1、第 8 讲 一元二次方程考纲要求 命题趋势1理解一元二次方程的概念2掌握一元二次方程的解法3了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用4会列一元二次方程解决实际问题.结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.知识梳理一、一元二次方程的概念1只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_，这样的整式方程叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式是_二、一元二次方程的解法1解一元二次方程的基本思想是_，主要方法有
2、：直接开平方法、_、公式法、_.2配方法：通过配方把一元二次方程 ax2bxc 0( a0，b 24ac0)变形为2_的形式，再利用直接开平方法求解(x b2a)3公式法：一元二次方程 ax2bxc 0( a0)当 b24ac0 时，x_.4用因式分解法解方程的原理是：若 ab0，则 a0 或_三、一元二次方程根的判别式1一元二次方程根的判别式是_2(1 )b24ac0一元二次方程 ax2bxc0(a0) 有两个_实数根；(2)b24ac0一元二次方程 ax2bxc 0( a0)有两个_实数根；(3)b24ac0一元二次方程 ax2bxc 0( a0)_实数根四、一元二次方程根与系数的关系1在
3、使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式2若一元二次方程 ax2bx c 0( a0)的两个实数根是 x1，x 2，则x1x 2_，x 1x2_.五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 找_；(4)列方程；(5)_；(6)检验；(7) 写出答案自主测试1一元二次方程 x22x 10 的根的情况为( )A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根2如果 2 是一元二次方程 x2c 的一个根，那么常数 c 是 ( )A2 B2 C 4 D43某商品原价 200 元，连续两次降价 a%后售价为
4、 148 元，下列所列方程正确的是( )A200(1a%) 2148 B200(1a%) 2148C200(12a%)148 D200(1a 2%)1484已知一元二次方程 2x23x10 的两根为 x1，x 2，则 x1x 2_.5解方程：x 233( x1)考点一、一元二次方程的有关概念【例 1】下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )Ax 2 0 Bax 2bxc01x2C(x1)(x2)1 D3x 22xy5y 20解析：由一元二次方程的定义可知选项 A 不是整式方程；选项 B 中，二次项系数可能为 0；选项 D 中含有两个未知数故选 C.答案：C方法总结 方程是一元二次方程要同
5、时满足下列条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为 2；二次项系数不等于 0.容易忽略的是条件和.触类旁通 1 已知 3 是关于 x 的方程 x25xc0 的一个根，则这个方程的另一个根是( )A2 B2 C 5 D6考点二、一元二次方程的解法【例 2】解方程 x24x 10.分析：本题可用配方法或公式法求解配方法通常适用于二次项系数化为 1 后，一次项系数是偶数的一元二次方程对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解解：解法一：移项，得 x24x1.配方，得 x24x414，即( x2) 23，由此可得 x2 ，x 12 ，x 22 .3 3 3解法
6、二：a1，b4，c1.b 24ac(4) 2411120，x 2 .4 122 3方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化 选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数) 之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速触类旁通 2 解方程：x 23x 10.考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例 3】关于 x 的一元二次方程 x2(m2) xm 10 有两个相等的实数根，则 m 的值是( )A0 B8 C4 D0 或 82解析：b 24ac(m2) 24(m1) 0，解得 m10，m 28.故选 D.答案：D方法总结 由于一元二次
7、方程有两个相等的实数根，可得根的判别式 b24ac0，从而得到一个关于 m 的方程，解方程求得 m 的值即可一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围； (3)应用判别式证明方程根的 情况触类旁通 3 已知关于 x 的一元二次方程 mx2nxk0(m0) 有两个实数根，则下列关于判别式 n24mk 的判断正确的是( )An 24mk 0 Bn 24mk 0Cn 24mk0 Dn 24mk 0考点四、一元二次方程根与系数的关系【例 4】已知关于 x 的方程 x22(k1)xk 20 有两个实数根 x1，x 2
8、.(1)求 k 的取值范围；(2)若|x 1x 2|x 1x21，求 k 的值解：(1)依题意，得 b24ac0，即2( k1) 24k 20，解得 k .12(2)解法一：依题意，得 x1x 22(k1)，x 1x2k 2.以下分两种情况讨论：当 x1x 20 时，则有 x1 x2x 1x21，即 2(k 1)k 21，解得 k1k 21.k ，12k 1k 21 不合题意，舍去当 x1x 20 时，则有 x1 x2(x 1x21)，即 2(k 1)(k 21)解得 k11，k 23.k ，k3.综合可知 k3.12解法二：依题意，可知 x1x 22(k1)由(1)可知 k ，2(k1)0，
9、即 x1x 20.122(k 1)k 21，解得 k11，k 23.k ，k3.12方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含 x1x 2，x 1x2 的形式，然后把 x1x 2，x 1x2 的值整体代入研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：a0，b 24ac0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件触类旁通 4 若 x1，x 2 是一元二次方程 x24x30 的两个根，则 x1x2 的值是( )A4 B3 C 4 D3考点五、用一元二次方程解实际问题【例 5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加据统计，2008
10、 年我市某种品牌汽车的年产量为 6.4 万辆，到 2010 年，该品牌汽车的年产量达到 10 万辆若该品牌汽车年产量的年平均增长率从 2008 年开始五年内保持不变，则该品牌汽车 2011 年的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为 x，由题意，得 6.4(1x )210，解得x10.25，x 22.25.x 2 2.250，故舍去，x0.25 25%.10 (125%)12.5.答：2011 年的年产量为 12.5 万辆方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程最后还要注意求出的未知数的值是
11、否符合实际意义，不符合的要舍去触类旁通 5 商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降 价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加_件，每件商品盈利_ 元( 用含 x 的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100 元？1(2012 河北)用配方法解方程 x24x 10，配方后的方程是( )A(x 2)23 B(x2) 23C(x2) 25 D(x2) 252(2012 江西南昌)已知关于 x 的
12、一元二次方程 x22xa0 有两个相等的实数根，则 a 的值是( )A1 B1 C D14 143(2012 湖南株洲)已知关于 x 的一元二次方程 x2bxc0 的两根分别为x11，x 22，则 b 与 c 的值分别为 ( )Ab1，c2 Bb1，c2Cb1，c 2 Db1，c24(2012 四川成都)一件商品的原价是 100 元，经过两次提价后的价格为 121 元，如果每次提价的百分率都是 x，根据题意，下面列出的方程正确的是( )A100(1x) 121 B 100(1x)121C100(1x) 2121 D 100(1x) 21215(2012 贵州铜仁)一元二次方程 x22x 30
13、的解为_6(2012 浙江绍兴)把一张边长为 40 cm 的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计 )(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子要使折成的长方体盒子的底面积为 484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形( 即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上) ，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒
14、子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况) 1关于 x 的方程( m22)x 2(m 2)x0 是一元二次方程的条件是( )Am2 Bm2Cm Dm2 22用配方法解方程 x22x 50 时，原方程应变形为( )A(x 1)26 B(x2) 29C(x1) 26 D(x2) 293已知关于 x 的一元二次方程(a1) x22x10 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是( )Aa2 Ba2Ca2 且 a1 Da24关于 x 的方程 x2px q 0 的两根同为负数，则( )Ap0 且 q0 Bp0 且 q0Cp0 且 q0 Dp0 且 q05若 x2 是关于 x 的方程 x2xa 250
15、 的一个根，则 a 的值为_ _6孔明同学在解一元二次方程 x23xc 0 时，正确解得 x11，x 22，则 c 的值为_7已知一元二次方程 x26x50 的两根为 a，b，则 的值是_1a 1b8解方程：x(x2)x20.9菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的单价对外批发销售(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金 200 元试问小
16、华选择哪种方案更优惠，请说明理由参考答案导学必备知识自主测试1B 因为根的判别式 b2 4ac4480，所以方程有两个不相等的实数根2C 把 x2 代入方程，得 c4.3B 降价 a%一次售价为 200(1a%) 元，降价 a%两次售价为 200(1a%)(1a%)元，即 200(1a%) 2 元4 因为 a2，b 3，所以 x1x 2 .32 ba 325解：原方程可化为 x23x0，解得 x10，x 23.探究考点方法触类旁通 1B 把 3 代入原方程得 c6，解原方程得另一个根是 2.触类旁通 2解：a1，b3，c1，b 24ac 941150.x . 3 52x 1 ，x 2 . 3
17、52 3 52触类旁通 3D 因为方程有两个实数根，即有两个相等的或两个不相等的实数根，所以判别式 n24mk 0.触类旁通 4B 因为 a1， c3，所以 x1x2 3.ca触类旁通 5解：(1)2x 50x(2)由题意，得(50x )(302x) 2 100，化简，得 x235x 3000，解得 x115，x 220.该商场为了尽快减少库存，则 x15 不合题意，舍去x20.答：每件商品降价 20 元，商场日盈利可达 2 100 元品鉴经 典考题1A 原方程变为 x24x4410，所以(x 2)23.2B 因为方程有两个相等的实数根，则 22 4(a) 0 ，所以 a1.3D bx 1x
18、2121，cx 1x22.4C 因为每次提价的百分率都是 x，则两次提价后价格是原价的(1x) 2，所以列方程为 100(1x) 2121.53 或1 解方程：x 22x14，(x1) 24，x 12，x 13，x 21.6解：(1)设剪掉的正方形的边长为 x cm，则(402x) 2484，即 402x22 ，解得 x131(不合题意，舍去)，x 29.剪掉的正方形的边长为 9 cm.侧面积有最大值设剪掉的正方形的边长为 x cm，盒子的侧面积为 y cm2，则 y 与 x 的函数关系式为 y 4(402x )x，即 y8x 2160x 8( x10) 2800，当 x10 时，y 最大 8
19、00.即当剪掉的正方形的边长为 10 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为 800 cm2.(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为 x cm，从而有 2(402x)(20 x)2x(20 x )2x(402x)550，解得 x135(不合题意，舍去)，x 215.剪掉的正方形的边长为 15 cm.此时长方体盒子的长为 15 cm，宽为 10 cm，高为 5 cm.研习预测试题1D 由题意知，m 220，得 m .22C 因为 x22x5x 2 2x160，所以(x 1)26.3C 因为原方程有两个不相等的实数根，所以判别式 (2) 24( a1)0，且a10，解得 a2 且 a1.4
20、A 因为方程两根为负，所以两根之和为负，即 p0，所以 p0；两根之积为正，即 q0.5 因为把 x2 代入原方程得 a27，7所以 a .762 因为 a1， x 1x22，所以 c2.ca7 因为 ab6，ab5，65所以 .1a 1b a bab 6 5 658解：提取公因式，得(x2)(x1) 0，解得 x12，x 21.9解：(1)设平均每次下调的百分 率为 x.由题意，得 5(1x) 23.2.解方程，得 x10.2，x 21.8.因为降价的百分率不可能大于 1，所以 x21.8 不符合题意，符合题目要求的是 x10.220%.答：平均每次下调的百分率是 20%.(2)小华选择方案一购买更优惠理由：方案一所需费用为 3.20.95 00014 400(元) ，方案二所需费用为 3.25 000200515 000(元) 14 40015 000，小华选择方案一购买更优惠
