1、第 2 课时 等差数列的性质及应用1.已知等差数列a n中,a 2+a8=16,则 a5的值为( )A.8 B.10 C.16 D.24解析:a 2+a8=2a5=16,则 a5=8.答案:A2.已知等差数列a n中,a 5+a6+a7=15,那么 a3+a4+a9等于( )A.21 B.30 C.35 D.40解析:a 5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15,所以 a6=5.所以 a3+a4+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.答案:C3.已知等差数列a n的公差为 d(d0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8
2、,则 m 等于( )A.8 B.4 C.6 D.12解析:因为 a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以 a8=8,即 m=8.答案:A4.设数列a n,bn都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由 an+bn 所组成的数列的第37 项的值为( )A.0 B.37 C.100 D.-37解析:设 cn=an+bn,cn也是等差数列,其公差为 d,则 c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.故 d=c2-c1=0.故 cn=100(nN *).从而 c37=100.答案:C5.若等差数列a n中,a 3+a7-a10=8,a11-a4=4
3、,则 a6+a7+a8等于( )A.34 B.35 C.36 D.37解析:由题意得(a 3+a7-a10)+(a11-a4)=12,(a 3+a11)+a7-(a10+a4)=12.a 3+a11=a10+a4,a 7=12.a 6+a7+a8=3a7=36.答案:C6.在等差数列a n中,已知 a5=10,a1231,则公差 d 的取值范围是 . 解析:a 12=a5+7d=10+7d31,d3.答案:(3,+)7.已知ABC 的一个内角为 120,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ABC 的面积为 .解析:不妨设角 A=120,cb,则 a=b+4,c=b-4,于是 cos 12
4、0= =- ,解得 b=10,所以 S= bcsin 120=15 .答案:158.数列a n满足递推公式 an=3an-1+3n-1(n2),又 a1=5,则使得 为等差数列的实数 = .解析:a 1=5,a2=23,a3=95,令 bn= ,则 b1= ,b2= ,b3= .b 1+b3=2b2,=- .答案:-9.成等差数列的四个数之和为 26,第二个数与第三个数之积为 40,求这四个数.解:设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,则由题意,得解得故所求四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.10.已知无穷等差数列a n中,首项 a1=3,公差 d=-5,依次取出序号
5、能被 4 除余 3 的项组成数列bn.(1)求 b1和 b2;(2)求b n的通项公式;(3)bn中的第 503 项是a n中的第几项?解:数列b n是数列a n的一个子数列,其序号构成以 3 为首项,4 为公差的等差数列.由于a n是等差数列,则b n也是等差数列.(1)a 1=3,d=-5,a n=3+(n-1)(-5)=8-5n.数列a n中序号被 4 除余 3 的项是a n中的第 3 项,第 7 项,第 11 项,b 1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设a n中的第 m 项是b n中的第 n 项,即 bn=am,则 m=3+4(n-1)=4n-1,b n=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n,即b n的通项公式为 bn=13-20n.(3)b503=13-20503=-10 047,设它是a n中的第 m 项,则-10 047= 8-5m,解得 m=2 011,即b n中的第 503 项是a n中的第 2 011 项.
