1、第 1 页 共 25 页2019 届山东省济南市高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 ( )A B C D【答案】B【解析】化简集合 A，然后求交集即可 .【详解】 ， .故选：B【点睛】本题考查交集的概念与运算，二次不等式的解法，属于基础题.2已知复数 满足 （其中 为虚数单位） ，则 ( )A B C D【答案】A【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【详解】 ，z 1i故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题3已知命题 关于 的不等式 的解集为 ；命题 函数有极值.下列命题为真命题的是( )A B C D【答案】C第 2
2、页 共 25 页【解析】解对数不等式明确命题 p 的正误，利用导函数明确命题 q 的正误，从而得到正确选项.【详解】不等式 的解集为 ，故命题 p 为假命题， 为真命题；由 可知： , 在 处取得极值，故命题 q 为真命题， 为假命题，综上可知： 为真命题故选：C【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查对数不等式的解法，考查了函数的极值的判定，是中档题4如图，在 中， ， ， ，三角形内的空白部分由三个半径均为1 的扇形构成，向 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A B C D【答案】B【解析】由题意，概率符合几何概型，所以只要求出阴影部分的面积，根据三角形的内角和得到空白部分的
3、面积是以 1 为半径的半圆的面积，由几何概型的概率公式可求【详解】解：由题意，题目符合几何概型，在 中， ， ， ，面积为 3，阴影部分的面积为：三角形面积 圆面积3 ，所以点落在阴影部分的概率为 ；第 3 页 共 25 页故选：B【点睛】本题考查了几何概型的概率求法；关键明确概率模型，然后求出满足条件的事件的集合，由概率公式解答5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A 5 B C6 D8【答案】C【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案【详解】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，底面五边形面积 S21
4、 21 ，高 h2，故体积 VSh6，故选：C【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，棱柱的概念的理解，考查空间想象能力与计算能力，难度中档6若将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，则下列说法正确的是( )A 的最小正周期为 B 在区间 上单调递减C 图像的一条对称轴为 D 图像的一个对称中心为【答案】D【解析】利用函数 yA sin（ x+）的图象变换规律得到 g（x ）的解析式，再利用三第 4 页 共 25 页角函数的单调性、周期性、以及图象的对称性，得出结论【详解】将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到函数的最小正周期为 ，故 A 错误；由 ，可得 ，显然 在
5、区间 上不单调，故 B 错误；当 时， ，故 C 错误；当 时， ，正确，故选：D【点睛】本题主要考查函数 yA sin（ x+）的图象变换规律，三角函数的单调性、周期性、以及图象的对称性，属于中档题7函数 的图象大致为( )A B C D【答案】D【解析】利用函数的奇偶性，极限，特值点逐一判断即可.【详解】由函数 为偶函数，排除 B 选项，第 5 页 共 25 页当 x 时， ，排除 A 选项，当 x= 时， ，排除 C 选项，故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
6、（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.8古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作圆锥曲线论 中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合） ，已知两个圆锥的底面半径为 1，母线长均为 2，记过圆锥轴的平面 为平面 （ 与两个圆锥面的交线为 ， ） ，用平行于 的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线 的一部分，且双曲线 的两条渐近线分别平行于 ， ，则双曲线 的离心率为( )A B C D2【答案】A【解析】由题意易得 ， 夹角即所求双曲线渐近线的夹角.【详解】第 6 页 共 25 页圆锥的底面半径
7、为 1，母线长均为 2， ,又双曲线 的两条渐近线分别平行于 ， ， ，即 3b2a 2， 离心率 e故选：【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9已知 ，且 ， ， ，则 的取值范围是( )A B C D【答案】A【解析】利用向量加法减法以及模的几何意义可得结果.【详解】如图所示： ，且 ，又 ，取 AB 中点为 C，可得 ,第 7 页 共 25 页 的终点 D 在以 C 为圆心，
8、为半径的圆上运动，当 D 点在 O 点时， 的最小值为 0；当 D 点在 OC 的延长线时， 的最大值为 , 的取值范围是故选：A【点睛】本题考查了向量的运算，圆的性质以及数形结合思想，转化思想，是一道综合题10执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ， 依次为 ， ，其中 ，则输出的 为( )A B C D【答案】C【解析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可.【详解】由程序框图可知 a、b、c 中的最大数用变量 x 表示并输出，第 8 页 共 25 页 ，又 在 R 上为减函数， 在 上为增函数， ， 故最大值为 ，输出的 为故选：C【点睛】本题主要考查了选择结构算法是新课
9、程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件 循环的条件 变量的赋值 变量的输出11过抛物线 的焦点 作直线 ，交抛物线于点 ， ，交抛物线的准线于点 ，若 ，则直线 的斜率为( )A B C D【答案】C【解析】由 可知：N 为线段 PM 的中点，结合抛物线定义可知 ,从而可得直线 的斜率.【详解】由 可知：N 为线段 PM 的中点，过 N，M 点分别引准线的垂线，垂足分别为 A，B，不妨设 ，由抛物线定义可知： ， ，又 N 为线段 PM 的中点，在ANP 中，第 9 页 共 25 页 ，即直线的斜率为：由抛物线的对称
10、性可知：直线 的斜率为 .故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握12已知函数 ，若对任意 ，不等式恒成立，其中 ，则 的取值范围是( )A B C D【答案】B【解析】作图明确函数 的单调性，不等式 可转化为，即 ，变量分离研究函数的最值即可.【详解】作出函数 的图象，由图像可知：函数 在 R 上单调递减，即 ，由函数 在 R 上单调递减，可得：变量分离可得： ，令则 ,又第 10 页 共 25 页故选：B 【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的单调性，指数运算，均值不等式等等，考查转化思想，属于中档题.二、填空题13 的展开式中
11、常数项为_ （用数字作答）【答案】【解析】 的展开式的通项公式为 ，令， ，故该展开式中的常数项为 ，故答案为 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值为 _【答案】4【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义利用数形结合即可得到结论【详解】解：由约束条件作出其所确定的平
12、面区域（阴影部分） ，第 11 页 共 25 页平移直线 z4x+3y，由图象可知当直线 z4x+3y 经过点 A 时，目标函数 z4x+3y 取得最大值，此时 A（ ） ，即 z4 04，故 z 的最大值为 4故答案为：4【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键要求熟练掌握常见目标函数的几何意义15我国物权法规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光 .已知某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为 45 米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于 52 米.若该小区内某居民在距离楼底 27 米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯
13、角之和为 ，则该小区的住宅楼楼间距实际为_ 米【答案】54【解析】设该小区的住宅楼楼间距为 t 米，利用两角和正切公式建立等量关系，即可得的结果.【详解】如图设该小区的住宅楼楼间距为 t 米，则 DF=18 米,EF=27 米，DCE=45，第 12 页 共 25 页 即 ，解得 t=54故答案为：5 4【点睛】本题考查三角函数在实际生活中的应用，考 查两角和正切公式，考查函数方程思想，属于基础题.16已知球 的半径为 3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为 ，内接正四棱锥的体积最大值为 ，则 的值为_【答案】【解析】设球心 O 到正三棱锥 底面 MNQ 的距离为 x，则 VPMNQ， 设正四棱
14、锥 SABCD 的底面边长等于 a，底面到球心的距离等于 x，则 V（ x） a2h （182x 2） （3+x） ，利用均值不等式分别求最值即可.【详解】设球心 O 到正三棱锥 底面 MNQ 的距离为 x，则 0x3，设底面中心为 O，则 OM ，底面边长 MN OM ，棱锥的高 SOx+3，V PMNQ （3+x） （62x） （x +3） （第 13 页 共 25 页） 38 即 8当且仅当 x+362x 即 x1 时取得等号设正四棱锥 SABCD 的底面边长等于 a，底面到球心的距离等于 x，则：x 2+（ a） 29，而正四棱锥的高为 h3+x，故正四棱锥体积为：V（x） a2h （
15、182x 2） （3+x） （62x） （3+x ） （3+x）（ ） 3 ，即当且仅当 x2 时，等号成立，故答案为：【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题17已知数列 是递增的等差数列，满足 ， 是 和 的等比中项.（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】 （1）利用等差通项公式与等比中
16、项列基本量的方程组，即可得到数列 的通第 14 页 共 25 页项公式；（2） ，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设数列 的公差为 ，由 得 ，由题意知 ，所以 ，解得 或 ，因为 为递增数列，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 .（2） ，所以.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， 为 的中点，交 于点 ， 为 的重心.第 15 页
17、 共 25 页（1 ）求证： 平面 ；（2 ）若 ，点 在线段 上，且 ，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）详见解析（2）【解析】(1)根据题意先证明 ，结合线面平行的判定定理即可得到结果； (2) 分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.求出平面 与平面 的法向量，代入公式即可得到二面角 的余弦值.【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，因为 为 中点，所以 ，连接 并延长，交 于 ，连接 ，因为 为 的重心，所以 为 的中点，且 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.设 ，则 ， ， ， ，因为 ，所以 ，因
18、为 为 的重心，所以设平面 的法向量 ， ， ，第 16 页 共 25 页则 ，所以 ，取 ，则 ， ，所以 .设平面 的法向量 ， ，则 ，所以 ，则 ，取 ，则 ，所以 .所以由图可知，该二面角为钝角，所以二面角 的余弦值为 .【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了 100 位客户试用该产品，每人一台.试用
19、一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“ 不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半， “对性能满意” 的客户比“ 对性能不满意”的客户多10 人， “对性能不满意 ”的客户中恰有 选择了退货.（1 ）请完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为 “客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.第 17 页 共 25 页对性能满意 对性能不满意 合计购买产品不购买产品合计（2 ）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取 6 位客户进行座谈 .座谈后安
20、排了抽奖环节，共有 6 张奖券，其中一张印有 900 元字样，两张印有 600 元字样，三张印有 300 元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6 位客户每人随机抽取一张奖券（不放回） ，设 6 位客户中购买产品的客户人均所得奖金为 元，求 的分布列和数学期望.附： ，其中0.150 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】 （1）详见解析（2）详见解析【解析】 （1）完成 22 列联表，求出 K2 ，从而有 的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关” ；（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为 2，退货的人数为 4.
21、 的取值为：300,450,600,750，求出相应的概率值，由此能求出 X 的分布列和数学期望【详解】（1）设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为 ，则退货的人数为 ，由此可列出下表对性能满意 对性能不满意 合计购买产品 50不购买产品 50第 18 页 共 25 页合计 100因为 ，所以 ；填写 列联表如下：对性能满意 对性能不满意 合计购买产品 35 15 50不购买产品 20 30 50合计 55 45 100所以 .所以，有 的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为 2，退货的人数为 4.的取值为：300,450,600,7
22、50，所以 的分布列为300 450 600 750第 19 页 共 25 页.所以，购买产品的客户人均所得奖金的数学期望为 500 元.【点睛】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20已知椭圆 过点 ，左焦点为 .（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）直线 与椭圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 ，点 在椭圆 上，满足 （ 为坐标原点）.判断 的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】 （1） （2）为定值【解析】 （1）由 c ，a 2b 2+c2b 2+1，将点代入椭圆方程，即可
23、求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程；（2）把直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得| AB|及 d，则= ，即可求得 定 值.【详解】（1）因为左焦点为 ，所以因为过点 ，所以 ，解之得 ， ，所以，椭圆方程为 .（2）设 ， ， ，则因为 ，所以第 20 页 共 25 页联立方程 得 ，所以 ， ，所以由点 在椭圆 上，故 ，可得 ，此时满足 成立，又点 到直线 的距离为 ，所以 = ，所以 的面积为定值 .【点睛】（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形
24、结合思想、分类讨论思想的考查（2）求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21已知函数 .第 21 页 共 25 页（1 ）讨论 的单调性；（2 ）若 有两个零点，求 的取值范围.【答案】 （1）详见解析（2）【解析】 （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得 f（x）单调性；（2）对 a 分类讨论，结合（1）中的单调性，研究函数的图象的变化趋势从而得到 的取值范围.【详解】（1） ，（）若 ，当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；当 时，令 ，则 ， ；（）若 ， ， 恒成立，在 上
25、为增函数；（）若 ， ，当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；（）若 ， ，当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数；当 ， ， 为增函数；综上所述：当 ， 在 上为减函数，在 上为增函数；当 时， 在 上为增函数；第 22 页 共 25 页当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数；当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数.（2） （）当 时， ，令 ， ，此时 1 个零点，不合题意；（）当 时，由（1）可知，在 上为减函数， 在 上为增函数，因为 有两个零点，必有 ，即 ，注意到 ，所以，当 时， 有 1 个零点；当 时
26、， 取 ，则 ，所以，当 时， 有 1 个零点；所以，当 时， 有 2 个零点，符合题意；（）当 时， 在 上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；（）当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数；因为 ，所以 ，第 23 页 共 25 页此时， 最多有 1 个零点，不合题意；（）当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数；因为 ，此时， 最多有 1 个零点，不合题意；综上所述，若 有两个零点，则 的取值范围是 .【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参
27、数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解22在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，其中，直线 与曲线 相交于 ， 两点.（1 ）求曲线 的直角坐标方程；（2 ）若点 满足 ，求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】 （1）利用 ，把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线 的参数方程 （ 为参数）代入 ，得： ，第 24 页 共 25 页利用韦达定理表示条件，解方程即可得到结果.【详解】（1）由题意，曲线 的
28、极坐标方程可化为： ，由 得曲线 的直角坐标方程为： .（2）将直线 的参数方程 （ 为参数）代入 ，得： ，设 ， 对应的参数分别为 ， ，则 ， ，所以 ，解得 或 （舍） ，所以 .【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P(x0，y 0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 若A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 ，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 ，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 第 25 页 共 25 页23已知函数 .（1 ）当 时，求不等式 的解集；（2 ）若 对任意的 恒成立，求 的取
29、值范围.【答案】 （1） （2）【解析】 （1）当 a2 时，分类讨论求得不等式 的解集；（2） 对任意的 恒成立即 ，数形结合即可得到结果【详解】（1）当 时， ，即当 时，不等式等价于： ，解得 ，所以 ；当 时，不等式等价于： ，解得 ，所以 ；当 时，不等式等价于： ，解得 ，所以 ；所以，不等式的解集为 .（2）由题意知，当 时， ，即 恒成立，根据函数 的图像易知，解得， 的取值范围为 .【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.
