1、1解排列组合应用题的 21 种策略1.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种数有（ ,ABCDE,ABA）A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种解析：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于 4 人的全排列， 种，答案： ., 42D2.相离问题插空排: 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440 种
2、 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 种，再用甲乙去插 6 个空位有 种，不同的排法种数是5A26A种，选 .526303.定序问题缩倍法: 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法种数,ABCDEBA,B是（ ）A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种解析： 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即A种，选 .516024.标号排位问题分步法: 把元素排到指定位置上，可先把某
3、个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3 ，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 331=9 种填法，选 .B5.有序分配问题逐分法: 有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人
4、中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）2A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选 .210875C（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有（ ）A、 种 B、 种 C、 种 D、 种4128C4128343128A41283A答案： .6.全员分配问题分组法:例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的
5、保送方案有多少种？解析：把四名学生分成 3 组有 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 种，故共有 种方24C3A2346CA法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种答案： .7.名额分配问题隔板法:例 7：10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在10 个小球的 9 个
6、空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.6984C8.限制条件的分配问题分类法:例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案 种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学48A生有 方法，所以共有 ；若乙参加而甲不参加同理也有 种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，38A38 38A有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 种
7、，共有 方法.所以共有不同的派遣方法总数2827为 种.4328874039.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计 .例 9（1）由数字 0，1，2，3，4 ，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种解析：按题意，个位数字只可能是 0，1，2 ，3，4 共 5 种情况，分别有 个，5A个，合并总计 300 个,选 .131313142,AB（2）从 1，2， 3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法（不计顺
8、序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，他们的乘积就能被 7 整除，将这 100 个数组成的集合视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做 共有 14 个元素,不能被 7 整除的数组成的集合记,14298A做 共有 86 个元素；由此可知，从 中任取 2 个元素的取法有 ，从 中任取一个，1,234,0A A214CA又从 中任取一个共有 ，两种情形共符合要求的取法有 种.1486C148695C（3）从 1，2， 3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集 ；能被 4
9、除余,0I ,210A1 的数集 ，能被 4 除余 2 的数集 ，能被 4 除余 3 的数集597B 2,698，易见这四个集合中每一个有 25 个元素；从 中任取两个数符合要；从 中各取一3,7D ,BD个数也符合要求；从 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C种.21255C10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.()()()nABnAB例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6 人中任取 4 人参赛的排列 ，A=
10、甲跑第一棒的排列 ，B=乙跑第四棒的排列 ，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.()()nIAnB4326545A11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？4解析：老师在中间三个位置上选一个有 种，4 名同学在其余 4 个位置上有 种方法；所以共有13A4A种。.14372A12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36 种
11、 B、120 种 C、720 种 D、1440 种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共 种，选 .6720AC（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 种，某 1 个元素排在后半段的四个位置24A中选一个有 种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有 种，故共有 种排法.14A5576013.“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法 :例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲
12、型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 种,选.3394570C解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有 台,选 .1254C14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法 .例 14.（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二
13、组各一个球的方法有 种，再排：在四个盒中每次排 3 个有 种，24C34A故共有 种.234CA（2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各 2 名，有 种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，故共有2C2A种.25410CA15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.5例 15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成 四面体，但 6 个表面和 6
14、 个对角面的四个顶点共48C面都不能构成四面体，所以四面体实际共有 个.48125（2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种解析：10 个点中任取 4 个点共有 种，其中四点共面的有三种情况： 在四面体的四个面上，每面内四410点共面的情况为 ，四个面共有 个；过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个；过棱上三点与6C6对棱中点的三角形共 6 个. 所以四点不共面的情况的种数是 种.410614C16.圆排问题单排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）
15、不同的排法nn才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列：在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，12323411,;,;,nnnaaa 个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的 元素全排列.! 1n例 16.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和4A右边，有 2 种方式，故不同的安排方式 种不同站法.52768说明：从 个不同元素中取出 个元素作圆形排列共有
16、 种不同排法.nm1mn17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法.n例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 种不同方案.618.复杂排列组合问题构造模型法:例 18.马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足
17、条件的关灯方案有多少种？6解析：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 种方法, 所以满足条件的35C关灯方案有 10 种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例 19.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2 ，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不
18、能对应，利用枚举法分析，25C如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4，5号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，因此总共装法数为 种.250C20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例 20.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？解析：先把 30030 分解成质因数的形式：30030=235711 13；依题意偶因数 2 必取，3，5，7，11， 13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为个.0123452CC（2）正方体
19、8 个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有 3 对异面直线，可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有48125C358=174 对.21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 21.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不
20、同的四边形，显然有 个，所410C以圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 个.410C（2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 到 的最短路径有多少种？AB7AB解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从 到 最短路线必须走 7 小段，其中：向东 4 段，向北 3 段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 种.47C22.相同元素的分配问题的利器：隔板法在排列组合教学中，经常会碰到一类相同 元素的分配问题，如果解法不当、很容易错解 或解法繁杂，本文通过唐山市的一道模拟试题说明这类问题的一般解法。例：
21、将 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球放入 4 各不同的盒子中的 3 个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？本题考查排列组合知识的综合应用思路一、1、先分组再分配。根据题意，先从 4 个盒子中选三个放置小球有 34C种方法。2、将 4 个白球分成 1、1、2 三组分别放入三个盒子，有 13种放法（因为小球完全相同，所以可以从 3 个盒子中选一个放 2 个小球） 。3、将 5 个黑球分成 1、1、3 三组或者 2、2、1 三组分别放到三个盒子中，各有 13种放法。4、将 6 个红球分成 2、2、2 或者 1、2、3 或者 1、1、4 三组，放到三个盒子
22、中分别有 1 种、 3A种、13C种放法。由分步计数原理可得 34C（ + ） （1+ 3A+C）=720 种思路二、1、先从 4 个盒子中选三个放置小球有 34种方法。2、注意到小球都是相同的，不妨给选出的盒子中分别放置三个颜色的小球各一个，先保证每个盒子中球的颜色齐全。现在剩下了 1 个白球、2 个黑球、3 个红球。3、1 个白球有 3C种放法。2 个黑球可能放到一个盒子中也可能分别放到两个盒子里，有 13C+ 2种放法。三个红球放到一个盒子里有 13种放法，放到两个盒子里必然分成 1、2 两组，有 23A种放法，放到三个盒子里只有一种方法。由分步计数原理可得 341（ 3+ 2C） （1
23、+ 23A+ 1）=720 种思路三、1、先从 4 个盒子中选三个放置小球有 4种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在 4个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球所产生的 3 个、4 个 5 个空挡中分别插入两个板。各有 23C、24C、 5种方法。3、由分步计数原理可得 34C25=720 种8总结：从上述三个思路上我们不难看出，第三个思路隔板法解决得干净利索。一般来说某些问题（如指标分配问题、信号灯问题等）因元素相同，如果在这些相同元素中找“空档” （不含两端） ，在“空档”中插入隔板，把这些元素分成若干“堆” ，把“堆”看作排列组合中的元素，这样问题就用求排列组合的方法来解决了。解决干净利索练习：1、 某校 10 名优秀团员名额分给高三年级 6 个班，每班至少 1 名，试问有多少种不同的分法？2、 求方程 x+y+z=10 的正整数解的个数。3、将 20 个相同的小球放入编号分别为 1，2，3，4 的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。答案：1、126 2、 3、96C186
