f ′( x)＞0， f(x)在(0， )上单调递增；当 x＞ 时， f ′( x)12 1a 1a 1a 1a＜0， f(x)在( ，2)上单调递减，∴ f(x)max＝ f( )＝ln － a· ＝－1，解得 a＝1.1a 1a 1a 1a三、解答题11．已知函数 f(x)＝e x－ kx2， x∈R.若 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，试求 k 的取值范围. 导 学 号 25400513[答案] (－∞， ]e2[解析] 方法一(分离参数法)： f ′( x)＝e x－2 kx.当 x＞0 时，由 ex－2 kx≥0，得 k≤ 在(0，＋∞)上恒成立，令 p(x)＝ ，则有ex2x ex2xk≤ p(x)min，则 p′( x)＝ ，令 p′( x)＝0，解得 x＝1，ex x－ 12x2列表如下：x (0,1) 1 (1，＋∞)p′( x) － 0 ＋p(x)  极小值 故函数 p(x)在 x＝1 处取得极小值，亦即最小值．因为 p(x)min＝ p(1)＝ ，所以 k≤ ，故实数 k 的取值范围是(－∞， ]．e2 e2 e2方法二(分类讨论法)： f ′( x)＝e x－2 kx，若 k≤0，显然 f ′( x)＞0，则 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；记 φ (x)5＝e x－2 kx，则 φ ′( x)＝e x－2 k，当 0＜ k＜ 时，因为 ex＞e 0＝1,2 k＜1，所以 φ ′( x)＞0，则 φ (x)在(0，＋∞)上单调12递增，于是 f ′( x)＝ φ (x)＞ φ (0)＝1＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当 k≥ 时， φ (x)＝e x－2 kx 在(0，ln(2 k))上单调递减，在(ln(2 k)，＋∞)上单调递增，12于是 f ′( x)＝ φ (x)≥ φ (ln(2k))＝e ln(2k)－2 kln(2k)，由 eln(2k)－2 kln(2k)≥0，得 2k－2 kln(2k)≥0，则 ≤ k≤ .12 e2综上所述， k 的取值范围是(－∞， ]．e212．已知函数 f(x)＝ (a＞0)的导函数 y＝ f ′( x)的两个零点为－3 和 0.ax2＋ bx＋ cex导 学 号 25400514(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为－e 3，求 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．[答案] (1)增区间(－3,0)，减区间(－∞，－3)和(0，＋∞) (2)5e 5[解析] (1) f ′( x)＝ 2ax＋ b ex－  ax2＋ bx＋ c ex ex 2＝ .－ ax2＋  2a－ b x＋ b－ cex令 g(x)＝－ ax2＋(2 a－ b)x＋ b－ c，因为 ex＞0，所以 y＝ f ′( x)的零点就是 g(x)＝－ ax2＋(2 a－ b)x＋ b－ c 的零点，且 f ′( x)与 g(x)符号相同．又因为 a＞0，所以－3＜ x＜0 时， g(x)＞0，即 f ′( x)＞0，当 x＜－3 或 x＞0 时， g(x)＜0，即 f ′( x)＜0，所以 f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知， x＝－3 是 f(x)的极小值点，所以有Error!解得 a＝1， b＝5， c＝5，所以 f(x)＝ .x2＋ 5x＋ 5ex因为 f(x)的单调增区间是(－3,0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以 f(0)＝5 为函数 f(x)的极大值，故 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取 f(－5)和 f(0)中的最大者．6而 f(－5)＝ ＝5e 5＞5＝ f(0)，5e－ 5所以函数 f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是 5e5.B 组 能力提升1．(改编题)已知函数 y＝( )f ′( x)的图象如图，则函数 f(x)的单调增区间为12( )导 学 号 25400515A．(－∞，1) B．(－∞，0)和(2，＋∞)C．R D．(1,2)[答案] B[解析] 因为函数 y＝( )x是 R 上的减函数，12所以 f ′( x)＞0 的充要条件是 0＜( )f ′( x)＜1.12由图象可知，当 x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，0＜( )f ′( x)＜1，即 f ′( x)＞0.所以12函数 f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，故选 B．2．(2015·云南师大附中适应性考试)设函数 f(x)＝e x(sinx－cos x)(0≤ x≤2 015π)，则函数 f(x)的各极小值之和为 ( )导 学 号 25400516A．－ B．－e2π  1－ e2 015π 1－ e2π e2π  1－ e2 015π 1－ eπC．－ D．－1－ e2 016π1－ e2π e2π  1－ e2 014π 1－ e2π[答案] D[解析] ∵ f ′( x)＝2e xsinx，∴当 x∈(2 kπ＋π，2 kπ＋2π)( k∈Z)时， f ′( x)＜0， f(x)单调递减，当 x∈(2 kπ＋2π，2 kπ＋3π)( k∈Z)时， f ′( x)＞0， f(x)单调递增，故当 x＝2 kπ＋2π( k∈Z)时， f(x)取极小值，其极小值为 f(2kπ＋2π)＝－e 2kπ＋2π (k∈Z)，又 0≤ x≤2 015π，所以 f(x)的各极小值之和S＝－e 2π －e 4π －…－e 2 014π ＝－ ，故选 D．e2π  1－ e2 014π 1－ e2π3．定义在 R 上的函数 f(x)满足： f(x)＋ f ′( x)＞1， f(0)＝4，则不等式 exf(x)＞e x＋3(其中 e 为自然对数的底数)的解集为________. 导 学 号 25400517[答案] (0，＋∞)7[解析] 设 g(x)＝e xf(x)－e x(x∈R)，则 g′( x)＝e xf(x)＋e xf ′( x)－e x＝e x[f(x)＋ f ′( x)－1]，因为 f(x)＋ f ′( x)＞1，所以 f(x)＋ f ′( x)－1＞0，所以 g′( x)＞0，所以g(x)在 R 上单调递增．因为 exf(x)＞e x＋3，所以 g(x)＞3.又 g(0)＝e 0[f(0)－1]＝4－1＝3，所以 g(x)＞ g(0)，所以 x＞0.4．已知 f(x)＝ ax－ln x， x∈(0，e]， g(x)＝ ，其中 e 是自然对数的底数， a∈R.lnxx导 学 号 25400518(1)讨论 a＝1 时，函数 f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下， f(x)＞ g(x)＋ ；12(3)是否存在正实数 a，使 f(x)的最小值是 3？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由．[答案] (1)减区间(0,1)，增区间(1，e]，极小值为 1 (2)略 (3) a＝e 2[解析] (1)∵ a＝1，∴ f(x)＝ x－ln x， f ′( x)＝1－ ＝ ，1x x－ 1x∴当 0＜ x＜1 时， f ′( x)＜0，此时 f(x)单调递减；当 1＜ x≤e 时， f ′( x)＞0，此时 f(x)单调递增．∴ f(x)的极小值为 f(1)＝1.(2)证明 ∵ f(x)的极小值为 1，即 f(x)在(0，e]上的最小值为 1，∴[ f(x)]min＝1.又 g′( x)＝ ，1－ lnxx2∴当 0＜ x＜e 时， g′( x)＞0， g(x)在(0，e]上单调递增．∴[ g(x)]max＝ g(e)＝ ＜ ，1e 12∴[ f(x)]min－[ g(x)]max＞ ，12∴在(1)的条件下， f(x)＞ g(x)＋ .12(3)假设存在正实数 a，使 f(x)＝ ax－ln x(x∈(0，e])有最小值 3，则 f ′( x)＝ a－ ＝ .1x ax－ 1x①当 0＜ ＜e 时， f(x)在(0， )上单调递减，1a 1a在( ，e]上单调递增，1a[f(x)]min＝ f( )＝1＋ln a＝3， a＝e 2，满足条件；1a8②当 ≥e 时， f(x)在(0，e]上单调递减，1a[f(x)]min＝ f(e)＝ ae－1＝3，a＝ (舍去)，所以，此时 f(x)无最小值．4e综上，存在实数 a＝e 2，使得当 x∈(0，e]时 f(x)有最小值 3.5．设 f(x)＝ ＋ xlnx， g(x)＝ x3－ x2－3.ax 导 学 号 25400519(1)如果存在 x1， x2∈[0,2]使得 g(x1)－ g(x2)≥ M 成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的 s， t∈[ ，2]，都有 f(s)≥ g(t)成立，求实数 a 的取值范围．12[答案] (1)4 (2)[1，＋∞)[解析] (1)存在 x1， x2∈[0,2]使得 g(x1)－ g(x2)≥ M 成立，等价于[ g(x1)－ g(x2)]max≥ M.由 g(x)＝ x3－ x2－3，得 g′( x)＝3 x2－2 x＝3 x(x－ )．23由 g′( x)＞0 得 x＜0 或 x＞ ，又 x∈[0,2]，所以 g(x)在[0， ]上是单调递减函数，23 23在[ ，2]上是单调递增函数，所以 g(x)min＝ g( )＝－ ， g(x)max＝ g(2)＝1.23 23 8527故[ g(x1)－ g(x2)]max＝ g(x)max－ g(x)min＝ ≥ M，11227则满足条件的最大整数 M＝4.(2)对于任意的 s， t∈[ ，2]，都有 f(s)≥ g(t)成立，等价于在[ ，2]上，函数 f(x)12 12min≥ g(x)max.由(1)可知在[ ，2]上， g(x)的最大值为 g(2)＝1.12在[ ，2]上， f(x)＝ ＋ xlnx≥1 恒成立等价于 a≥ x－ x2lnx 恒成立．12 ax设 h(x)＝ x－ x2lnx， h′( x)＝1－2 xlnx－ x，可知 h′( x)在[ ，2]上是减函数，又12h′(1)＝0，所以当 1＜ x＜2 时， h′( x)＜0；当 ＜ x＜1 时， h′( x)＞0.12即函数 h(x)＝ x－ x2lnx 在[ ，1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，所以 h(x)max＝ h(1)12＝1，即实数 a 的取值范围是[1，＋∞)．9[点拨] 如果一个问题的求解中既有“存在性”又有“恒成立”问题，那么需要对问题作等价转化，使之变成与典例 1、典例 2 相关的问题去求解，这里一定要注意转化的等价性、巧妙性，防止在转化中出错而使问题的求解出错．