1、带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1圆心的确定方法一:洛伦兹力 F 指向圆心，根据 F v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出 v 的方向,再确定 F 的方向，沿两个洛伦兹力 F 的方向画其延长线，两
2、延长线的交点即为圆心，方法二:或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图 1 所示。2半径的确定和计算利用平面几何关系!，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：粒子速度的偏转角 等于转过的粒子轨迹圆心角 ，并等于 AB 弦与切线的夹角（弦切角） 的 2 倍，如图 2 所示，即 = 2 。相对的弦切角 相等，与相邻的弦切角 互补，即 + =180。3粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角 与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于 360计算出圆心角 的大小，并由表达式 ，确定通过该段圆
3、弧所用的时间，其中 T 即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间 t 越长，注意 t 与运动轨迹的长短无关。4带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析穿过矩形磁场区：如图 3 所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由 sin =L/R 求出；（ 、 L 和 R 见图标）b、带电粒子的侧移由 R2=L2-（ R-y） 2解出；（ y 见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由 得出。穿过圆形磁场区：如图 4 所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由 求出；（ 、 r 和 R 见图标）b、带
4、电粒子在磁场中经历的时间由 得出。二、带电粒子在有界磁场中运动类型的分析1给定有界磁场 B（1）给定入射速度的大小和方向，判断带电粒子出射点或其它【例 1】（2001 年江苏省高考试题）如图 5 所示，在 ylR，如图 9 所示，因朝不同方向发射的 粒子的圆轨迹都过 S，由此可知，某一圆轨迹在图中 N 左侧与 ab 相切，则此切点 P1就是 粒子能打中的左侧最远点。为定出 P1点的位置（我的点评-根据粒子在磁场中做圆周运动的特点，做辅助线！待求线段长度转换！-构成三角形！），可作平行于 ab 的直线 cd， cd 到 ab 的距离为 R，以 S 为圆心， R 为半径，作弧交 cd 于 Q 点，
5、过 Q 作 ab 的垂线，它与 ab 的交点即为 P1。，再考虑 N 的右侧。任何 粒子在运动中离 S 的距离不可能超过 2R，以 2R 为半径、 S为圆心作圆，交 ab 于 N 右侧的 P2点，此即右侧能打到的最远点。由图中几何关系得，所求长度为 P1P2=NP1+NP2，代入数值得 P1P2=20cm。点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了。但由于入射速度的方向发生改变，从而改变了该粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图（对应的临界状态的速度的方向），再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围
6、。2给定动态有界磁场（1）给定入射速度的大小和方向，判定粒子出射点的位置【例 4】（2006 年天津市理综试题）在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图 10 所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿 -x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与y 轴的交点 C 处沿 +y 方向飞出。（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 q/m；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为 B，该粒子仍从A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60角，求磁感
7、应强度 B多大？此次粒子在磁场中运动所用时间 t 是多少？解析：（1）由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。如图 11 所示，粒子由 A 点射入，由 C 点飞出，其速度方向改变了 90，则粒子轨迹半径 r=R，又，（核心公式！）则粒子的荷质比为 。（2）粒子从 D 点飞出磁场速度方向改变了 60角，故 AD 弧所对圆心角 60，粒子做圆周运动的半径 ，又 （核心公式的变形！），所以 ，粒子在磁场中飞行时间： 。（我的直观理解-速度不变，转角减小，表明向心力减小，磁场强度降低。另一种直观快速理解-速度相同时，磁场减小，转角减小磁场为零时，直线运动，方向不变。点评：本题给定带电粒子在
8、有界磁场中运动的入射速度的大小和方向，但由于有界磁场发生改变（包括磁感应强度的大小或方向的改变），从而改变了该粒子在有界磁场中运动的轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射点的位置。（2）给定入射速度和出射速度的大小和方向，判定动态有界磁场的边界位置（另一文档由此题！）【例 5】（1994 年全国高考试题）如图 12 所示，一带电质点，质量为 m，电量为 q，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v 射出
9、，可在适当的地方加一个垂直于 xy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。解析：质点在磁场中作半径为 R 的圆周运动，qvB=（ Mv2） /R，得 R=（ MV） /（ qB）。根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于 R 的圆上的 1/4 圆周（由入射、出射角度得到，而且粒子经过的空间一定有磁场），这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。如图 13 所示，过 a 点作平行于 x 轴的直线，过 b 点作平行于 y 轴的直线，则与这两直线均相距 R 的 O点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以 O为圆心
10、、R 为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧 MN， M 点和 N 点应在所求圆形磁场区域的边界上。o2o1bayxo在通过 M、 N 两点的不同的圆周中，最小的一个是以 MN 连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：，所求磁场区域如图 13 所示中实线圆所示。点评：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁场发生改变（磁感应强度不变，但磁场区域在改变），从而改变了该粒子在有界磁场中运动的轨迹图，导致粒子的出射点位置变化。在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒子运动的轨迹图，确定临界状态的粒子运动轨迹图，再利用轨迹半径与几何关系确定对应的磁场
11、区域的位置。【巩固练习】1（2005 年理综 I）如图 14 所示，在一水平放置的平板 MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为 m 带电量为+ q 的粒子，以相同的速率 v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔 O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中 。哪个图是正确的？A B CD答案：A分析思路-（1）已知条件特点，V 相同，且垂直平面轨迹圆半径相同；（2）O 点左面、右面的轨迹不对称（不对称为一般结论，前面已做题目，由此判断答案 B、D 错误，在 A、B 中 B 是负电荷轨迹，由此判断 A 对
12、。）。图形不对称的具体分析-由 V 与 MN 成零度开始分析，逐渐增加角度；阴影边缘的分析-极限角度、特殊角度，轨迹圆特性（半径均为为 R）（a）V 与 MN 夹角为零度-粒子与 O 点的垂直距离最大（红色圆）（b）V 与 MN 夹角为 90-粒子与 O 点的水平距离最大（蓝色圆）（c）其他阴影部分的获得方法-红色、蓝色圆通过 0 点，其他速度对的圆也都通过 0 点，O 点是这些圆的公共点，将红色圆向左旋转，保持 0 点在圆上，即得到包络线。另一方法：通过用圆规画一系列的半径相同的圆（用硬币一元更快捷！），且通过 0 点，这些圆离开 O 点的最远距离为2R。快速分析方法：抓住特点-这些圆过 0
13、 点，离 O 点的最远距离为 2R。2.（一个省的高考题不会突变,增加新型难题） 如图 4 所示，在 xOy 平面内有许多电子（质量为 m，电量为 e），从坐标原点 O 不断的以相同大小的速度 沿不同方向射入 I 象限，现加一个垂直于 xOy 平面 的磁感应强度为 B 的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于 x 轴向x 方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积。解析：设磁场 B 的方向垂直纸面 向里（评注:必须先假设，否则无法确定电子环绕方向,而且要注意电子入射速速的的角度分布:在第一象限.）首先确定电子可以到达的极限位置，这对应沿正 y 轴入射进入第一象限的电子。当电子在磁场沿圆周转
14、向，速度平行正 x 轴时，电子轨迹为四分之一圆弧。当电子速度平行正x 轴时，电子到达圆的最高点。当电子速度偏离正 y 方向，速度角度与负 y 轴的夹角为 。对应的轨迹圆半径与前面的相同，轨迹圆整体向下偏转。在此圆上，电子速度与正 x 轴平行时，电子在圆周上的形成小于电子轨迹为四分之一圆弧。本题要求最小磁场面积，必须先得到磁场形状，而磁场形状由题目条件所限制，关键的条件是出射点出电子的速度平行正 x 轴。在出射点后，磁场可以为零，因此速度平行正x 轴的出射点过程磁场的边界，入射角度改变，出射位置也改变。欲求该点的轨迹方程，一般方法是：求出该点坐标满足的制约方程。该点的坐标可以由速度平行正 x 轴
15、求出，该点坐标满足的制约方程为半径为 R。在该问题中，从 A 点出磁场时其速度方向平行于 x 轴，也就是圆弧在 y 轴正向的最高点，如图 5 所示，所有满足题意的点可看作是过定点 O，以半径为 的圆在纸面内绕 O 转动 90角过程中圆弧最高点的集合，如图 5 所示。（A 为其上一点）。设 A 点坐标为（x，y），对应于圆心为 ，由几何关系知：， Rcos-y可得由圆的知识得，满足题意要求的磁场区域边界是一段 圆弧，对应圆心为 ，坐标（O，R ）。最小磁场区域的面积即为图中阴影部分面积边长为 R 的正方形面积-2*（边长为 R 的正方形面积-半径为 R 的四分之一圆面积）=综上所述，运动的带电粒
16、子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出运动轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径 R、周期 T 的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难。此类题的一般性规律:(1) 都是有界的均匀磁场;(2) 粒子在某一定点射入磁场,通常速度为定值,一定角度有分布.由此圆的半径一样,任意轨迹圆为某一圆绕固定点(就是入射点)旋转得到。速度相同，圆的半径一样，注意该结果的引深结论-粒子离开入射点的最大距离直线距离为直径。(3) 不盲目画轨迹圆，而是注意粒子入射、出射的极限（最大、最小）角度、特殊角度分析，注
17、意画该条件的轨迹图，用硬币画图（可以现场演示）。只分析，不画图，无法将过程完全分析清楚。(4) 粒子可以到达区域不对称.(5) 设计计算的核心公式为 ,以及变形.在计算中需要结合几何、三角知识。(6) 确定的圆周运动的关键参数：圆心、半径（周期，部分圆周的运动时间，在后面）圆周运动的确定圆心、半径的方法：（a）圆心在角平分线上；（b）圆心在弦中垂线上，（c）圆周运动速度均垂直于各自对应的向心力洛伦兹力，圆心在洛伦兹力上。上面两条线的交点就是圆心。这两个洛伦兹力延长线交点即为圆心然后在根据半径垂直入射、出射速度得到圆心。(7) 用一个一元硬币作图，已亲手试过，效果极好！，比随手画圆好，原因：半径
18、、位置不确定，不能保证过固定点，得不到准确几何尺寸、位置关系。(8) 圆周运动的半径 R mv/qB：当磁场 B 相等时，速度大的转大圈，小的转小圈；当速度一定时，磁场大转小圈，磁场小转大圈，没有磁场，直线运动（半径为无穷大） 。再次提醒：讨论圆周运动时，一定借助核心公式 ，及其频率（记忆方法-q、B 愈大，洛伦兹力大，根据牛二定律，粒子转向快，mq所以圆频率与 qB 成正比，同理与 m 成反比）、周期（） ，半径公式。 是核心公式，其他q2f1T是变形、衍生公式。(9) 粒子在磁场中运动时间的确定：关键确定是粒子在磁场中转过了多少分之圆周，对应时间为多少分之圆周期。圆弧的确定- 求半径所夹的圆心角-求圆上两点之间速度的偏向角。穿越磁场矩形磁场的时间：也是求部分圆周运动时间。(10) 注意几何知识应用 (11) 在方向不同的相邻有界磁场中，由于洛伦兹不做功，速度速度不变，轨迹圆的半径不变。
