1、江苏高考数学研究性讲义 1 二轮专题突破 第1章 数列 1.1 求通项、求和基本问题 目标：1学会数列把关或压轴题中研究通项与前n项和的基本问题 2对常见的一些形态敏感，会利用关系导出分段、周期等数列的常见形态 3熟悉常见数列的求和 【案例引导】 例1数列na 满足 12 +2 1nn na a *2,n nN ， 3 27a （1）求 1a， 2a 的值； （2）是否存在一个实数t，使得 12n nnb a t *nN ，且数列nb 为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由； （3）求数列na 的前n项和 nS 第1章 数列【1.1 求通项、求和基本问题】 2 摒弃浮华，沉淀思想
2、 例2已知数列na 的前n项和为 nS ，且对一切正整数n都有 2 12n nS n a （1）求证： 1 4 2n na a n *nN ； （2）求数列na 的通项公式 例3已知数列na 共有2k项*2 k N ，数列na 的前n项和为 nS ，满足 1 2a ，1 1 2n na p S 1,2,3, ,2 1n n ，其中常数 1p （1）求证：数列na 是等比数列； （2）若22 12 kp 数列 nb 满足 2 1 21logn nb aa an 1,2, ,2n n ，求数列nb 的通项公式； （3）对于（2）中的数列nb ，记 3,2n nc b 求数列nc 的前2k项的和 江
3、苏高考数学研究性讲义 3 二轮专题突破 【课外作业】 1已知数列na 满足 1 22 n n na a a k ,n k N R ，且 1 2a ， 3 5 4a a （1）若 0k ，求数列na 的前n项和 nS ； （2）若 4 1a ，求数列 na 的通项公式 第1章 数列【1.1 求通项、求和基本问题】 4 摒弃浮华，沉淀思想 2已知数列na 、 nb 是正项数列，na 为等差数列，nb 为等比数列，nb 的前n项和为 nS Nn ，且 1 1 1a b ， 2 2 1a b ， 3 3=a b 2 （1）求数列,n na b 的通项公式； （2）令 11nnn nbcS S ，求数列
4、nc 的前n项和 nT； （3）设21nnnadb ，若 nd m 恒成立，求实数m的取值范围 江苏高考数学研究性讲义 5 二轮专题突破 第1章 数列 1.1 求通项、求和基本问题 目标：1学会数列把关或压轴题中研究通项与前n项和的基本问题 2对常见的一些形态敏感，会利用关系导出分段、周期等数列的常见形态 3熟悉常见数列的求和 【案例引导】 例1数列na 满足 12 +2 1nn na a *2,n nN ， 3 27a （1）求 1a， 2a 的值； （2）是否存在一个实数t，使得 12n nnb a t *nN ，且数列nb 为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由； （3）求
5、数列na 的前n项和 nS 解：(1)由a327，得272a2231，a29， 92a1221，a12 4分 (2)假设存在实数t，使得bn为等差数列，则2bnbn1bn1，(n2且nN*) 212n(ant)12n1(an1t)12n1(an1t)， 4an4an1an1t， 4an4an2n12 2an2n11t，t1 即存在实数t1，使得bn为等差数列 10分 (3)由(1)，(2)得b132，b252，bnn12， an n122n1(2n1)2n11， Sn(3201)(5211)(7221)(2n1)2n11 352722(2n1)2n1n， 2Sn32522723(2n1)2n2
6、n， 由得Sn32222222322n1(2n1)2nn1212n12(2n1)2nn(12n)2nn1， 第1章 数列【1.1 求通项、求和基本问题】 6 摒弃浮华，沉淀思想 Sn(2n1)2nn116分 例2已知数列na 的前n项和为 nS ，且对一切正整数n都有 2 12n nS n a （1）求证： 1 4 2n na a n *nN ； （2）求数列na 的通项公式 解：（1）证明： 2 12n nS n a （ *n N ） 21 11( 1) 2n nS n a （n N ） 由得 2 21 11 1( 1) ( )2 2n n n nS S n a n a 11 12 1 2
7、2n nn a a （ *n N ）， 1 4 2n na a n （ *n N ） 4分 （2）解：方法1， 1 4 2n na a n （ *n N ） 2 1 4 6n na a n （n N ）， ，得 2 4.n na a （ *n N ） 6分 从而 数列 na 的奇数项依次成等差数列，且首项为1 2a ，公差为4； 数列 na 的偶数项也依次成等差数列，且首项为 2a ，公差为4 在中令 1n 得 21 111 2S a ，又 1 1S a ， 1 1 111 2.2a a a 在中令 1n 得 2 2 4 2a ， 2 4.a 7分 当 2 1n k （ *k N ）时， 12
8、nk ， 2 1 1 4( 1) 4 2 2n ka a a k k n ； 8分 当 2n k （ *k N ）时， 2nk ， 2 2 4( 1) 4 2n ka a a k k n ；9分 综上所述， 2na n （ *n N ） 10分 方法2，由式知， 1 (2 2) ( 2 )n na n a n （ *n N ）， 7分 记 2n nb a n （ *n N ），则 1 .n nb b （ *n N ）， 在中令 1n 得 21 111 2S a ，又 1 1S a ， 1 1 111 2.2a a a 从而1 2 2 1 0b ， 0nb （ *n N ） 即 2na n （
9、*n N ） 10分 例3已知数列na 共有2k项*2 k N ，数列na 的前n项和为 nS ，满足 1 2a ，1 1 2n na p S 1,2,3, ,2 1n n ，其中常数 1p （1）求证：数列na 是等比数列； （2）若22 12 kp 数列 nb 满足 2 1 21logn nb aa an 1,2, ,2n n ，求数列nb 的通项公式； （3）对于（2）中的数列nb ，记 3,2n nc b 求数列nc 的前2k项的和 江苏高考数学研究性讲义 7 二轮专题突破 1 5证明略 分12 1 92 1n nb k 分223 162 1k kT k 所求和 分 【课外作业】 1已
10、知数列na 满足 1 22 n n na a a k ,n k N R ，且 1 2a ， 3 5 4a a （1）若 0k ，求数列na 的前n项和 nS ； （2）若 4 1a ，求数列 na 的前n项和 nS 解（1）当 0k 时， 1 22 n n na a a ，即 2 1 1n n n na a a a ， 所以，数列na 是等差数列 2分 设数列 na 公差为d，则 112,2 6 4,aa d 解得1 2,4.3ad 4分 所以， 21 ( 1) ( 1) 4 2 82 ( )2 2 3 3 3n nn nnS na d n n n 6分 （2）由题意， 4 3 52a a a
11、 k ，即 2 4 k ，所以 2k 8分 又 4 3 2 2 12 2 3 2 6a a a a a ，所以 2 3a ， 由 1 22 2n n na a a ， 得 2 1 1( ) ( ) 2n n n na a a a ， 所以，数列1n na a 是以 2 1 1a a 为首项， 2 为公差的等差数列 所以 1 2 3n na a n ， 10分 当 2n 时，有 1 2( 1) 3n na a n ， 于是， 1 2 2( 2) 3n na a n ， 2 3 2( 3) 3n na a n ， 3 2 2 2 3a a ， 2 1 2 1 3a a ， 叠加得， 1 2(1 2
12、 ( 1) 3( 1),( 2)na a n n n 所以 2( 1)2 3( 1) 2 4 1,( 2)2n nna n n n n ，13分 又当 1n 时， 1 2a 也适合 所以数列na 的通项公式为 2 *4 1,na n n n N 14分 第1章 数列【1.1 求通项、求和基本问题】 8 摒弃浮华，沉淀思想 2已知数列na 、 nb 是正项数列，na 为等差数列，nb 为等比数列，nb 的前n项和为 nS Nn ，且 1 1 2 2= 1, = +1a b a b ， 3 3=a b 2 （1）求数列,n na b 的通项公式； （2）令 11nnn nbcS S ，求数列nc
13、的前n项和 nS ； （3）设21nnnadb ，若 nd m 恒成立，求实数m的取值范围 解：（1）设公差为d，公比为q，由已知得 1 1= 1, =a b d q ， 22 = 3d q ， 解之得： 3d q ， 3 2na n 又因 nb 0，故 13nnb 4分 （2） 1 1 1 3 3 11 1 3 2n n nnb qSq ， 所以 1143 1 12 3 1 3 13 1 3 1nn n nn nc （ ）， 8分 1 11 1 1 1 1 1 1 12( ) 2( )2 8 8 26 3 1 3 1 2 3 1n n n nT 10分 （3） 2213 23nn nnnadb ， 122121 31142183)23(3)13(nnnnnnnnndd 12分 当 1,2n 时， 1n nd d ， 当 Nnn ，3 时， 1n nd d ， 14分 又因为 81100,2749,916,31 4321 dddd ，所以m的取值范围为 ,2749 16分
