1、 1 计数应 用题 教学目 标 （1 ） 掌 握排 列组 合一 些常见 的题 型及 解题 方法 ， 能够 运用 两个 原理 及排 列组合 概念 解决 排 列组合 问题 ； （2 ）提 高合 理选 用知 识解决 问题 的能 力 教学重 点， 难点 排列、 组合 综合 问题 教学过 程 一数 学运 用 1 例 题： 例 12 名 女生 ，4 名男 生 排成一 排 （1 ）2 名女 生相 邻的 不同排 法共 有多 少种 ？ （2 ）2 名女 生不 相邻 的不同 排法 共有 多少 种？ （3 ）女 生甲 必须 排在 女生乙 的左 边（ 不一 定相 邻）的 不同 排法 共有 多少 种？ 解： （1） “
2、捆绑 法” ： 将2 名女生 看成 一个 元 素， 与4 名男 生共5 个 元素 排成 一排 ， 共 有 5 5 A 种 排法， 又因 为 2 名相 邻女 生有 2 2 A 种排法 ，因 此不 同的 排法种 数是 52 52 240 AA （2 ）方 法一 ： （ 插空 法 ） 分两步 完成 ： 第一步 ， 将 4 名 男生 排成 一排， 有 4 4 A 种排法 ； 第二步 ， 排 2 名女 生 由 于 2 名 女生 不相 邻 ， 故 可 在4 名 男生 之间 及两 端 的5 个位 置中 选出2 个排 2 名女 生， 有 2 5 A 种排法 根据 分步计 数原 理， 不同 的排法 种数 是 4
3、2 45 480 AA 种 方法二 ： （ 间接 法） 因为 2 名 女生 的排 法只 有 相邻与 不相 邻两 种情 况， 所以由 （1 ）的 结果 可知 ，2 名女生 不相 邻 的不同 排法 共有 6 5 2 6 5 2 480 A A A 种 （3 ）方 法一 ： （ 特殊 元 素优先 考虑 ） 分 2 步 完成 ： 第一步 ， 排 2 名 女生 由 于女生 顺序 已定 ，故 可 从6 个位 置中 选出2 个 位置 ，即 2 6 C ； 2 第二步 ， 排 4 名 男生 将4 名男 生排 在剩 下的4 个 位置上 ，有 4 4 A 种方 法 根据分 步计 数原 理， 不同 的排法 种数 是
4、 24 64 360 CA 方法二 ： （ 除法 ） 如果 将 6 名 学生 全排 列 ， 共有 6 6 A 种排法 其中 ， 在男 生 位置确 定之 后 ， 女 生的 排 法数有 2 2 A 种， 因为女 生的 顺序 已定 ，所 以在这 2 2 A 中排 法中 ，只 有一 种符合 要求 ， 故符合 要求 的排 法数 为 6 6 2 2 360 A A 种 例 2 高 二（1 ）班 有 30 名男生 ，20 名 女生 ， 从 50 名 学生 中 3 名男 生，2 名女生 分别 担任 班 长、副 班长 、学 习委 员、 文娱委 员、 体育 委员 ，共 有多少 种不 同的 选法 ？ 解：完 成这
5、件事 分三 步进 行： 第一步 ， 从 30 名男 生中 选 3 名 男生 ，有 3 30 C 种方 法； 第二步 ， 从 20 名男 生中 选 2 名 男生 ，有 2 20 C 种方 法； 第一步 ，将 选出 的 5 名学 生进行 分工 ，即 全排 列， 有 5 5 A 种方 法 根据分 步计 数原 理， 共有 2 2 5 30 20 5 92568000 C C A 种选法 答：共 有 92568000 种不 同 的选法 思考： 如果 上述 问题 解答 分两步 ：先 从 30 名男 生中 选 3 名 担任 3 种不 同职务 ，再 从 20 名女 生中 选 2 名 女生 担任 不同 职务 ，
6、 则 结果 为 32 30 20 AA ， 这样 做 对吗？ 为什 么？ （ 从 30 名 男生中 选 3 名担 任3 种不 同职 务的 方法 数应为 33 30 5 CA ） 说明： 排列 、组 合综 合问 题通常 遵 循“先 组合 后排 列”的 原则 例 3 某考 生打 算从 7 所重 点大学 中选 3 所填 在第 一档 次的 3 个志愿 栏内 ，其 中 A 校定为第 一 志愿； 再从 5 所一般 大学 中 选 3 所 填在第 二档 次的 三个 志愿栏 内， 其 中 B 、 C 两校 必选 ， 且 B 在 C 前 问 ：此考 生共 有多 少种不 同的 填表 方法 ？ 解 ：先 填第 一档
7、次的 三个志 愿栏 ：因 A 校 定 为第 一档次 的第 一志 愿， 故第 一档次 的二 、三 志 3 愿有 2 6 A 种填法；再填第 二档 次的三个志愿栏： B 、 C 两校 有 2 3 C 种填法，剩余的一 个志 愿栏 有 1 3 A 种填 法 由分 步计 数原 理知， 此考 生不 同的 填表 方法共 有 2 6 A 2 3 C 1 3 270 A （种） 例 4 有 10 只不同的试验 产品，其中有 4 只次品， 6 只 正品，现每次取一只测试 ，直到 4 只 次品全 测出 为止 ，求 最后 一只次 品正 好在 第五 次测 试时被 发现 的不 同情 形有 多少种 ？ 解：本 题的 实质
8、 是， 前五 次测试 中有 1 只正 品， 4 只次 品，且 第五 次测 试的 是次 品 思路一 ： 设想 有五个 位置 ， 先从 6 只正品 中任 选 1 只， 放 在前四 个位 置的 任一 个上 ， 有 11 64 CC 种 方 法 ； 再 把 4 只次品在剩下的四个位置上任意排列，有 4 4 A 种 排 法 故 不 同 的 情 形 共 有 1 1 4 6 4 4 576 CC A 种 五回 顾小 结： （1 ） 解决 有关 计数 的 应用题 时 ， 要 仔细 分析 事 件的发 生 、 发 展过 程 ， 弄 清问题 究竟 是排 列 问题还 是组 合问 题， 还是 应直接 利用 分类 计数 原理 或分步 计数 原理 解决 一 个较复 杂的 问题 往 往是分 类与 分步 交织 在一 起，要 准确 分清 ，容 易产 生的错 误是 遗漏 和重 复计 数； （2 ） 解 决计 数问 题的 常用策 略有 ： （1 ） 特 殊元 素 优先安 排； （2） 排列 组合 混 合题要 先选 （组 合）后排； （3） 相邻问 题 捆绑处理 （先整 体后局 部） ； （4）不 相邻问 题插空 处 理； （5） 顺序一 定问题 除法 处理 ； （6 ）正 难则反 ，合 理转 化 六课 外作 业：
