1、专题复习 函数应用题类型之一 与函数有关的最优化问题函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，在人们的生产、生活中有着广泛的应用，利用函数的解析式、图象、性质求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用1.（莆田市）枇杷是莆田名果之一，某果园有 100 棵枇杷树。每棵平均产量为 40 千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量 0.25 千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？注：抛物线 的顶点坐标是2y
2、axbc24(,)bac2.（贵阳市）某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用设每个房间每天的定价增加 元求：x（1）房间每天的入住量 （间）关于 （元）的函数关系式y（2）该宾馆每天的房间收费 （元）关于 （元）的函数关系式zx（3）该宾馆客房部每天的利润 （元）关于 （元）的函数关系式；当每个房间的定价w为每天多少元时， 有最大值？最大值是多少？类型之二 图表信息题本类问题是指通过图形、图象、表格及一定的文字说明来提供实
3、际情境的一类应用题，解题时要通过观察、比较、分析，从中提取相关信息，建立数学模型，最终达到解决问题的目的。3（08 江苏南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 与 之间的函(h)x(km)yyx数关系根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点 的实际意义；B图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段 所表示的 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；Cyxx问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇 30 分
4、钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ABCDOy/km90012 x/h4类型之三 方案设计方案设计问题，是根据实际情境建立函数关系式，利用函数的有关知识选择最佳方案，判断方案是否合理，提出方案实施的见解等。4某房地产开发公司计划建 A、B 两种户型的住房共 80 套，该公司所筹资金不少于 2090万元，但不超过 2096 万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：A B成本（万元/套） 25 28售价（万元/套） 30 34（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）该公司如何建房获得利润最大？（3）根据市场调查，每套 B 型住房的售
5、价不会改变，每套 A型住房的售价将会提高 a 万元（a0），且所建的两种住房可全部售出该公司又将如何建房获得利润最大？（注：利润=售价成本）类型之四 分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。 5.（赣州市）年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴 0.2 元的办法补偿果农下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后
6、脐橙销售总收入 y（万元）与销售量 x（吨）的关系图请结合图象回答以下问题：（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入 11.7 万元，求果园共销售了多少吨脐橙？（3）求出台该项优惠政策后 y 与 x 的函数关系式；去年“绿荫”果园销售 30 吨，总收入为 10.25 万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平6（2009 成都）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店该店采购进一种今年新上市的饰品进行了 30 天的试销售，购进价格为 2
7、0 元件销售结束后，得知日销售量 P(件)与销售时间 x(天)之间有如下关系：P=-2x+80(1x30，且 x 为整数)；又知前 20 天的销售价格 1Q (元/件)与销售时间 x(天)之间有如下关系：1Q302x (1x20，且 x 为整数)，后 10 天的销售价格 2Q (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系： 2Q=45(21x30，且 x 为整数)(1)试写出该商店前 20 天的日销售利润 1R(元)和后 l0 天的日销售利润 2R(元)分别与销售时间 x(天)之间的函数关系式；(2)请问在这 30 天的试销售中，哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润注：销售利润销售收入一购
8、进成本7通过实验研究，专家们发现：一个会场听众听讲的注意力指标数是随着演讲者演讲时间的变化而变化的，演讲开始时，听众的兴趣激增，中间有一段时间，听众的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。听众注意力指标数 y 随时间 x(分钟)变化的函数图像如下图所示(y 越大表示听众注意力越集中)。当 0x10 时，图像是抛物线的一部分，当 10x20和 20x40 时，图像是线段。(1)当 0x10 时，求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式；(2)王标同学竞选学生会干部需要演讲 24 分钟，问他能否经过适当安排，使听众在听他的演讲时，注意力的指标数都不低于 36？若能，请写出他安排的时间段；若不能，也
9、请说明理由。8（2008 仙桃）华宇公司获得授权生产某种奥运纪念品，经市场调查分析，该纪念品的销售量 1y（万件）与纪念品的价格 x（元件）之间的函数图象如图所示，该公司纪念品的生产数量 2（万件）与纪念品的价格 （元件）近似满足函数关系式 8523xy.，若每件纪念品的价格不小于 20 元，且不大于 40 元.请解答下列问题：（1）求 1y与 x的函数关系式，并写出 x的取值范围；（2）当价格 为何值时，使得纪念品产销平衡（生产量与销售量相等）；（3）当生产量低于销售量时，政府常通过向公司补贴纪念品的价格差来提高生产量，促成新的产销平衡.若要使新的产销平衡时销售量达到 46 万件，政府应对该
10、10203040500（元件）x（万件）y10 20 30 40)60,2(A)28,36(B60 ),4(C纪念品每件补贴多少元？9某加油站五月份营销一种油品的销售利润 （万元）与销售量 （万升）之间函数关系yx的图象如图中折线所示，该加油站截止到 13 日调价时的销售利润为 4 万元，截止至 15 日进油时的销售利润为 5.5 万元（销售利润（售价成本价）销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量 为多少时，销售利润为 4 万元；x（2）分别求出线段 AB 与 BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，
11、在 OA、AB、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）10（扬州 2006 年中考题）我市某企业生产的一批产品上市后 40 天内全部售完，该企业对这一批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查表一、表二分别是国内、国外市场的日销售量 y1、y2（万件）与时间 t（t 为整数,单位：天）的部分对应值表一：国内市场的日销售情况 时间 t（天） 0 1 2 10 20 30 38 39 40日销售量 y1（万件） 0 5.85 11.4 45 60 45 11.4 5.85 0表二：国外市场的日销售情况 时间 t（天） 0 1 2 3 25 29 30 31 32 33 3
12、9 40日销售量 y2（万件） 0 2 4 6 50 58 60 54 48 42 6 0（ 1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示 y1 与t 的变化规律，写出 y1 与 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（2）分别探求该产品在国外市场上市 30 天前与 30 天后（含 30 天）的日销售量 y2 与时间 t 所符合的函数关系式，并写出相应自变量 t 的取值范围；1 日：有库存 6 万升，成本价 4 元/升，售价 5 元/升13 日：售价调整为 5.5 元/升15 日：进油 4 万升，成本价 4.5 元/升31 日：本月共销售 10 万升五月份销售记录O
13、 x（万升）y（万元）CBA45.510（3）设国内、外市场的日销售总量为 y 万件，写出 y 与时间 t 的函数关系式试用所得函数关系式判断上市后第几天国内、外市场的日销售总量 y 最大，并求出此时的最大值答案部分1.【解析】先建立函数关系式，把它转化为二次函数的一般形式，然后根据二次函数的顶点坐标公式进行求极值.【答案】解：设增种 x 棵树，果园的总产量为 y 千克，依题意得：y=（100 + x）(40 0.25x ) =4000 25x + 40 x 0,25x2 = - 0.25 x2 + 15x + 4000因为 a= - 0.250，所以当 ，1530.bay 有最大值224(.
14、5)40acb最 大 值答：增种 30 棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多，最多总产量是 4225 千克.2.【解析】解决在产品的营销过程中如何获得最大利润的“每每型”试题成为近年中考的热点问题。每每型”试题的特点就是每下降，就每减少，或每增长，就每减少。解决这类问题的关键就是找到房价增加后,该宾馆每天的入住量。“每每型”试题都可以转化为二次函数最值问题，利用二次函数的图像和性质加以解决.【答案】（1） 601xy（2） 2()401z x（3） 0661wx2 2148(0)5当 x=210 时， 有最大值此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天 410 元时， 有最
15、大值，且最大值w是 15210 元3. 解：（1）900； 1 分（2）图中点 的实际意义是：当慢车行驶 4h 时，慢车和快车相遇 2 分B（3）由图象可知，慢车 12h 行驶的路程为 900km，所以慢车的速度为 ； 3 分9075(km/h)12当慢车行驶 4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为 900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为 ，所以快车的速度为 150km/h 4 分(/)4（4）根据题意，快车行驶 900km 到达乙地，所以快车行驶 到达乙地，此时两906(h)15车之间的距离为 ，所以点 的坐标为 67540(km)C(4，设线段 所表示的 与 之间的函数关系式为
16、 ，把 ， 代入得BCyxykxb0)， (45)，0456.kb，解得 290.b，所以，线段 所表示的 与 之间的函数关系式为 6 分BCyx2590yx自变量 的取值范围是 7 分x46 （5）慢车与第一列快车相遇 30 分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h把 代入 ，得 4.2590yx12.5y此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是 112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是 ，即第二列快车比第一列快车晚出发 0.75h17(h)4解：（1）设 A 种户型住房建 x 套，则 209025x+28（80x）2096，48x50，x 取整数 48，4
17、9，50，有三种建房方案 （2）公司获利润 W=5x+6（80x）=480x，当 x=48 时，W 最大=432 万元（3）W=（5+a）x+6（80x）=480+（a1）x，当 01 时，x=50，W 最大 5.【解析】从函数图象容易看出前面一段是出台该项优惠政策前的情况，后面一段是出台该项优惠政策后的情况，前面一段所有的量已经知道，容易求出该果园共销售脐橙的重量，为后面一段的求值奠定了基础.【答案】解：（1）政策出台前的脐橙售价为； 430元 元 /千 克千 克（2）设剩余脐橙为 x 吨,则 103（39+0.2）x=11.710 4 4(1.7)09.2x=31吨 ；该果园共销售了 10
18、 +30 = 40 吨脐橙 ； （3）设这个一次函数的解析式为 ， (104)ymxn代入两点（10，3）、（40，11.7）得： 10,4;mn函数关系式为 ，=0.29,1;mn解 得 0.29.1 (40)yx令 .5(.5.y万 元 ） ， 则 ，3 x解 得 吨 ）答：（1）原售价是 3 元/千克；（ 2）果园共销售 40 吨脐橙；（3）函数关系式为；0.29. (140)x今年至少要销售 35 吨，总收入才达到去年水平6.7. 解：(1)由抛物线 y=a2+bx+c 过(0，20)、(5,39)、(10,48)三点，解得：a=-0.2，b=4.8，c=20即 y=-0.2x2+4.
19、8x+20(0x10)(2)令式中的 y=36，即-O.2x 2+4.8x+20=36，解得：x 1=4，x 2=20(舍去) 在第 20-40 分钟范围内，一次函数 y=kx+b 经过点(20，48)、(40，20)，即,解得即函数解析式为 y=-1.4x+76当 y=36 时， -4= 24王标的演讲从第 4 分钟开始能有 24 分钟时间使学生的注意力指标效一直不低于36。8 解：（1）设 y与 x的函数解析式为： bkxy，将点 )60,2(A、 )28,3(B 代入bkxy得：bk36280 解得： 1 1y与 x的函数关系式为： )4028(281xy（3 分）（2）当 280时，有
20、 5解得： 43yx（5 分）当 028时，有 2853yx解得： 283yx当价格为 30 元或 38 元，可使公司产销平衡.（7 分）（3）当 461y时，则 85231x， 261x当 2时，则 0， 72 1x政府对每件纪念品应补贴 1 元（10 分）9 解：解法一：（1）根据题意，当销售利润为 4 万元，销售量为 （万升）4(5)答：销售量 为 4 万升时销售利润为 4 万元 （3 分）x（2）点 的坐标为 ，从 13 日到 15 日利润为 （万元），A(4)， 5.41.所以销售量为 （万升），所以点 的坐标为 1.51B(5)，设线段 所对应的函数关系式为 ，则 解得Bykxb5
21、kb， .2k，线段 所对应的函数关系式为 （6 分）A1.2(4)x 从 15 日到 31 日销售 5 万升，利润为 （万元）本月销售该油品的利润为 （万元），所以点 的坐标为 .5C(10)，设线段 所对应的函数关系式为 ，则 解得BCymxn5.10.mn， .，所以线段 所对应的函数关系式为 （9 分）.() （3）线段 （12 分）A解法二：（1）根据题意，线段 所对应的函数关系式为 ，即OA(54)yx(04)yx 当 时， 答：销售量为 4 万升时，销售利润为 4 万元（3 分）（2）根据题意，线段 对应的函数关系式为 ，AB14(5.)(4yx即 （6 分）1.5(5)yx 把
22、 代入 ，得 ，所以点 的坐标为 .2yxB(.)，截止到 15 日进油时的库存量为 （万升）61当销售量大于 5 万升时，即线段 所对应的销售关系中，C每升油的成本价 （元）14.54所以，线段 所对应的函数关系为BC （9 分）y(.52)(.)(1.(10)xx （3）线段 （12 分）A10 解：（1）通过描点,画图或分析表一中数据可知 y1是 t 的二次函数。设 y1=a（t-20）2+60，把 t1=0，y 1=0.代入得 a= ，故 y1= t2+6t(0t40 且 t 为整数)。经验证，表一中的所有数据都符合此解析式。 （2）通过描点,画图或分析表二中数据可知当 0t30 时
23、y2是 t 的正比例函数；当 30t40 时 y2是 t 的一次函数。可求得 ，经验证，表二中的所有数据都符合此解析式。（3）由 y=y1+y2 得，经比 较可知第 27 天时 y 有最大值为 106.65 万件。11.解：(1) 由图 10 可得， 当 0 t30 时，设市场的日销售量 y k t 点（30，60）在图象上， 6030 k k2即 y2 t 当 30 t40 时，设市场的日销售量 y k1t+b 因为点（30，60）和（40，0）在图象上，所以 解得 k16， b240 y6 t240 综上可知，当 0 t30 时，市场的日销售量 y2 t；当 30 t40 时，市场的日销售量 y 6t240(2)当 0 t20 时，每件产品的日销售利润为 z3 t； 当 20 t40 时，每件产品的日销售利润为 z60设日销售利润为 W 万元，由题意当 0 t20 时，W3 t2t6 t2； 当 t20 时，产品的日销售利润 W 最大等于 2400 万元 当 20 t30 时，W602 t =120t 当 t30 时，产品的日销售利润 y 最大等于 3600 万元；当 30 t40 时，产品的日销售利润 y60(6 t240)； 当 t30 时，产品的日销售利润 y 最大等于 3600 万元综上可知，当 t30 天时，这家公司市场的日销售利润最大为 3600 万元143
