1、1,第十三讲 矩阵对策解法初步,讲授：白丹宇,2,矩阵对策的数学模型,在矩阵对策中，一般用、分别表示两个局中人，并设局中人有m个纯策略(以与后面的混合策略区别),局中人有n个纯策略,则局中人、的策略集分别为,当局中人选定纯策略,和局中人选定纯策略,后，就形成了一个纯局势,3,矩阵对策的数学模型,对任一纯局势,记局中人的赢得值为,称,为局中人的赢得矩阵(或为局中人的支付矩阵)。由于假定对策为零和的，故局中人的赢得矩阵就是-A,4,矩阵对策的数学模型,当局中人、和策略集,、,及局中人的赢得矩阵A确定后，一个矩阵对策也就给定了。通常，将一个矩阵对策记成,或,5,矩阵对策解法,矩阵对策模型给定后，各局
2、中人面临的问题：如何选取对自己最为有利的纯对策略，以谋取最大的赢得？,6,矩阵对策的纯策略,例1：设有一矩阵对策G=S1, S2; A，其中,求最优纯策略？,7,矩阵对策的纯策略,：采取1至少得益-82 23 -10 4 -3 ：采取1最多损失92 23 6,取大则取2 max min aij= 2i j,取小则取2 min max aij= 2j i,平衡局势(2,2)，这个局势就是双方均可接受的，且对双方来说都是一个最稳妥的结果。因此，2和2应分别是局中人和的最优纯策略。,8,矩阵对策的纯策略,设G=S1, S2; A为一矩阵对策，其中S1=1, ,m，S2=1, ,n，A=(aij)mn
3、。若,成立，记其值为VG，则称VG为对策的值，称使其成立的纯局势(i*,j*)为G在纯策略意义下的解(或平衡局势)，称i*和j*分别为局中人和的最优纯策略。,定义1, 矩阵对策中两个局中人都采取最优纯策略（如果最优纯策略存在）才是理智行动,9,课堂练习,例2：求解矩阵对策,，其中,10,答案,对策的解为 ,两个局中人的最优存策略分别为 和,11,矩阵对策解的充分必要条件,从例2可以看出，矩阵A的元素,既是其所在行的最小元素，又是其所在列的最大元素，即,将这一事实推广到一般矩阵对策，可得如下定理。,定理1 矩阵对策,在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势,使得对一切,，均有,12,矩阵对
4、策解的充分必要条件,定理1中式子的对策意义是： 一个平衡局势(i*,j*)应具有这样的性质： 当局中人选择了纯策略i*后，局中人为了使其所失最少，只能选择纯策略j*，否则就可能失的更多； 反之，当局中人选择了纯策略j*后，局中人为了得到最大的赢得也只能选择纯策略i*，否则就会赢的更少，双方的竞争在局势(i*,j*)下达到了一个平衡状态。,13,课堂练习,例3：求解矩阵对策G=S1,S2;A，其中,14,答案,解：,i*=1,3 j*=2,4,故(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)都是对策的解，且VG=8,15,矩阵对策解的性质,性质1 无差别性。即若,和,是对策G的两个解，则,性质2
5、 可交换性。即若,和,是对策G的两个解，则,和,也是解。,矩阵对策的解的两个重要性质,16,矩阵对策实例,例4：某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储量问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为100元，150元和200元，又设秋季时煤价为每吨100元。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多少吨能使单位的支出最少?,17,矩阵对策实例,这一储量问题可以看成是一个对策问题，把采购员当作局中人，他有三个策略：在秋天时买10吨、15吨与20吨，分别
6、记为,把大自然看作局中人(可以当作理智的局中人来处理)，大自然(冬季气温)有三种策略：出现较暖的、正常的与较冷的冬季，分别记为,把该单位冬季取暖用煤实际费用(即秋季购煤时的用费与冬季不够时再补购的费用总和)作为局中人的赢得，得矩阵如下：,18,作业,三河城由汇合的三条河分割为三个区，如图所示。城市居民40%住在A区，30%住在B区，30%住在C区。目前，三个区没有溜冰场，两家公司甲和乙都计划要在城中修建溜冰场。公司甲打算修建两个，公司乙只打算修建一个。每个公司都知道如果在城市的某一个区内设有两个溜冰场，那么这两个溜冰场将把该区内的业务平分，如果某区只有一个溜冰场，则该场独揽本区的全部业务，如果在一个区内没有修建溜冰场，则该区的业务将平均分散在城市的三个溜冰场中，每个公司都想把溜冰场设在营业额最多的地方。试分析两家公司的最优策略；在双方都采取最优策略时，两家公司占有多大的份额？,
