1、1带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析刘玉平一、教学目标（一）知识与技能1、掌握带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的规律。2、灵活运用带电粒子在有界磁场中运动的规律解决有关问题。（二）过程与方法1、通过综合运用力学知识、电磁学知识解决带电粒子在磁场中的问题。2、培养学生的分析推理能力。（三）情感态度与价值观通过学习，充分理解带电粒子在有界磁场中运动的规律，体会科技创新的思维与历程。二、重点与难点：重点：运用带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的规律解决有关问题。难点：灵活运用带电粒子在有界磁场中运动的规律解决有关问题。三、教学方法：讲授与探究四、教学过程：一、带电粒子在半无界磁场中的运动【例 1
2、】如图所示，真空室内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B0.60T，磁场内有一块平行感光板 ab，板面与磁场方向平行，在距 ab 的距离 l16cm 处，有一个点状的 粒子发射源 S，它向各个方向发射 粒子， 粒子的速度都是 v3.010 6m/s已知 粒子的电量与质量之比 q/m5.010 7C/kg，现只考虑在纸平面中运动的 粒子，求 ab 上被粒子打中的区域长度2解析：洛伦兹力是 粒子作圆运动的向心力；计算出圆半径后，确定圆心的位置就成为解题的关键， 粒子轨迹与 ab 相切，以及 粒子离 S 最远的距离为 2r 是判定最远点的条件如图 11-3-2粒子带正电，用左手定则
3、判定 粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用 r 表示轨道半径，有 Bqvm ，解得 ，可见 2rlrrv2 67310m.105()vqBm因向不同方向发射的 粒子的圆轨迹都过 S，由此可知，某一圆轨迹在图中 N 左侧与 ab 相切，则此切点 P1 就是 粒子能打中的左侧最远点，为定出 P1 的位置，可作平行与 ab 的直线cd，cd 到 ab 的距离为 r0.10m以 S 为圆心，r 为半径，作弧交 cd 于 Q 点，过 Q 作 ab 的垂线，它与 ab 的交点即为 P1由图中几何关系得： 221)(rlN再考虑 N 的右侧，任何 粒子在运动中离 S 的距离不可能超过 2r，以 2r
4、为半径，S 为圆心作圆，交 ab 于 N 右侧的 P2 点， P2 即为 粒子在右侧能达到的最远点由几何关系得：所求长度为：P 1P2=NP1+NP2=0.20m224lr二、带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动【例 2】长为 间距为 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为 ，两Ld B板不带电，现有质量为 ，电量为 的带正电粒子（重力不计） ，从mq左侧两极板的中心处以不同速率 水平射入，欲使粒子不打在板上，v求粒子速率 应满足什么条件v解析：如图 3，设粒子以速率 运动时，粒子正好打在左极板边1缘（图中轨迹） ，则其圆轨迹半径为 ，又由41dR得 ，则粒子入射速率小于 时
5、可不打在板12RvmBqBqd41v上设粒子以速率 运动时，粒子正好打在右极板边缘（图中轨迹） ，由图可得2v，则其圆轨迹半径为 ，又由 得22)(dRL dLR42222RvmBq，则粒子入射速率大于 时可不打在板上mdBqv42 2v综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足： 或mBqd4dLqv4)(2 图 3dL1v2Roo2v3【例 3】如图 4 所示，A、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为 ，A 板md210.中央有一电子源 P，在纸面内能向各个方向发射速度在范围内的电子，为 P 点正上方 B 板上的一点，若垂sm/102.7直纸面加一匀强磁场，磁感应强度 ，已知电子的质量
6、T310.9，电子电量 ，不计电子的重力和电子kg31.9Ce6间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地求：（1）沿 P方向射出的电子击中 A、B 两板上的范围（）若从点发出的粒子能恰好击中点，则电子的发射方向（用图中 角表示）与电子速度的大小 之间应满足的关系及各自相应的取值范围v解析：如图 5 所示，沿方向射出的电子最大轨迹半径由 Bev=mv2/ r 可得 r m= mvm / eB，代入数据解得 rm210 -2m 2d该电子运动轨迹圆心在板上处，恰能击中板处随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小击中板的电子与点最远处相切于点，此时电子的轨迹半径为 ，并恰d能落在板上处所
7、以电子能击中板区域和板区域在 中，有 ， dMFHF3)2(22，smdPQM/1068.)32(3， dN102电子能击中板点右侧与点相距的范围电子能击中板点右侧与点相距m2368.2的范围210（）如图 6 所示，要使点发出的电子能击中点，则有， 解得 Bevr2sindr6108sinv取最大速度 时，有 ， ；m/10.374i 4arcsinmi取最小速度时有 ， vaxv/6in所以电子速度与 之间应满足，且 ， 6108sin2,41rcsi/102.3,/10876smsv【例 4】如图 11-3-16 所示，一足够长的矩形区域 abcd 内有磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里
8、的匀强磁场，现从 ad 边的中点 O 处，图 4ABQPABQPNMHF图 5图 6ABQPrvo4图 8DABCE1voR以垂直磁场且跟 ad 边成 30 角的速度方向射入一带电粒子已知粒子质量为 m，带电量为q，ad= l，不计粒子重力（1）若粒子从 ab 边上射出，则入射速度 v0 的范围是多少？（2）粒子在磁场中运动的最长时间为多少？ 解析：粒子在矩形区域内运动的边界状态如图：由几何关系：r 1=L,r2=L/3 粒子做匀速圆周运动 qvB=mv2/ R 即 r= mv / qB 对 r1=L 有：v 1=qBL / m 对 r1=L/3 有：v 2=qBL / 3m 讨论：（1）当
9、v0qBL / m 时粒子在 边上射出磁场，射出范围为 EF 段：（2）当 时，粒子在 边上的 GH 段射出，射出段 GH 的范围：（3）当 05BqL/4m；C使粒子的速度 VBqL/m； D使粒子速度BqL/4m5BqL/4m 时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在 O点，有 r2L/4，又由 r2mV 2/Bq=L/4 得V2BqL/4mV 2BqL/4m 时粒子能从左边穿出。4初速度为零的离子经电势差为 U 的电场加速后，从离子枪 T 中水平射出，经过一段路程后进入水平放置的两平行金属板 MN 和 PQ 之间，离子所经空间存在一磁感强度为 B 的匀强磁场如图 1 所示（不
10、考虑重力作用） ，离子的比荷 （q、m 分别是离子的电量和质量）在什么范围内，离子才能打在金属板上？解析：设从离子枪 T 射出的是正离子，则落在下板上（若是负离子则落在上板上），最小水平距离为 d，最大水平距离为 2d，下落距离为 d/2，若离子在电场中做圆周运动的轨迹半径为 r，落点距电子枪水平距离为 x，则： ， 当 x=d 时，r 1=5d /4； 当 x=2d 时，r 2=17d /4离子在离子枪中被加速后的速度为 ， 又： 故：因为： ，所以： 2233895UqBdmd5如图所示，在空间中固定放置一绝缘材料制成的边长为 L 的刚性等边三边形框架 DEF， DE边上 S 点（ ）处有
11、一发射带正电的粒子源，发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于4LDDE 边向下.发射的电量皆为 q，质量皆为 m,但速度 v 有各种不同的值整个空间充满磁感应强度大小为 B，方向垂直截面向里的均匀磁场。设粒子与 DEF 边框碰撞时没有能量损失和电量传递。求：（1）带电粒子速度的大小为 v 时，做匀速圆周运动的半径（2）带电粒子速度 的大小取那些数值时，可使 S 点发出的粒子最终又垂直于 DE 边回到 S 点?7（3）这些粒子中，回到 S 点所用的最短时间是多少?解析:（1）带电粒子从 点垂直于 边以速度 射出后，做匀DEv速圆周运动，其圆心一定位于 边上，其半径 可由下式R求得，为 （1）2mv
12、qBRmvRqB(2)要求此粒子每次与 的三条边碰撞时都与边垂直，F且能回到 点，则 和 应满足以下条件：S1，2，3， （2）n由得 1，2，3， （3） (3)这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为T= 2R/ v将（1）式代入， 得T= 2m / qB （4）可见在 及 给定时 与 无关。粒子从 点出发最后回到 点的过程中，与 的边碰B/qTvSS撞次数愈少，所经历的时间就愈少，所以应取 1，由图可看出该粒子的轨迹包括3个半圆n和3个圆心角为300的圆弧，所需时间为t =3T/2+35T/6=4T= 8m / qB （5）6一磁场宽度为 L，磁感应强度为 B，一质量为 m、带电量为 q 的粒
13、子以某一初速射入如图所示的匀强磁场中要使此带电粒子穿过这个磁场，则带电粒子的初速度应为多大？解析:如果带电粒子带正电，带电粒子在磁场中沿逆时针方向运动，当运动轨迹刚好与磁场右边界相切时，轨道半径 R-Rcos=L，R=L/（1-cos） ，又R=mv/qB，则速度 v= ，即带电粒子要穿过磁场，速度要大/(1cos)qBLm于 ；如果带电粒子带负电，带电粒子在磁场中沿顺时针方向运动，当运动/(1cos)qBLm轨迹刚好与磁场右边界相切时，轨道半径 R+Rcos=L，R=L/（1+cos） ，则速度 v= ，带电粒子要穿过磁场，速度要大于/(1cos)qBL。 (1cos)qL8.如图1所示，在
14、真空中坐标 平面的 区域内，有磁感强度xy0的匀强磁场，方向与 平面垂直，在 轴上的TB20. x点，有一放射源，在 平面内向各个方向发射速率),(po的带正电的粒子，粒子的质量为 ，smv/1.4 kgm25106.电量为 ，求带电粒子能打到 轴上的范围Cq1806.y解析：带电粒子在磁场中运动时有 ，RvBq2LV)(4nD1图 2cmx/y/pBAo图 1ocmx/y/p8则 cmBqmvR10.106.0.18245如图 2 所示，当带电粒子打到 轴上方的 A 点与 P 连线正好为其圆轨迹的直径时，A 点y既为粒子能打到 轴上方的最高点因 ， ，yROpcR20则 cPAO3102当带电粒子的圆轨迹正好与 轴下方相切于点时，点既为粒子能打到 轴下方的最低y y点，易得 综上，带电粒子能打到 轴上的范围为：cmRByc310
