1、第 2 课时 数列的递推公式1.已知数列a n,a1=1,an-an-1=n-1(n2),则 a6等于( )A.7 B.11 C.16 D.17解析:由题可知 a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.答案:C2.数列a n中,a n+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则 a5等于( )A.-3 B.-11 C.-5 D.19解析:由 an+1=an+2-an,得 an+2=an+1+an.又 a1=2,a2=5,a 3=7,a4=12,a5=19.答案:D3.已知数列a n中,a n-1=man+1(n1)
2、,且 a2=3,a3=5,则实数 m 等于( )A.0 B. C.2 D.5解析:由题意得 a2=ma3+1,则 3=5m+1,故 m= .答案:B4.已知数列a n满足 an+1=an+ ,则数列a n是( )A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列解析:由 an+1=an+ ,知 an+1-an= 0,所以 an+1an,即从第 2 项起,每一项都大于它的前一项 .答案:A5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第 n 个图有化学键( )A.6n 个 B.(4n+2)个C.(5n-1)个 D.(5n+1)个解析:各图中的
3、短线依次为 6,6+5,6+5+5,若视 6 为 5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,于是第 n 个图的化学键个数应为 an=5n+1.答案:D6.已知数列a n中,a 1=1,对所有的 n2,都有 a1a2a3an=n2,则 a3+a5= . 解析:由已知得 a3= a5= ,a 3+a5= .答案:7.已知数列a n对任意的 p,qN *满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,则 a10= . 解析:令 p=q=2,则 a4=2a2=-12.再令 p=4=q,则 a8=2a4=-24.再令 p=8,q=2,则 a10=a8+a2=-30.答案:-308.已知数列a
4、n满足:a nan+1,an=n2+n,nN *,则实数 的最小值是 . 解析:a nan+1,n 2+n(n+1)2+(n+1),即 -(2n+1)对任意 nN *成立, -3.答案:-39.在数列a n中,a 1=2,an+1=an+ln ,求数列 an的通项公式.解:由 an+1=an+ln 得,an+1-an=ln =ln =ln(n+1)-ln n.a 2-a1=ln 2-ln 1,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n2).上述各式左、右两边分别相加得 an-a1=ln n-ln 1,a n=ln n+a1=2+ln n.10.已知数列a n满足 an= + .(1)数列a n是递增数列还是递减数列?为什么?(2)证明:a n 对一切正整数恒成立.(1)解:数列a n是递增数列.理由如下:a n= + ,a n+1-an= .又 nN *,a n+1-an0.数列a n是递增数列.(2)证明:由(1)知数列a n为递增数列,数列a n的最小项为 a1= .a na1= ,即 an 对一切正整数恒成立.
