1、山东省济南市 2015 届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.1.已知 i 是虚数单位，m 是实数，若 是纯虚数，则2miA. B. C.2 D. 21212.已知集合 ，若 ，则40,5MxNx3MNxn等于nA.9 B.8 C.7 D.63.“ ”是“函数 在区间 上为减函数”的1m26fxmx,3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为A. B. 3735C. D. 15.在
2、某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 ，24,0N若 X 在（0，8）内取值的概率为 0.6，则 X 在（0，4）内取值的概率为A.0.2 B.0.3C.0.4 D.0.6 6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于A. B. 2334C. D. 45567.将函数 的图象向左平移 个单位，得到cos2yx函数 的图象，则 的表达式可以ffx是A. 2sinfxB. C. 2sinfxxD. 2sincos2fxx8.点 A 是抛物线 与双曲线 的一条渐近21:0Cyp2:1xyCab0,b线的交点，若点 A 到抛物线 的准线的距离为 p，则双曲线 的离心率等于1 2A. B. C.
3、 D. 23569.下列图象中，可能是函数 图象的是xey10.在 中， 是 AB 中点，且对于边 AB 上任一点 P，恒有 ，则ABC0P 0BCPA有A. B. C. D. BC90A 9第 II 卷（非选择题，共 100 分）二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.11.已知 的二项展开式的各项系数和为 32，则二项展开式中含 项的系数为21nx x_.12.曲线 和曲线 围成的图形的面积是_.2y2yx13.若 满足约束条件 ，若目标函数 仅在点（1，0）处取得最小,x12xy3zaxy值，则 a 的取值范围为_.14.已知圆 C 过点 ，且圆心在 x 轴的负半
4、轴上，直线 被该圆所截得的弦1,0:lyx长为 ，则过圆心且与直线 l 平行的直线方程为_.215.已知命题：将一组数据中的每个数都变为原来的 2 倍，则方差也变为原来的 2 倍；命题“ ”的否定是“ ”；2,10xR2,10xR在 中，若 ；ABCsiniAB， 则在正三棱锥 内任取一点 P，使得 的概率是 ；S2PACSABCV78若对于任意的 恒成立，则实数 a 的取值范围是2,430nNa.1,3以上命题中正确的是_（填写所有正确命题的序号）.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.16. （本小题满分 12 分）在 中，角 A，B，C 的对边分别为 ，且 成等差数列.,abc,
5、4BAC（I）若 的值；13bac， ， 求（II）设 ，求 t 的最大值.sint17. （本小题满分 12 分）为了参加市中学生运动会，某校从四支较强的班级篮球队 A，B，C，D 中选出 12 人组成校男子篮球队，队员来源如下表：（I）从这 12 名队员中随机选出两名，求两人来自同一个队的概率；（II）比赛结束后，学校要评选出 3 名优秀队员（每一个队员等可能被评为优秀队员） ，设其中来自 A 队的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.18. （本小题满分 12 分）在四棱锥 ，/,2,PBCDABDA中 ，平面 ABCD，PA=2.1,A（I）设平面 平面 ，求证： ；m/C（II）
6、设点 Q 为线段 PB 上一点，且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正切值为 ，求 的值.2PB19. （本小题满分 12 分）已知等比数列 的前 n 项和为 ，且满足 .anS12npN（I）求 p 的值及数列 的通项公式；（II）若数列 满足 ，求数列 的前 n 项和 .nb132nabnpT20. （本小题满分 13 分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .20xyab3213,2（I）求椭圆的标准方程；（II）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 AC，BD 过原点 O，设，满足 .12,AxyB124yx（i）试证 的值为定值，并求出此定值；ACk（ii）试求四边形 ABCD
7、面积的最大值.21. （本小题满分 14 分）已知关于 x 的函数 .2ln1fxaR（I）求函数 在点 处的切线方程；,0P（II）求函数 有极小值，试求 a 的取值范围；fx（III）若在区间 上，函数 不出现在直线 的上方，试求 a 的最大值.1,fx1yx网Z.（） 3CA-10 分41)62sin(1)2cos(43in1(sin)s(iAAt ，30.6526所以当 即 时， 有最大值 .12 分,At41（17）解：（）从这 12 名队员中随机选出两名, 两人来自同一个队记作事件 A，则 4 分224331()6CPA（） 的所有可能取值为 0，1，2，3因为 312213848
8、4843 312 124(=0)(=)(=)(=)5555CCCCPPPP， ， ， 分所以 的分布列为：0 1 2 3P4585112 分012+3E（18）解：（）证明： 平面 平面 ，CDAB,/ ABP,P./PCD平 面因为 平面 PCD，平面 PAB 平面 PCD=m4 分m/（）设 因为 ，所以建立如图所示的空间直角坐,PBQABCDPA平 面,标系设 Q（x，y，z） ，直线 QC 与平面 PAC 所成角为 .所以 ，所以即 Q(2 ,0,-2 +2)6 分所以7 分)2,12(C0,(),0AP平面 的一个法向量为 .9 分),1(n，2tan3cosCQ z yxP DCB
9、A解得 11 分712所以 = 12 分PQB12 分nnT21（20）解：（）由题意 ， ，又 ，-223ace142b22cba分解得 ,1,42ba椭圆的标准方程为 .-4 分2yx（） (i) 直线 AB 的斜率不存在（或 AB 的斜率为 0）时不满足 214xy设直线 AB 的方程为 ，设mkxy),(),(21yxBA联立 ，得 42xky 048)1(2k(*)16)8( 22m6 分2214)(8kmx1xy7 分21212)()(k又044)4(2mxx8 分181)( 222kkmk 0)41(4)()(4)( 2222 k整理得 12k所以 为定值 0. 10 分BCAk
10、(ii) 由(i), 不妨取 ,则21-A)1(2mx设原点到直线 AB 的距离为 d，则11 分212|1|21kkBSAO )(4|4)(| 211 mxxm12 分2当 时(满足(*) 式)取等号.2. 4AOBABCDSS四 边 形即四边形 ABCD 的面积的最大值为 4. 13 分（21）解：（） )0(12)(xaxf1)(f又 0所以 在点 P（1,0）处的切线方程为 . 分)(xf 1xy（） 分)0(,12xaf令 ,2)(axg(i) 时 无解， 无极小值；0)(f)(xf(ii) 时， ，所以 有两解 ，且 ；01g0g21,x210x时 ，2x)()(xf时 ，此时， 无极小值. 分)(xf(iii) 时, 因为 , 的对称轴为 ,要使函数 有极小值,则0a01)(g)(xg21x)(xf即 或842a2a此时 有两解 ，不妨设设 ， 则 时 ，)(xg,43x43x43x0)(g来0f时 ， 此时， 有极小值 . 分4x)(0)(xf)(xf)(4xf综上所述， . 10 分2a（）由题意， 1,)(f即 11 分1ln2xx下证： 0,记 0,1ln)(l)( xxh则 ,1时 ， 0x0)(时 ， 1h)(x即 12 分0,1lnx
