（新课标）2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用（课件+习题）（打包28套）.zip

走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习函数、导数及其应用第二章第六讲 幂函数与二次函数第二章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2纠错笔记 ·状元秘籍3课 时 作 业4知识梳理 ·双基自测1. 幂 函数(1)幂函数的定义：形如 __________ (α∈ R)的函数称为幂函数，其中 x是__________， α为 __________. (2)五种幂函数的图象●知 识 梳理 y＝ xα自变量 常数(3)五种幂函数的性质R R R [0，＋ ∞) {x|x∈ R，且 x≠0}R [0，＋ ∞) R [0，＋ ∞) {y|y∈ R，且 y≠0}奇 偶 奇 非奇非偶 奇增 x∈ [0，＋ ∞) 时，增， x∈ (－ ∞， 0)时，减 增 增x∈ (0，＋ ∞) 时，减， x∈ (－ ∞， 0)时，减(1,1)2. 二次函数(1)二次函数的三种形式：一般式： _________________________；顶点式： __________________________，其中 _________ 为顶点坐标；零点式： _________________________，其中 __________为二次函数的零点 . f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)f(x)＝ a(x－ h)2＋ k(a≠0) (h， k)f(x)＝ a(x－ x1)(x－ x2)(a≠0) x1， x2(2)二次函数的图象和性质●双基自 测 [答案 ] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√[答案 ] B[答案 ] A[点 拨 ] 本 题 考 查幂 函数的性 质 和 应 用，解 题时 要熟 练掌握 幂 函数的概念和性 质 . [答案 ] B[答案 ] D[解析 ] 由已知得 m＝ 0， ∴f(x)＝－ x2＋ 3，在 (－ 5，－ 3)上递增，故选 D. [答案 ] 5考点突破 ·互动探究幂 函数的 图 象及性 质(2)作出函数 y＝ f(x)的图象如图 . 则当 0＜ k＜ 1时，关于 x的方程 f(x)＝ k有两个不同的实根 . [答案 ] (1)A (2)(0,1)[点 拨 ] 解 题 (1)的关 键 是引入指数函数与 幂 函数，根据函数的 单调 性求解；解 题 (2)的方法是作出函数 图 象，利用数形结 合的思想求解 . [规 律 总结 ] (1)比较幂值大小的常见类型及解决方法① 同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较；② 同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较；③ 既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小 . (2)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数，对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解 . [答案 ] (1)h(x)＞ g(x)＞ f(x) (2)A求二次函数解析式[规 律 总结 ] 求二次函数解析式的方法走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习函数、导数及其应用第二章第七讲 函数的图象第二章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测●知 识 梳理 2. 变换 法作 图(1)平移变换① 左右平移： y＝ f(x±a)(a＞ 0)的图象，可由 y＝ f(x)的图象向 __________左 (＋ )或向__________右 (－ )平移 __________a个单位而得到 . ② 上下平移： y＝ f(x)±b(b＞ 0)的图象，可由 y＝ f(x)的图象向 __________上 (＋ )或向__________下 (－ )平移 __________b个单位而得到 . (2)对称变换① y＝ f(－ x)与 y＝ f(x)的图象关于 ________对称 . ② y＝－ f(x)与 y＝ f(x)的图象关于 _________对称 . ③ y＝－ f(－ x)与 y＝ f(x)的图象关于 _________对称 . (3)翻折变换① 要得到 y＝ |f(x)|的图象，可将 y＝ f(x)的图象在 x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到 x轴上方，其余部分不变而得到 . ② 要得到 y＝ f(|x|)的图象，可将 y＝ f(x)， x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于________的对称性，作出 x＜ 0的图象而得到 .y轴x轴原点y轴A ●双基自 测 (3)函数 y＝ f(x)与 y＝－ f(x)的图象关于原点对称 . ( )(4)若函数 y＝ f(x)满足 f(1＋ x)＝ f(1－ x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 1对称 . ( )(5)将函数 y＝ f(－ x)的图象向右平移 1个单位得到函数 y＝ f(－ x－ 1)的图象 . ( )[答案 ] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×[答案 ] C[答案 ] D[答案 ] C[答案 ] A[点 拨 ] 本 题 主要考 查 了 识图 能力，数形 结 合的思想，属于基 础题 . 考点突破 ·互动探究作函数的 图 象[规 律 总结 ] 函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式 (或变形后的表达式 )是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象 . (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象 . (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响 . 又由于 f(x)为奇函数，图象关于原点对称 . ∴f(x)的图象如图 (b). 函数 图 象的辨 识走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习函数、导数及其应用第二章第八讲 函数与方程第二章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2纠错笔记 ·状元秘籍3课 时 作 业4知识梳理 ·双基自测1. 函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y＝ f(x)(x∈ D)，把使 __________成立的实数 x叫做函数 y＝ f(x)(x∈ D)的零点 . (2)函数零点的等价关系方程 f(x)＝ 0有实数根 ⇔ 函数 y＝ f(x)的图象与 ________有交点 ⇔ 函数 y＝ f(x)有__________. ●知识梳理 f(x)＝ 0x轴零点(3)函数零点的判定 (零点存在性定理 )如果函数 y＝ f(x)在区间 [a， b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ___________，那么函数 y＝ f(x)在区间 ________ 内有零点，即存在 c∈ (a， b)，使得 __________，这个______也就是方程 f(x)＝ 0的根 . f(a)·f(b)＜ 0 (a， b)f(c)＝ 0 c2. 二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a＞ 0)的 图 象与零点的关系(x1,0)， (x2,0) (x1,0)2 1 0 ●双基自测 [答案 ] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×[答案 ] A[解析 ] y＝ cosx是偶函数且有无数多个零点， y＝ sinx为奇函数， y＝ lnx既不是奇函数也不是偶函数， y＝ x2＋ 1是偶函数但没有零点，故 选 A. [答案 ] C[答案 ] C[解析 ] 由 题 意可得 f(2)f(3)＜ 0，解关于 k的不等式可得 . ∵函数 f(x)＝ log2x＋ x－ k在区 间 (2,3)上 单调递 增，又 ∵函数 f(x)＝ log2x＋ x－ k(k∈N)在区 间 (2,3)上只有一个零点，∴f(2)f(3)＜ 0，即 (3－ k)(3＋ log23－ k)＜ 0，解得 3＜ k＜ 3＋ log23，由 k∈N可得 k＝ 4，故 选 C. [点 拨 ] 本 题 考 查 函数零点的判定定理，涉及不等式的解法，属基 础题 . [答案 ] [2,2. 5][解析 ] 设 f(x)＝ x3－ 2x－ 5， f(2)＜ 0， f(2. 5)＞ 0，因此下一个区 间为 [2,2. 5]. [答案 ] ①②③[解析 ] 由已知得 ④⑤ 正确， ①②③ 不正确 . 考点突破 ·互动探究确定函数零点所在的区 间[解析 ] 函数 f(x)＝ log3x＋ x－ 2的定 义 域 为 (0，＋ ∞)，并且 f(x)在 (0，＋ ∞)上 单调递 增， 图 象是一条 连续 曲 线 . 又 f(1)＝－ 1＜ 0， f(2)＝ log32＞ 0， f(3)＝ 2＞ 0，根据零点存在性定理，可知函数 f(x)＝ log3x＋ x－ 2有唯一零点，且零点在区 间 (1,2)内 . [答案 ] B[规 律 总结 ] 确定函数零点所在区 间 的方法(1)解方程法：当 对应 方程 f(x)＝ 0易解 时 ，可先解方程，然后再看求得的根是否落在 给 定区 间 上 . (2)图 象法：把方程 转 化 为 两个函数，看它的交点所在区间 . (3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝ f(x)在区 间[a， b]上的 图 象是否 连续 ，再看是否有 f(a)·f(b)＜ 0. 若有， 则函数 y＝ f(x)在区 间 (a， b)内必有零点 . (4)数形 结 合法：通 过 画函数 图 象， 观 察 图 象与 x轴 在 给定区 间 上是否有交点来判断 .[答案 ] D确定函数零点的个数(2)分 别 画出函数 f(x)， g(x)的草 图 ， 观 察 发现 有 2个交点 . 故 选 A. [答案 ] (1)B (2)A[点 拨 ] (1)方法一的依据是零点存在性定理，方法二的关键 是将零点个数 问题转 化 为 两个函数 图 象的交点个数 问题 ，数形 结 合求解 . [规 律 总结 ] 判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令 f(x)＝ 0，如果能求出解， 则 有几个解就有几个零点 . (2)零点存在性定理法：利用定理不 仅 要求函数在区 间 [a，b]上是 连续 不断的曲 线 ，且 f(a)·f(b)＜ 0， 还 必 须结 合函数的图 象与性 质 (如 单调 性、奇偶性、周期性、 对 称性 )才能确定函数有多少个零点或零点 值 所具有的性 质 . (3)数形 结 合法： 转 化 为 两个函数的 图 象的交点个数 问题，先画出两个函数的 图 象，看其交点个数，其中交点的横坐 标有几个不同的 值 ，就有几个不同的零点 . 函数零点的 应 用走向高考 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索新课标 版 · 高考总复习函数、导数及其应用第二章第九讲 函数的应用第二章知识梳理 ·双基自测1考点突破 ·互动探究2课 时 作 业3知识梳理 ·双基自测1. 常 见 的几种函数模型●知 识 梳理 函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)＝ ax＋ b(a， b为常数， a≠0)二次函数模型 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a， b， c为常数， a≠0)指数函数模型 f(x)＝ bax＋ c(a， b， c为常数， a＞ 0，且 a≠1， b≠0)对数函数模型 f(x)＝ blogax＋ c(a， b， c为常数， a＞ 0，且 a≠1， b≠0)幂函数模型 f(x)＝ axn＋ b(a， b为常数， a≠0)2. 三种增 长 型函数之 间 增 长 速度的比 较① 指数函数 y＝ ax(a＞ 1)与幂函数 y＝ xn(n＞ 0)在区间 (0，＋ ∞)上，无论 n比 a大多少，尽管在 x的一定范围内， ax会小于 xn，但由于 ax的增长__________xn的增长，因而总存在一个 x0，当 x＞ x0时，有 __________. 快于ax＞ xn② 对数函数 y＝ logax(a＞ 1)与幂函数 y＝ xn(n＞ 0)对数函数 y＝ logax(a＞ 1)的增长速度，不论 a与 n值的大小如何，总会 __________y＝ xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数 x0，使 x＞ x0时，有 __________. 由 ①② 可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋ ∞)上，总会存在一个 x0，使 x＞ x0时，有 _______________. 慢于logax＜ xnax＞ xn＞ logax3. 解函数 应 用 问题 的步 骤 (四步八字 )(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题 . 以上过程用框图表示如下：●双基自 测 (4)当 a＞ 1时，不存在实数 x0，使 ax0＜ x＜ logax0. ( )(5)某种商品进价为每件 100元，按进价增加 25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获利 . ( )(6)当 x＞ 4时，恒有 2x＞ x2＞ log2x. ( )[答案 ] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√[答案 ] B[解析 ] 把 x＝ 1. 99代入，排除 A、 C、 D，故 选 B. [答案 ] 24[答案 ] C[解析 ] 由于中 间 停留一段否定 A、 D；由于赶 时间 比以前快，否定 B，故 选 C. 考点突破 ·互动探究二次函数模型(1)当 h＝ 1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；(2)若跳水运动员在区域 EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时 h的取值范围 . [解析 ] 由 题 意知抛物 线 的最高点 为 (2＋ h,4)， h≥1，故 设抛物 线 的方程 为 y＝ a[x－ (2＋ h)]2＋ 4. (1)当 h＝ 1时 ，最高点 为 (3,4)，方程 为 y＝ a(x－ 3)2＋ 4. 将 A(2,3)代入，得 3＝ a(2－ 3)2＋ 4，解得 a＝－ 1. 所以当 h＝ 1时 ，跳水曲 线 所在抛物 线 的方程 为 y＝－ (x－ 3)2＋ 4. [点 拨 ] 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解 . [规 律 总结 ] 一次函数、二次函数模型 问题 的常 见类 型及解 题 策略解决此 类问题应 注意三点：① 二次函数的最 值 一般利用配方法与函数的 单调 性解决，但一定要密切注意函数的定 义 域，否 则 极易出 错 ；② 确定一次函数模型 时 ，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③ 解决函数 应 用 问题时 ，最后要 还 原到 实际问题 . 指数、 对 数型函数模型[点 拨 ] 解题的关键是分析函数模型，利用待定系数法确定 a， b，进而解对数不等式 . [规 律 总结 ] (1)在 实际问题 中，有关人口增 长 、 银 行利率、 细 胞分裂等增 长 率 问题 常用指数函数模型表示 . 通常可以表示 为 y＝ N(1＋ p)x(其中 N为 基 础 数， p为 增 长 率， x为时间 )的形式 . 求解 时 可利用指数运算与 对 数运算的关系 . (2)已知 对 数函数模型解 题 是常 见题 型，准确 进 行 对 数运算及指数与 对 数的互化即可 . [分析 ] (1)分别计算当 x＝ 1,2,3时 y的值，归纳出函数解析式； (2)实质上是计算当 x＝ 10时y的值； (3)实质上是计算当 y＝ 120时 x的值 . [解析 ] (1)当 x＝ 1时 ，y＝ 100＋ 100×1. 2%＝ 100(1＋ 1. 2%)；当 x＝ 2时 ，y＝ 100(1＋ 1. 2%)＋ 100(1＋ 1. 2%)×1. 2%＝ 100(1＋ 1. 2%)2；当 x＝ 3时 ，y＝ 100(1＋ 1. 2%)2＋ 100(1＋ 1. 2%)2×1. 2%＝ 100(1＋ 1. 2%)3；……故 y关于 x的函数解析式 为 y＝ 100(1＋ 1. 2%)x(x∈N*). 12017 高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第 10 讲 导数的概念及运算(理)习题A 组 基础巩固一、选择题1．下列各组函数中导函数相同的是 ( )导 学 号 25400473A． y＝ x2与 y＝2 x B． y＝ln(－ x)与 y＝ln xC． y＝ln x2与 y＝2ln x D． y＝sin xcosx 与 y＝ sin2x12[答案] D[解析] 对于选项 C，(ln x2)′＝ ·2x＝ (x≠0)，(2ln x)′＝ (x＞0)，否定 C．1x2 2x 2x对于选项 A，( x2)′＝2 x，(2 x)′＝2 x·ln2，否定 A．对于选项 B，(ln(－ x))′＝(－ )×(－1)＝ (x＜0)，(ln x)′＝ (x＞0)，否定 B，故1x 1x 1x选 D．2．(2015·宁夏大学附属中学上学期期中)函数 f(x)＝ 的图象在点(1，－2)处lnx－ 2xx的切线方程为 ( )导 学 号 25400474A．2 x－ y－4＝0 B．2 x＋ y＝0C． x＋ y＋1＝0 D． x－ y－3＝0[答案] D[解析] ∵ f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图象上．∴ f ′( x)＝ ，∴ f ′(1)＝ ＝1，∴切线方程是 y－(－2)＝1·( x－1)，1－ lnxx2 1－ ln112即 x－ y－3＝0.故选 D．3．(2015·吉林长春十一高中上学期阶段性考试)已知曲线 y＝ －3ln x＋1 的一条切线x24的斜率为 ，则切点的横坐标为 ( )12 导 学 号 25400475A．3 B．2C．1 D．12[答案] A[解析] 设切点为( x0， y0)，则 f ′( x0)＝ － ＝ ，解得 x0＝3 或 x0＝－2.又x02 3x0 12x0＞0，所以 x0＝3.故选 A．24．(2015·福建八县(市)一中上学期联考)函数 f(x)＝e xcosx 的图象在点(0， f(0))处的切线的倾斜角为 ( )导 学 号 25400476A． B．0π 4C． D．13π4[答案] A[解析] f ′( x)＝e xcosx－e xsinx，所以 f ′(0)＝e 0cos0－e 0sin0＝1，所以倾斜角α ＝ .故选 A．π 45．(2015·日照一中检测)已知函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是x－2 y＋1＝0，则 f(1)＋2 f ′(1)的值是 ( )导 学 号 25400477A． B．112C． D．232[答案] D[解析] ∵函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是 x－2 y＋1＝0，∴ f(1)＝1， f ′(1)＝ .∴ f(1)＋2 f ′(1)＝2，故选 D．126．若 P 为曲线 y＝ln x 上一动点， Q 为直线 y＝ x＋1 上一动点，则| PQ|min＝( )导 学 号 25400478A．0 B．22C． D．22[答案] C[解析] 如图所示，直线 l 与 y＝ln x 相切且与 y＝ x＋1 平行时，切点 P 到直线 y＝ x＋1 的距离| PQ|即为所求最小值．(ln x)′＝ ，令1x＝1，得 x＝1.故 P(1,0)．故| PQ|min＝ ＝ .故选 C．1x 22 2二、填空题7．直线 y＝ kx＋ b 与曲线 y＝ ax2＋2＋ln x 相切于点 P(1,4)，则 b 的值为________.导 学 号 25400479[答案] －1[解析] 由点 P(1,4)在曲线上可得 a×12＋2＋ln1＝4，解得 a＝2，故3y＝2 x2＋2＋ln x， y′＝4 x＋ ，从而曲线在点 P 处切线的斜率 k＝ y′| x＝1 ＝4×1＋ ＝5，则1x 11切线方程为 y＝5 x＋ b，由点 P 在切线上得 4＝5×1＋ b，解得 b＝－1.8．设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝ x＋e x，则 f ′(1)＝________.导 学 号 25400480[答案] 2[解析] 方法 1 令 t＝e x，故 x＝ln t，∴ f(t)＝ln t＋ t，即 f(x)＝ln x＋ x，∴ f ′( x)＝ ＋1，∴ f ′(1)＝2.1x方法 2 f ′(e x)＝1＋e x， f ′(1)＝ f ′(e 0)＝1＋e 0＝2.9．(2015·陕西)设曲线 y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线垂1x直，则 P 的坐标为________. 导 学 号 25400481[答案] (1,1)[解析] y′＝e x，则 y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率 k 切 ＝1，又曲线 y＝ (x＞0)上点1xP 处的切线与 y＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以 y＝ (x＞0)在点 P 处的切线的斜率为1x－1，设 P(a， b)，则曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线的斜率为 y′| x＝ a＝－ a－2 ＝－1，可1x得 a＝1，又 P(a， b)在 y＝ 上，所以 b＝1，故 P(1,1)．1x10．(2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：(ⅰ)直线 l 在点 P(x0， y0)处与曲线 C 相切；(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C． 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). 导 学 号 25400482①直线 l： y＝0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝ x3②直线 l： x＝－1 在点 P(－1,0)处“切过”曲线 C： y＝( x＋1) 2③直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝sin x④直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝tan x⑤直线 l： y＝ x－1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： y＝ln x[答案] ①③④[解析] 对于①， y′＝3 x2， y′| x＝0 ＝0，所以 l： y＝0 是曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)处的切线，画图可知曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，①正确；对于②，因为 y′＝2( x＋1)， y′| x＝－1 ＝0，所以 l： x＝－1 不是曲线 C： y＝( x＋1) 2在点 P(－1,0)处的切线，②错误；对于③， y′＝cos x， y′| x＝0 ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，4画图可知曲线 C： y＝sin x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，③正确；对于④， y′＝， y′| x＝0 ＝ ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，画图可知曲线 C： y＝tan x1cos2x 1cos20在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，④正确；对于⑤， y′＝ ， y′| x＝1 ＝1，在点 P(1,0)1x处的切线为 l： y＝ x－1，令 h(x)＝ x－1－ln x(x＞0)，可得 h′( x)＝1－ ＝ ，所以 h(x)1x x－ 1xmin＝ h(1)＝0，故 x－1≥ln x，可知曲线 C： y＝ln x 在点 P(1,0)附近位于直线 l 的下侧，⑤错误．三、解答题11．已知函数 f(x)＝ x3＋ x－16. 导 学 号 25400483(1)求曲线 y＝ f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．[答案] (1) y＝13 x－32 (2) y＝13 x，(－2，－26)[解析] (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝ f(x)上．∵ f ′( x)＝( x3＋ x－16)′＝3 x2＋1.∴ f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝ f ′(2)＝13.∴切线的方程为 y＋6＝13( x－2)，即 y＝13 x－32.(2)设切点坐标为( x0， y0)，则直线 l 的斜率为 f ′( x0)＝3 x ＋1， y0＝ x ＋ x0－16，20 30∴直线 l 的方程为 y＝(3 x ＋1)( x－ x0)＋ x ＋ x0－16.20 30又∵直线 l 过坐标点(0,0)，∴0＝(3 x ＋1)(－ x0)＋ x ＋ x0－16，20 30整理得， x ＝－8，∴ x0＝－2，30∴ y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)， k＝3×(－2) 2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13 x，切点坐标为(－2，－26)．12．(2015·临沂一模)已知函数 f(x)＝ x3－2 x2＋3 x(x∈R)的图象为曲线 C．13导 学 号 25400484(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围．[答案] (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)2 2[解析] (1)由题意得 f ′( x)＝ x2－4 x＋3，5则 f ′( x)＝( x－2) 2－1≥－1，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得－1≤ k＜0 或 k≥1，故由－1≤ x2－4 x＋3＜0 或 x2－4 x＋3≥1，得 x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)．2 2B 组 能力提升1．(2015·福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f ′( x)满足 f ′( x)＞ k＞1，则下列结论中一定错误的是 ( )导 学 号 25400485A． f( )＜ B． f( )＞1k 1k 1k 1k－ 1C． f( )＜ D． f( )＞1k－ 1 1k－ 1 1k－ 1 kk－ 1[答案] C[解析] 取满足题意的函数 f(x)＝2 x－1，若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ ＜ ＝ ，所以32 1k 23 13 23 1k排除 A；若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ f(10)＝19＞11＝ ＝ ，所以排除 D；1110 1k－ 1 11110－ 111101110－ 1 kk－ 1取满足题意的函数 f(x)＝10 x－1，若取 k＝2，则 f( )＝ f( )＝4＞1＝ ＝ ，所以排1k 12 12－ 1 1k－ 1除 B．故结论一定错误的是 C．2．(2015·重庆七校联盟联考)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)＝2 f(2－ x)－ x2＋8 x－8，则曲线 y＝ f(x)在点(1， f(1))处切线的斜率是 ( )导 学 号 25400486A．2 B．1C．3 D．－2[答案] A[解析] 由 f(x)＝2 f(2－ x)－ x2＋8 x－8 两边求导得， f ′( x)＝2 f ′(2－ x)×(－1)－2 x＋8.令 x＝1 得 f ′(1)＝2 f ′(1)×(－1)－2＋8⇒ f ′(1)＝2，故所求切线斜率是 2.3．(2015·江西九江月考)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f ′( x)存在，且导数 f ′( x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导数，记为 f ″( x)＝[ f ′( x)]′，若 f ″( x)＜0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数．以下四个函数在(0， )上是凸π 2函数的是________(把你认为正确的序号都填上). 导 学 号 254004876① f(x)＝sin x＋cos x；② f(x)＝ln x－2 x；③ f(x)＝－ x3＋2 x－1；④ f(x)＝ xex.[答案] ①②③[解析] 由①知， f ′( x)＝cos x－sin x，则 f ″( x)＝－sin x－cos x＝－ sin(x＋ )2π 4＜0 在区间(0， )上恒成立；由②知， f ′( x)＝ －2( x＞0)，则 f ″( x)＝－ ＜0 在区π 2 1x 1x2间(0， )上恒成立；由③知， f ′( x)＝－3 x2＋2，则 f ″( x)＝－6 x＜0 在区间(0， )上π 2 π 2恒成立．故①②③中的函数为凸函数．由④知， f ′( x)＝e x＋ xex， f ″( x)＝2e x＋ xex＝e x(x＋2)＞0 在区间(0， )上恒成立，故④中的函数不是凸函数．π 24．设 L 为曲线 C： y＝ 在点(1,0)处的切线.lnxx 导 学 号 25400488(1)求 L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方．[答案] (1) y＝ x－1 (2)略[解析] (1)设 f(x)＝ ，则 f ′( x)＝ .lnxx 1－ lnxx2所以 f ′(1)＝1，即 L 的斜率为 1.又 L 过点(1,0)，所以 L 的方程为 y＝ x－1.(2)令 g(x)＝ x－1－ f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)＞0(∀ x＞0， x≠1)．g(x)满足 g(1)＝0，且 g′( x)＝1－ f ′( x)＝ .x2－ 1＋ lnxx2当 0＜ x＜1 时， x2－1＜0，ln x＜0，所以 g′( x)＜0，故 g(x)单调递减；当 x＞1 时， x2－1＞0，ln x＞0，所以 g′( x)＞0，故 g(x)单调递增．所以， g(x)＞ g(1)＝0(∀ x＞0 ， x≠1)．所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．5．(2015·河北唐山一中月考)已知函数 f(x)＝ ax3＋3 x2－6 ax－11， g(x)＝3 x2＋6 x＋12 和直线 m： y＝ kx＋9，且 f ′(－1)＝0. 导 学 号 25400489(1)求 a 的值；(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝ f(x)的切线，又是曲线 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1) a＝－2 (2) k＝0[解析] (1)由已知得 f ′( x)＝3 ax2＋6 x－6 a，7∵ f ′(－1)＝0，∴3 a－6－6 a＝0，∴ a＝－2.(2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 y＝ g(x)的切线，则设切点为( x0,3x ＋6 x0＋12)．20∵ g′( x0)＝6 x0＋6，∴切线方程为 y－(3 x ＋6 x0＋12)＝(6 x0＋6)( x－ x0)，20将(0,9)代入切线方程，解得 x0＝±1.当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9；当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12 x＋9.由(1)知 f(x)＝－2 x3＋3 x2＋12 x－11，①由 f ′( x)＝0 得－6 x2＋6 x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.在 x＝－1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝－18；在 x＝2 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝9，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9.②由 f ′( x)＝12 得－6 x2＋6 x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1.在 x＝0 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－11；在 x＝1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－10，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线不是 y＝12 x＋9.综上所述， y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.12017 高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第 10 讲 导数的概念及运算(文)习题A 组 基础巩固一、选择题1．函数 y＝ln 的导函数为 ( )1x 导 学 号 25400599A． B． x1xC．－ D．－ x1x[答案] C[解析] ∵ln ＝ln x－1 ＝－ln x1x∴(ln )′＝(－ln x)′＝－ ，故选 C．1x 1x2．(2015·宁夏大学附属中学上学期期中)函数 f(x)＝ 的图象在点(1，－2)处lnx－ 2xx的切线方程为 ( )导 学 号 25400600A．2 x－ y－4＝0 B．2 x＋ y＝0C． x＋ y＋1＝0 D． x－ y－3＝0[答案] D[解析] ∵ f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图象上．∴ f ′( x)＝ ，∴ f ′(1)＝ ＝1，∴切线方程是 y－(－2)＝1·( x－1)，1－ lnxx2 1－ ln112即 x－ y－3＝0.故选 D．3．(2015·吉林长春十一高中上学期阶段性考试)已知曲线 y＝ －3ln x＋1 的一条切线x24的斜率为 ，则切点的横坐标为 ( )12 导 学 号 25400601A．3 B．2C．1 D．12[答案] A[解析] 设切点为( x0， y0)，则 f ′( x0)＝ － ＝ ，解得 x0＝3 或 x0＝－2.又x02 3x0 12x0＞0，所以 x0＝3.故选 A．24．(2015·福建八县(市)一中上学期联考)函数 f(x)＝e xcosx 的图象在点(0， f(0))处的切线的倾斜角为 ( )导 学 号 25400602A． B．0π 4C． D．13π4[答案] A[解析] f ′( x)＝e xcosx－e xsinx，所以 f ′(0)＝e 0cos0－e 0sin0＝1，所以倾斜角α ＝ .故选 A．π 45．(2015·日照一中检测)已知函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是x－2 y＋1＝0，则 f(1)＋2 f ′(1)的值是 ( )导 学 号 25400603A． B．112C． D．232[答案] D[解析] ∵函数 y＝ f(x)的图象在点(1， f(1))处的切线方程是 x－2 y＋1＝0，∴ f(1)＝1， f ′(1)＝ .∴ f(1)＋2 f ′(1)＝2，故选 D．126．若 P 为曲线 y＝ln x 上一动点， Q 为直线 y＝ x＋1 上一动点，则| PQ|min＝( )导 学 号 25400604A．0 B．22C． D．22[答案] C[解析] 如图所示，直线 l 与 y＝ln x 相切且与 y＝ x＋1 平行时，切点 P 到直线 y＝ x＋1 的距离| PQ|即为所求最小值．(ln x)′＝ ，令1x＝1，得 x＝1.故 P(1,0)．故| PQ|min＝ ＝ .故选 C．1x 22 2二、填空题7．直线 y＝ kx＋ b 与曲线 y＝ ax2＋2＋ln x 相切于点 P(1,4)，则 b 的值为________.导 学 号 25400605[答案] －1[解析] 由点 P(1,4)在曲线上可得 a×12＋2＋ln1＝4，解得 a＝2，故3y＝2 x2＋2＋ln x， y′＝4 x＋ ，从而曲线在点 P 处切线的斜率 k＝ y′| x＝1 ＝4×1＋ ＝5，则1x 11切线方程为 y＝5 x＋ b，由点 P 在切线上得 4＝5×1＋ b，解得 b＝－1.8．设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝ x＋e x，则 f ′(1)＝________.导 学 号 25400606[答案] 2[解析] 方法 1 令 t＝e x，故 x＝ln t，∴ f(t)＝ln t＋ t，即 f(x)＝ln x＋ x，∴ f ′( x)＝ ＋1，∴ f ′(1)＝2.1x方法 2 f ′(e x)＝1＋e x， f ′(1)＝ f ′(e 0)＝1＋e 0＝2.9．(2015·陕西)设曲线 y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线垂1x直，则 P 的坐标为________. 导 学 号 25400607[答案] (1,1)[解析] y′＝e x，则 y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率 k 切 ＝1，又曲线 y＝ (x＞0)上点1xP 处的切线与 y＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以 y＝ (x＞0)在点 P 处的切线的斜率为1x－1，设 P(a， b)，则曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线的斜率为 y′| x＝ a＝－ a－2 ＝－1，可1x得 a＝1，又 P(a， b)在 y＝ 上，所以 b＝1，故 P(1,1)．1x10．(2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件： 导 学 号 25400608(ⅰ)直线 l 在点 P(x0， y0)处与曲线 C 相切；(ⅱ)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C． 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线 l： y＝0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝ x3②直线 l： x＝－1 在点 P(－1,0)处“切过”曲线 C： y＝( x＋1) 2③直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝sin x④直线 l： y＝ x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C： y＝tan x⑤直线 l： y＝ x－1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C： y＝ln x[答案] ①③④[解析] 对于①， y′＝3 x2， y′| x＝0 ＝0，所以 l： y＝0 是曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)处的切线，画图可知曲线 C： y＝ x3在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，①正确；对于②，因为 y′＝2( x＋1)， y′| x＝－1 ＝0，所以 l： x＝－1 不是曲线 C： y＝( x＋1) 2在点 P(－1,0)处的切线，②错误；对于③， y′＝cos x， y′| x＝0 ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，4画图可知曲线 C： y＝sin x 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，③正确；对于④， y′＝， y′| x＝0 ＝ ＝1，在点 P(0,0)处的切线为 l： y＝ x，画图可知曲线 C： y＝tan x1cos2x 1cos20在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧，④正确；对于⑤， y′＝ ， y′| x＝1 ＝1，在点 P(1,0)1x处的切线为 l： y＝ x－1，令 h(x)＝ x－1－ln x(x＞0)，可得 h′( x)＝1－ ＝ ，所以 h(x)1x x－ 1xmin＝ h(1)＝0，故 x－1≥ln x，可知曲线 C： y＝ln x 在点 P(1,0)附近位于直线 l 的下侧，⑤错误．三、解答题11．已知函数 f(x)＝ x3＋ x－16. 导 学 号 25400609(1)求曲线 y＝ f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 y＝ f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标．[答案] (1) y＝13 x－32 (2) y＝13 x，(－2，－26)[解析] (1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝ f(x)上．∵ f ′( x)＝( x3＋ x－16)′＝3 x2＋1.∴ f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝ f ′(2)＝13.∴切线的方程为 y＋6＝13( x－2)，即 y＝13 x－32.(2)设切点坐标为( x0， y0)，则直线 l 的斜率为 f ′( x0)＝3 x ＋1， y0＝ x ＋ x0－16，20 30∴直线 l 的方程为 y＝(3 x ＋1)( x－ x0)＋ x ＋ x0－16.20 30又∵直线 l 过坐标点(0,0)，∴0＝(3 x ＋1)(－ x0)＋ x ＋ x0－16，整理得， x ＝－8，20 30 30∴ x0＝－2，∴ y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)， k＝3×(－2) 2＋1＝13.∴直线 l 的方程为 y＝13 x，切点坐标为(－2，－26)．12．(2015·临沂一模)已知函数 f(x)＝ x3－2 x2＋3 x(x∈R)的图象为曲线 C．13导 学 号 25400610(1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围．[答案] (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)2 2[解析] (1)由题意得 f ′( x)＝ x2－4 x＋3，5则 f ′( x)＝( x－2) 2－1≥－1，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得－1≤ k＜0 或 k≥1，故由－1≤ x2－4 x＋3＜0 或 x2－4 x＋3≥1，得 x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)．2 2B 组 能力提升1．(2015·福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f ′( x)满足 f ′( x)＞ k＞1，则下列结论中一定错误的是 ( )导 学 号 25400611A． f( )＜ B． f( )＞1k 1k 1k 1k－ 1C． f( )＜ D． f( )＞1k－ 1 1k－ 1 1k－ 1 kk－ 1[答案] C[解析] 取满足题意的函数 f(x)＝2 x－1，若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ ＜ ＝ ，所以32 1k 23 13 23 1k排除 A；若取 k＝ ，则 f( )＝ f( )＝ f(10)＝19＞11＝ ＝ ，所以排除 D；1110 1k－ 1 11110－ 111101110－ 1 kk－ 1取满足题意的函数 f(x)＝10 x－1，若取 k＝2，则 f( )＝ f( )＝4＞1＝ ＝ ，所以排1k 12 12－ 1 1k－ 1除 B．故结论一定错误的是 C．2．已知函数 f(x)＝ ， g(x)＝ alnx， a∈R.若曲线 y＝ f(x)与曲线 y＝ g(x)相交，且在x交点处有共同的切线，则切线方程为________. 导 学 号 25400612[答案] y＝ x＋12e e2[解析] f ′( x)＝ ， g′( x)＝ (x＞0)，12x ax由已知得Error!解得 a＝ ， x＝e 2.e2∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为 k＝ f ′(e 2)＝ ，12e∴切线的方程为 y－e＝ (x－e 2)，12e6即 y＝ x＋ .12e e23．(2015·江西九江月考)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f ′( x)存在，且导数 f ′( x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导数，记为 f ″( x)＝[ f ′( x)]′，若 f ″( x)＜0 在 D 上恒成立，则称 f(x)在 D 上为凸函数．以下四个函数在(0， )上是凸π 2函数的是________(把你认为正确的序号都填上). 导 学 号 25400613① f(x)＝sin x＋cos x；② f(x)＝ln x－2 x；③ f(x)＝－ x3＋2 x－1；④ f(x)＝ xex.[答案] ①②③[解析] 由①知， f ′( x)＝cos x－sin x，则 f ″( x)＝－sin x－cos x＝－ sin(x＋ )2π 4＜0 在区间(0， )上恒成立；由②知， f ′( x)＝ －2( x＞0)，则 f ″( x)＝－ ＜0 在区π 2 1x 1x2间(0， )上恒成立；由③知， f ′( x)＝－3 x2＋2，则 f ″( x)＝－6 x＜0 在区间(0， )上π 2 π 2恒成立．故①②③中的函数为凸函数．由④知， f ′( x)＝e x＋ xex， f ″( x)＝2e x＋ xex＝e x(x＋2)＞0 在区间(0， )上恒成立，故④中的函数不是凸函数．π 24．设 L 为曲线 C： y＝ 在点(1,0)处的切线.lnxx 导 学 号 25400614(1)求 L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方．[答案] (1) y＝ x－1 (2)略[解析] (1)设 f(x)＝ ，则 f ′( x)＝ .lnxx 1－ lnxx2所以 f ′(1)＝1，即 L 的斜率为 1.又 L 过点(1,0)，所以 L 的方程为 y＝ x－1.(2)令 g(x)＝ x－1－ f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)＞0(∀ x＞0， x≠1)．g(x)满足 g(1)＝0，且 g′( x)＝1－ f ′( x)＝ .x2－ 1＋ lnxx2当 0＜ x＜1 时， x2－1＜0，ln x＜0，所以 g′( x)＜0，故 g(x)单调递减；当 x＞1 时， x2－1＞0，ln x＞0，所以 g′( x)＞0，故 g(x)单调递增．所以， g(x)＞ g(1)＝0(∀ x＞0 ， x≠1)．所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方．5．(2015·河北唐山一中月考)已知函数 f(x)＝ ax3＋3 x2－6 ax－11， g(x)7＝3 x2＋6 x＋12 和直线 m： y＝ kx＋9，且 f ′(－1)＝0. 导 学 号 25400615(1)求 a 的值；(2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝ f(x)的切线，又是曲线 y＝ g(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1) a＝－2 (2) k＝0[解析] (1)由已知得 f ′( x)＝3 ax2＋6 x－6 a，∵ f ′(－1)＝0，∴3 a－6－6 a＝0，∴ a＝－2.(2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 y＝ g(x)的切线，则设切点为( x0,3x ＋6 x0＋12)．20∵ g′( x0)＝6 x0＋6，∴切线方程为 y－(3 x ＋6 x0＋12)＝(6 x0＋6)( x－ x0)，20将(0,9)代入切线方程，解得 x0＝±1.当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9；当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12 x＋9.由(1)知 f(x)＝－2 x3＋3 x2＋12 x－11，①由 f ′( x)＝0 得－6 x2＋6 x＋12＝0，解得 x＝－1 或 x＝2.在 x＝－1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝－18；在 x＝2 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝9，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9.②由 f ′( x)＝12 得－6 x2＋6 x＋12＝12，解得 x＝0 或 x＝1.在 x＝0 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－11；在 x＝1 处， y＝ f(x)的切线方程为 y＝12 x－10，∴ y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线不是 y＝12 x＋9.综上所述， y＝ f(x)与 y＝ g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0.