1、第六节 探索三角形相似的条件备课资料一、相似三角形与全等三角形的区别和联系.相似三角形的本质特征是“形状相同” ，大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别.形状相同的关键是图形按一定比例放大或缩小而成的，当放大或缩小的比为 1 时，即相似比为 1 时，这两个图形就是全等形，因此全等形是相似形的特例.从这个意义上讲，研究相似三角形比研究全等三角形更具一般性.二、相似比的有序性若ABC 与AB C 的相似比为 k1，A BC与ABC 的相似比为 k2，则k1= = = ，k 2= = ,因此 k1，k 2 一般不相等，而是 k1= ，B 2当且仅当它们全等时，才有 k1=k2=1.三、如何找相似
2、三角形的对应边、对应角使用符号“”表示两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应的字母严格按对应顺序写在对应位置上，这样即使离开已知条件和图形，也能较容易地找出相似三角形的对应边和对应角.四、相似三角形的传递性若A 1B1C1A 2B2C2，A 2B2C2A 3B3C3,则A 1B1C1A 3B3C3.五、三角形相似的判定学习相似三角形的判定要类比三角形全等的判定，这样便于理解它们之间的联系与区别，易于记忆，方便应用.判定两个三角形相似的基本思路有：（1）用定义；（2）若有一对等角，则可找另一对等角，或找两夹边对应成比例；（3）有两边对应成比例，则找夹角等，或找第三边对应成比例；
3、（4）已知等腰三角形，则可找顶角等，或找底角等，或底和腰对应成比例；（5）相似三角形的判定方法常连续使用，其中连结纽带是“中间比”或“等角”.第七课时课 题4.6.1 探索三角形相似的条件（一）教学目标（一）教学知识点1.掌握三角形相似的判定方法 1.2.会用相似三角形的判定方法 1 来证明及计算.（二）能力训练要求1.通过亲身体会得出相似三角形的判定方法，培养学生的动手能力；2.利用相似三角形的判定方法 1 进行有关计算及证明，训练学生的灵活运用能力.（三）情感与价值观要求1.经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.通过用三角形全
4、等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，进一步领悟类比的思想方法.教学重点相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明和计算.教学难点判定方法的运用教学方法探索总结运用法教具准备投影片三张第一张（记作4.6.1 A）第二张（记作4.6.1 B）第三张（记作4.6.1 C）教学过程.创设问题情境，引入新课师上节课我们学习了相似三角形的定义，即三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形是相似三角形，同时这也是相似三角形的一种判定方法，即定义法.那么，除此之外，还有没有其他方法呢？本节课开始我们将进行这方面的探索.新课师在三角形中有六个元素，即三个角和三条边，要进行相似的判断，就是要看在这
5、两个三角形中角或边需满足什么条件，两个三角形就相似，而在判断两个三角形全等时，也是讨论边、角关系的.下面我们先回忆一下全等三角形的判定方法，然后进行类比，好吗？生好全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加 HL.师那么，相似三角形应该如何判断呢？1.做一做.投影片（4.6.1 A）（1）画一个ABC，使得BAC =60，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？（2）与同伴合作，一人画ABC，另一人画ABC,使得A 和A都等于给定的 ，B 和B都等于给定的 ，比较你们画的两个三角形，C 与C 相等吗？对应边的比 相等吗？这样的两个三角形相似吗？B,改变 、 的大
6、小，再试一试.师请大家按照要求动手画图，然后进行交流.生在（1）中，只有一对角相等，其他角和边没有确定，因此所画的三角形不相似.根据（2）中的要求画出的三角形中，C 与C 相等，对应边有 ，CBA,根据相似三角形的定义，这两个三角形相似.改变 、 的大小，这个结论还不变.师大家的结论都是如此吗？生是.师从这两个小题中，大家能得出什么？生 （1）题告诉我们，只满足一对角相等不能判定两个三角形相似.从（2）中我们可知，如果两个三角形中有两对角对应相等，那么这两个三角形相似.师其他同学同意吗？生同意.师经过大家的探索，我们得出了判定方法 1：两角对应相等的两个三角形相似.师下面我们进行运用.2.例题
7、.投影片（4.6.1 B）如图，D、E 分别是ABC 边 AB、AC 上的点，DE B C.图 427（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；（3）写出三组成比例的线段.生解：（1）（3）ADEABC .ACEBD3.想一想在上面例题的条件下， 吗？解： 成立.AECDB由 DEBC，得 B根据比例基本性质得， AEB即 CD两边同时减去 1，得1AEB即.课堂练习1.随堂练习（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？（2）顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？解：（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.因为是两个直角三角形，所以有一对直角相
8、等，再加上一对锐角相等，根据判定方法 1，得，这两个三角形相似.（2）顶角相等的两个等腰三角形相似.因为两个等腰三角形的顶角相等，所以它们的四个底角都相等.因此有三对角对应相等，所以这两个三角形相似.2.补充练习投影片（4.6.1 C）（1）已知ABC 与AB C中，B=B=75， C=50，A=55，这两个三角形相似吗？为什么？（2）已知一个三角形的两个角分别是 70和 65，你能画一个和这个三角形相似的三角形吗？生解：（1）在ABC 中，B=75，C=50A=55B=B,A=AABCAB C （2）先任作一条线段 BC.分别以 BC 为角的顶点，作 MBC=70，NCB =65.图 428
9、BM 与 CN 相交于点 A.则ABC 为与原三角形相似的三角形.课时小结本节课主要探索了相似三角形的判定方法，即两角对应相等的两个三角形相似，并且利用这个判定方法进行有关证明和计算.课后作业习题 4.71.解：在ABC 中，A=70，B=60C=50 A=D，C= E.ABCDFE.2.解：DCABCDB=DBA，DCA=CAB .CDOABO .3.解：ABAO，DBABA=B=90ACO=BCDACOBCD DOC即 50612AAO=100（m）所以峡谷的宽 AO 为 100 m.活动与探究如图.图 429ADBC 于 D，BE AC 于 E，AD、BE 相交于 F，则图中相似三角形共
10、有几对？它们分别是哪些？为什么？解：图中相似三角形共有六对，它们分别是ADCBEC,ADCAEF, BECBDF ,BDFAEF,BDFADC,AEFBEC.ADBC,BE ACADB=ADC=AEB = CEB=90（1）在ADC 与BEC 中ADC=BEC=90C=CADC BEC（2）在ADC 与AEF 中ADC=AEF=90 DAC=EAFADCAEF（3）在BEC 与BDF 中BEC= BDF =90EBC=DBFBECBDF.（4）在BDF 和AEF 中BDF=AEF=90 ，BFD=AFEBDFAEF.（5）由BECADC 得DBF=DACBDF=ADC=90BDFADC（6）由
11、BECADC，得EBC=EAFAEF =BECAEF BEC板书设计4.6.1 探索三角形相似的条件一、1.做一做（通过自己画图推导相似三角形的判定方法 1）2.例题3.想一想二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业备课资料参考练习1.已知：ABCA 1B1C1，A 1B1C1A 2B2C2,求证：ABCA 2B2C2.2.已知：ABC 和AB C中，A=40，B=70 ，A =40 ，C =70 .求证：ABCACB.3.已知：ABC 和AB C中，B=25，C=50,B=105,C=25.这两个三角形相似吗？参考答案1.证明：ABCA 1B1C1.A=A 1，B=B 1
12、，C=C 111设 =k1BA则 AB=k1A1B1，BC= k1B1C1,AC=k1A1C1.同理可知A 1=A 2，B 1=B 2,C 1=C 2.A1B1=k2A2B2,B1C1=k2B2C2,A1C1=k2A2C2A=A 2,B=B 2,C= C 2.=k1k2, =k1k2 =k1k2212 22CABAABCA 2B2C22.证明：在ABC 和AB C中，A=A=40，B= C=70ABCACB.3.解：在ABC 中B=25,C =50A=105A=B=105,B= C=25ABCCBA.第八课时课 题4.6.2 探索三角形相似的条件（二）教学目标（一）教学知识点1.掌握三角形相似
13、的判定方法 2、3.2.会用相似三角形的判定方法 2、3 来判断、证明及计算.（二）能力训练要求1.通过自己动手并总结推出相似三角形的判定方法 2、3，培养学生的动手操作能力，总结概括能力.2.利用相似三角形的判定方法 2、3 进行判断，训练学生的灵活运用能力.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形的判定方法 2、3,体现数学活动充满着探索性和创造性.2.通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力，领会分类思想.教学重点相似三角形判定方法 2、3 的推导过程，掌握判定方法 2、3 并能灵活运用.教学难点判定方法的推导及运用教学方法探索总结运用法教具准备投影片三张第
14、一张（记作4.6.2 A）第二张（记作4.6.2 B）第三张（记作4.6.2 C）教学过程.创设问题情境，引入新课投影片（4.6.2 A）如图，AFCD,1=2,B=D,你能找出图中几对相似三角形？并逐一说明相似的理由.图 430师请大家观察图形，运用我们学过的判定方法，讨论得出结果.生有四对相似三角形，它们是AEFDEC，AFBACD，AEBCED，AEF EBA.他们相似的理由都是用相似三角形的判定方法 1.师现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是判定方法 1，除此之外，是否还有其他的办法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题.讲授新课师相似三
15、角形的判定方法 1 是只从角的方面考虑的，下面我们只从边的方面去考虑.我们在学习全等三角形的判定方法中，也有只用边来进行判断的，即 SSS 公理.大家能不能用类比的方法，猜想只用边来判定三角形相似的方法呢？生三边对应成比例的两个三角形相似.师下面我们就来验证一下.1.相似三角形的判定方法 2：三边对应成比例的两个三角形相似.投影片（4.6.2 B）画ABC 与AB C ，使 、 和 都等于给定的值 k.BACA（1）设法比较A 与A的大小、B 与B的大小、C 与C的大小.（2）ABC 与AB C 相似吗？说说你的理由.改变 k 值的大小，再试一试.师大家可以按照上面的步骤进行，这里的 k 由自
16、己定，为了节约时间，请大家一个组取一个相同的 k 值，不同的组取不同的 k 值，好吗？生好.师经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生结论为A=A,B=B,C=C ABCA BC ,理由是：A= A，B=B，C=C = = 根据相似三角形的定义可知：ABCABC.师其他组的同学的结论相同吗？生相同.师经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法，即三边对应成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的判定方法 3.师前面两种判定方法我们都是只从角或只从边的方面去考虑的，下面我们要从两方面来考虑.还是要类比全等三角形的判定方法，在全等的判定方法中有ASA，SAS ，AAS，其中 AS
17、A、 AAS 我们就不用考虑了，因为我们已经有判定方法 1、3，下面来验证 SAS，大家还是先猜想，然后再验证.生两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.师好，下面我们还是由大家自己推导吧.请看投影片（4.6.2 C）画ABC 与AB C ，使A=A， 和 都等于给定的值 k.设法比较 BACB 与 B的大小（或C 与C的大小） 、ABC 与 ABC相似吗？（2）改变 k 值的大小，再试一试.师请大家按照上面的步骤进行，同时还要采取不同的组取不同的 k 值法.生按照要求作出的ABC 与ABC中，有B=B，C =C，因此根据判定方法 1 可知，ABC ABC.师大家同意吗？生同意.师好，我们又
18、探索出一个相似三角形的判定方法，即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.3.想一想师下面验证 SSA，即两边对应成比例，其中一边的对角对应相等，这两个三角形相似吗？在全等三角形的判定中 SSA 就不成立.大家还可以仿照上面的验证过程来进行推导，下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形，由此你能得到什么结论？图 431生从上面的图中可以得出结论：有两边对应成比例，其中一边的对角相等的三角形不相似.4.做一做师在这两节课中我们已经学完了一般相似三角形的判定方法，下面请大家总结一下有几种方法.生一共有四种方法.第一种：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法.第二种：即判定方法
19、1两角对应相等的两个三角形相似.第三种：即判定方法 2三边对应成比例的两个三角形相似.第四种：即判定方法 3两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.师从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，需要研究三对角、三对边，而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角，因此定义法一般不利用.如果已知条件只涉及角，就用第二种判定方法；如果已知条件只涉及边，就用第三种判定方法；如果既有角又有边，则可考虑用第四种方法判断.5.议一议如图 432，ABC 与ABC相似吗？你有哪些判断方法？图 432生解：ABCAB C.判断方法有.1.三边对应成比例的两个三角形相似.2.两角对应相等的两个三角形相似.
20、3.两边对应成比例且夹角相等.4.定义法.课堂练习下面每组的两个三角形是否相似？为什么？图 433生解：（1）ABCDEF =2EFBCDAABCDEF（2）在ABC 中AB=2，AC=6 2163,1ACB EFA=AABCAEF补充练习依据下列各组条件，判定ABC 与ABC是不是相似，并说明为什么.（1）A=120,AB=7 cm,AC=14 cm,A=120,AB=3 cm,AC =6 cm,（2）AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,AB=12 cm,B C =18 cm,AC=24 cm.解：（1） =,3737614 又A= AABCAB C （两边对应成比例且夹角相等,
21、两三角形相似）（2） = = ， = = , = = 1243B1863CA24831 = =BACABCAB C （三边对应成比例，两三角形相似）.课时小结本节课主要探讨了相似三角形的另两种判定方法，即三边对应成比例与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.培养了大家的探索精神，同时让学生懂得了数学活动充满着探索与创新，学习的目的是能运用学过的知识去解决问题，在这里就是能利用判定方法进行有关证明.课后作业习题 4.8.活动与探究要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为 4、5、6，另一个三角形框架的一边长为 2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？解：选
22、法不唯一.因为另一个三角形的一边长 2 究竟对应哪一条边，在已知条件中并没有规定，因此2 有可能对应每一条边，即 2 对应 4，2 对应 5，2 对应 6，所以有三种情况.设另一个三角形中两边长为 x、y.当 2 对应 4 时，有 24=x5=y6解，得x= ，y=35当 2 对应 5 时，有 25=x4=y6解，得x= ,y=81当 2 对应 6 时,有 26=x4=y5解,得x= ,y= .345所以框的另两边长可选 、3 或 、 ,或 、 .25851234板书设计4.6.2 探索三角形相似的条件（二）一、1.探索相似三角形的判定方法 22.探索相似三角形的判定方法 33.想一想4.做一
23、做5.议一议二、课堂练习1.随堂练习2.补充练习三、课时小结四、课后作业4.6 探索三角形相似的条件（一）班级：_ 姓名：_一、 请说一说什么是相似三角形答：_.通过探索和学习，你知道怎样判定两个三角形相似？那么请把你的判定方法写在下面吧.（1）_.（2）_.（3）_.二、 请你填一填（1）如图 461，在ABC 中，DE BC，AD =3 cm，BD=2 cm,ADE 与ABC是否相似_，若相似，相似比是_.图 461（2）如图 462，D、E 分别为 ABC 中 AB、AC 边上的点，请你添加一个条件，使ADE 与ABC 相似，你添加的条件是_（只需填上你认为正确的一种情况即可）.图 46
24、2（3）如图 463，测量小玻璃管口径的量具 ABC 中，AB 的长是 10 毫米，AC 被分成 60 等份.如果小管口 DE 正好对着量具上 30 份处（DEAB） ，那么小管口径 DE 的长是_毫米.图 463（4）如图 464，在 RtABC 中，ACB=90，作 CDAB 于点 D，则图中相似的三角形有_对，它们分别是_.图 464三、认真选一选（1）下列各组图形中有可能不相似的是（ ）A.各有一个角是 45的两个等腰三角形B.各有一个角是 60的两个等腰三角形C.各有一个角是 105的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形（2）ABC 和A B C 符合下列条件，其中使ABC 和A B
25、 C 不相似的是（ ）A.A=A=45 B=26 B=109B.AB=1 AC=1.5 BC=2 A B=4 A C =2 B C =3C.A=B AB=2 AC=2.4 A B =3.6 B C =3D.AB=3 AC=5 BC=7 A B = A C = B C =357（3）如图 465，ABCD，AD 与 BC 相交于点 O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）A. B.ADOCB BCDC. D. OA图 465 图 466（4）如图 466，D 为 ABC 的边 AB 上一点，且ABC=ACD，AD=3 cm,AB=4 cm，则 AC 的长为（ ）A.2 cm B. cm3C.12
26、cm D.2 cm四、 用数学眼光看世界图 467如图 467，长梯 AB 斜靠在墙壁上，梯脚 B 距墙 80 cm，梯上点 D 距墙 70 cm，量得 BD 长 55 cm，求梯子的长.参考答案4.6 探索三角形相似的条件（一）一、答：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形判定两个三角形相似的方法详见课本，略.二、 （1）相似 35 （2）C=ADE（或B =AED 等）（3）5 （4）三 ACDABC BCDBAC ACDCBD三、 （1）A （2）D （3）C （4）D四、解：设梯子的长 AB 为 x cm（如图）由 Rt ADERtABC 得：ABDCE x5807解得：x=
27、440答：梯子的长是 440 cm.4.6 探索三角形相似的条件（二）班级：_ 姓名：_一、 请你填一填（1）如图 468，在ABC 中，AC 是 BC、DC 的比例中项，则ABC_,理由是_.图 468（2）如图 469，D 、 E、 F 分别是ABC 各边的中点，则DEF_,理由是_.图 469（3）如图 4610，BAD=CAE，B=D，AB=2AD，若 BC=3 cm,则DE=_cm.图 4610（4）如图 4611，正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，MN=1，线段 MN 的两端分别在 CB、CD 上滑动，那么当 CM=_时，ADE 与MNC 相似.图 4611二、认真选一选
28、（1）如图 4612，下列条件不能判定ABC 与ADE 相似的是（ ）图 4612A. B.B=ADEABCDEC. D.C=AEDBCDEA（2）在 ABCD 中，E 在 BC 边上，AE 交 BD 于 F，若 BEEC=45，则 BFFD等于（ ）A.45 B.54C.59 D.49（3）如图 4613，在 Rt ABC 中，ACB=90 ，CDAB 于点D，CD =2，BD=1 ，则 AD 的长是（ ）图 4613A.1 B. 2C.2 D.4三、 开动脑筋哟如图 4614，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，ABD=ACD，试找出图中的相似三角形，并加以证明.图 4614
29、四、 用数学眼光看世界如图 4615，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点 A，再在河的这一边选定点 B 和点 C，使得 ABBC ，然后选定点 E，使 ECBC，确定 BC 与 AE 的交点D，若测得 BD=180 米，DC=60 米，EC=50 米，你能知道小河的宽是多少吗？图 4615参考答案4.6 探索三角形相似的条件（二）一、 （1）DAC 这两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，这两个三角形相似（2）ABC 这两个三角形的三边对应成比例，这两个三角形相似（3）1.5 （4） 或52二、 （1）C （2）D （3）D三、 （1）AOBDOC （2）AOD BOC证明：（1）ABD=ACD，AOB=DOC （对顶角相等）AOBDOC（2）由（1）知AOBDOC ，OCBDA又AOD =BOCAOD BOC四、解：由已知得ABD=DCE=90,ADB=CDEABDECD DCBEA将 EC=50，BD=180 ，DC=60 代入上式得：，AB=15060185AB即：小河的宽是 150 米.
