1、学优中考网 第 15 讲 二次函数的应用【回顾与思考】 二次函数应用之【例题经典】用二次函数解决最值问题例 1 （2006 年旅顺口区）已知边长为 4的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1试在 AB上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本 10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量
2、 y是销售价 x的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-152,0kb1，b=40，即一次函数表达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x元，所获销售利润为 w元w=（x-10） （40-x）=-x 2+50x-400=-（x-25） 2+225产品的销售价应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为 225元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某
3、某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程【考点精练】学优中考网 1二次函数 y= x2+x-1，当 x=_时，y 有最_值，这个值是_12在距离地面 2m高的某处把一物体以初速度 V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度 s（m）与抛出时间 t（s）满足：S=V 0t- gt2（其中 g是常1数，通常取 10m/s2） ，若 V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面_m3影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数有研究表明，晴天在某段公路上行驶上
4、，速度为 V（km/h）的汽车的刹车距离 S（m）可由公式S= V2确定；雨天行驶时，这一公式为 S= V2如果车行驶的速度是 60km/h，10150那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_米4 （2006 年南京市）如图，在矩形 ABCD中，AB=2AD，线段 EF=10在 EF上取一点 M，分别以 EM、MF 为一边作矩形 EMNH、矩形 MFGN，使矩形 MFGN矩形 ABCD令 MN=x，当 x为何值时，矩形 EMNH的面积 S有最大值？最大值是多少？5 （2006 年青岛市）在 2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查
5、统计，得到如下数据：销售价 x（元/千克） 25 24 23 22 销售量 y（千克） 2000 2500 3000 3500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断 y与 x之间的函数关系，并求出 y与 x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为 13元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当 x取何值时，P 的值最大？学优中考网 6 （2006 十堰市）市“健益”超市购进一批 20元/千克的绿色食品，如果以 30元/千克销售，那么每天可售出 400千克由销售经验知，每天销售量 y（千克）与销售单价x
6、（元） （x30）存在如下图所示的一次函数关系式（1）试求出 y与 x的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于 4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 x的范围（直接写出答案） 7施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6米，宽度 OM为 12米，现在 O点为原点，OM 所在直线为 x轴建立直角坐标系（如图所示） （1）直接写出点 M及抛物线顶点 P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施
7、工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使 A、D 点在抛物线上，B、C 点在地面 OM上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB、AD、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下学优中考网 8 （2006 年泉州市）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以 AD为直径的半圆 O，下部是一个矩形 ABCD（1）当 AD=4米时，求隧道截面上部半圆 O的面积；（2）已知矩形 ABCD相邻两边之和为 8米，半圆 O的半径为 r米求隧道截面的面积 S（米）关于半径 r（米）的函数关系式（不要求写出 r的取值范围） ；若 2米CD3 米，利用函数图象求隧道截面的面积 S的最大值
8、（ 取 3.14，结果精确到 0.1米）学优中考网 答案:例题经典 例 1：解：设矩形 PNDM的边 DN=x，NP=y，则矩形 PNDM的面积 S=xy（2x4）易知 CN=4-x，EM=4-y且有 （作辅助线构造相似三角形） ，即NPBCFA= ，y=- x+5，S=xy=- x2+5x（2x4） ，34yx211此二次函数的图象开口向下,对称轴为 x=5，当 x5 时，函数的值是随 x的增大而增大，对 2x4 来说，当 x=4时，S 有最大值 S 最大 =- 42+54=121考点精练 1-1，小，- 27 3364解：矩形 MFGN矩形 ABCD， ，MNFADBAB=2AD，MN=x
9、，MF=2x，EM=EF-MF=10-2x，S=x（10-2x）=-2x 2+10x=-2（x- ） 2+ ，5当 x= 时，S 有最大值为 55解：（1）正确描点、连线由图象可知，y 是 x的一次函数，设 y=kx+b，点（25，2000） ， （24，2500）在图象上， ，20550,:414kbk之y=-500x+14500（2）P=（x-13）y=（x-13）（-500x+14500）=-500x2+21000x-188500=-500（x-21） 2+32000，P 与 x的函数关系式为 P=-500x2+21000x-188500，当销售价为 21元/千克时，能获得最大利润6解：
10、（1）设 y=kx+b由图象可知， ，30420,:1kbkb之学优中考网 y=-20x+1000（30x50） （2）P=（x-20）y=（x-20） （-20x+1000）=-20x 2+1400x-20000a=-200，P 有最大值当 x=- =35时，P 最大值 =4500140(2)即当销售单价为 35元/千克时，每天可获得最大利润 4500元（3）31x34 或 36x397解：（1）M（12，0） ，P（6，6） （2）设这条抛物线的函数解析式为：y=a（x-6） 2+6，抛物线过 O（0，0） ，a（0-6） 2+6=0，解得 a= ，16这条抛物线的函数解析式为 y=- （
11、x-6） 2+6，即 y=- x2+2x 16（3）设点 A的坐标为（m，- m2+2m） ，OB=m，AB=DC=- m2+2m，根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，16BC=12-2m，即 AD=12-2m，L=AB+AD+DC=- m2+2m+12-2m- m2+2m=- m2+2m+12=- （m-3） 2+1516313当 m=3，即 OB=3米时，三根木杆长度之和 L的最大值为 15米8 （1）当 AD=4米时，S 半圆 = （ ） 2= 22=2 （米 2） AD（2）AD=2r，AD+CD=8，CD=8-AD=8-2r，S= r2+ADCD= r2+2r（8-2r）=（ -4）r 2+16r，111由知 CD=8-2r，又2 米CD3 米，28-2r3，25r3，由知 S=（ -4）r 2+16r=（ 3.14-4）r 2+16r=-2.43r2+16r=-2.43（r- ） 2+ ，8.436.-2.430，函数图象为开口向下的抛物线，学优中考网 函数图象对称轴 r= 3.3又 2.5r33.3，82.43由函数图象知，在对称轴左侧 S随 r的增大而增大，故当 r=3时，S 有最大值，S 最大值 =（ -4）3 2+163（ 3.14-4）9+48=26.1326.1（米112） 答：隧道截面面积 S的最大值约为 26.1米 2
