1、开始,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,学点六,含有这些不等号,1.用数学符号“”，“”,“b,bc a c ;（2）ab a+c b+c ;（3）ab,c0 ac bc ;（4）ab,cb,cd a+c b+d ;（6）ab0,cd0 ac bd ;（7）ab0,nN，n1 an bn;（8）ab0,nN,n1 .,学点一 不等式的概念,铁路旅行常识规定：“一、随同成人旅行身高1.11.4米的儿童，享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米时应买全票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.十、旅客每人免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部尺
2、寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不得超过20千克”设儿童身高为h m，物品外部尺寸长、宽、高之和为p cm，请在下表空格内填上对应的数学符号（,）,并与同学交流.,【解析】符号表示1.1h1.4,h1.4,h1.1,p160.,【分析】分清题目中文字表述的是儿童身高h m还是物品外部的尺寸长、宽、高之和p cm是写出不等式的关键.,【评析】将实际中的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系. 常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表：,某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟
3、分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m2，可住游客5人，每名旅客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3人，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修.写出满足上述所有不等关系的不等式.,解：设装修大、小客房分别为x间、y间，则,学点二 不等式的性质,【分析】若要判断上述命题的真假，依据就是实数集的基本性质和实数运算的符号法则及不等式的基本性质，经过合理的逻辑推理即可判断.,对于实数a，b，c，判断下列命题的真假. (1)若ab,则acbc2,则ab； (3)若aabb2； (4)若a|
4、b|； (5)若cab0,则 . (6)若ab, ,则a0,b0.,（）两个负实数,数小的离原点远,故绝对值反而大.故该命题为真命题. （）ab0 -aab0 0b,a0,b0.故该命题为真命题.,【评析】上述判断真假命题的例子可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握性质定理及其推论的条件和结论.如问题（） (3)主要考查了对定理3的理解，这是应用定理3最易出错的地方，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正、负、零,否则，结论不确定.问题（）（）涉及两个已知数的倒数间的关系，由定理3可推导出结论.另外，若要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质
5、等；若判断命题是假命题,只需举一反例.,分别判断下列各命题是否成立，并简述理由. （1）ab 2-xa2-xb; （2）ab,cd a-cb-d; （3）ab,cb0 anbn(nN,n1).,解:以不等式的性质为起点,逐一验证每一个命题的真伪.（1）成立.2-x0,由性质知2-xa2-xb;（2）不成立.令a=5,b=4,c=3,d=1时，有a-cb0,c0时显然有 ;（4）不成立.|a|b0 |a|nbn,但|a|n与an可能相等，也可能互为相反数.,学点三 利用不等式的性质证明不等式,【分析】恰当使用不等式性质进行变形是关键.,（1）已知ab, ，求证：a0,且bb0,cb0,cb0,c
6、d0,求证： .,【解析】,【评析】只有同向时不等式才能相加，两边同乘（除）某一数（式）时，一定要注意其正负，必要时要分类讨论.,已知ab0,cd0,e0，求证： .,证明：,学点四 应用不等式的性质讨论范围,已知 ,求 , 的范围.,【分析】已知的不等式相当于所以本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.,【解析】,【评析】两个不等式要相减时，不能直接相减，而要转化为同向相加：-=+(-).同时要注意，本题中的 取不到等号，而 左边可以取到等号，这一点极易出错.,已知
7、f(x)=ax2-c,且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)的取值范围.,解：,学点五 比较法,【分析】采用作差比较法，要注意运用幂的运算性质对差式进行化简，并运用指数函数的性质判断差值与零的大小关系.,设mn0,a0,比较am+a-m与an+a-n的大小.,【解析】,【评析】作差法比较大小，关键是判断差的符号，应注意应用函数性质.,甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食（同一品种），两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同.其中，甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？,解：设两次价格分别为a元，b元，则甲的平均价格为元，乙的平均
8、价格为.乙合算.,学点六 不等式性质的综合应用,【分析】本题条件较为抽象，可先取一些特值试探一下.,我们知道，在ABC中，若c2=a2+b2，则ABC是直角三角形，现在请你研究：若cn=an+bn(n2,且nN*),问ABC为何种三角形？为什么？,【解析】,【评析】本题是一道难得的好题，由特殊到一般的探究方法是一种重要的解题思维方法，横跨几何、三角、代数三个章节，显示了其较强的综合性.,已知abc,a+b+c=0,求证： （1）ac0; （2） .,证明：,1.不等关系ab或ab的含义是什么？不等式ab应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者ab(a,b)|a=b，同理，(a,b)|ab=
9、 (a,b)|ab，或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若ab或a=b之中有一个正确，则ab正确.,2.如何理解不等式的性质?(1)性质1说明把不等式的左边与右边交换，所得的不等式与原不等式异向.（2）性质2说明不等式的传递性提供了两个实数a,c在比较大小时的一种间接方法媒介法（即通过中间值作媒介来比较大小），同时它也是对不等关系作适当放缩的依据.（3）性质3说明有了不等式的加法单调性，不等式的移项法则也就有了理论依据，因而不等式就可以像方程一样地变形、化简；这里的推论还可以推广到任意有限个同向不等式两边可以分别相加，也就是说，多,个同向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.（4）
10、性质4说明在一个不等式的两边同乘一个非零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负性；在性质4的推论中，要注意所有的字母都是正数，例如，如果仅有ab,且cd，就不能推出acbd；同时有两个异号不等式，如ab0,0bd.,不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系，值得注意的是其中有一类具有充要性的特征，条件和结论可互相推出，解不等式的每一变形只能依据这一类性质，才能保证变形的同解性；另一类性质只具有充分性的特征，它可以作为证明不等式的依据，但不能作为解不等式的依据.另外注意不要强化或弱化不等式性质成立的条件.例如，在应用“ab,ab0 ”这一性质时，有些同学可能是弱化了条件，得到ab
11、，也可能是强化了条件，而得到ab0 .,3.应用不等式的性质应注意什么？,1.不等关系是这一章的理论基础，是比较两个实数或代数式的大小的理论基础.比较法中的作差法，实际上是比较这两个实数（或代数式）的值的大小，而这又归纳为判断它们差的符号，这又必然归纳到实数运算的符号法则.2.不等式的性质是不等式的基础，包括四个性质定理及五个推论.不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确地加以运用.利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用.3.对于假命题只需举一反例即可，当然亦可从条件入手推出与结论相反的结论.4.解决此类问题一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的七条性质.,一样的软件不一样的感觉一样的教室不一样的心情一样的知识不一样的收获,
