1、第 1 页 共 9 页 1高中应用题专题复习例 1建筑一个容积为 48 米 3，深为 3 米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为 a 元，池底每平方米的造价为 2a 元。把总造价 y 表示为底的一边长 x 米的函数，并指出函数的定义域。解：容积=底面积高= 48 底面积3 = 48 底面另一边长：m = x16池壁造价=池壁面积a = 2(3x + 3m )a = 6( x + )a = 6(x + )a 16池底造价=底面积2a =162a = 32a y = 6(x + )a + 32a ( x 0 )x16例 2. 有根木料长为 6 米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为
2、12，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计. 解：如图设 x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 7x 窗框的高为 3x，宽为 37x即窗框的面积 y = 3x = 7x2 + 6x ( 0 1020) 炮弹爆炸点的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线以 AB 为 x 轴、AB 中点为原点建立直角坐标系（如图） A( 700, 0 ), B( 700, 0 ) c = 700且 2a = 1020 a = 510 b2 =229900炮弹爆炸的轨迹方程是： ( x 0 )19612yx例 19如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现
3、要将救灾物资从 P 处紧急运往灾区. P 往灾区有两条道路 PA、PB，且 PA=110 公里， PB=150 公里，AB= 50 公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从 PA 和 PB 两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.解：要使沿 PA、PB 两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：（1）沿 PA 线路 （2）沿 PB 线路 （3）沿 PA、PB 线路都相同故分界线以第（3）种情况划分：即|PA| + |MA| = |PB| + |MB| 110 + |MA| = 150 + |MB| |MA|MB| = 40, 即知分界线是以 A、B 为焦点的
4、双曲线AB = 50 2c = 50 c = 25, 2a = 40 a = 20 b2 = 225若以 AB 为 x 轴、AB 的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是： （在矩形内的一段）15402y注意：确定分界线的原则是：从 P 沿 PA、PB 到分界线上点的距离 .练习：第 3 页 共 9 页 31 某森林出现火灾，火势正以每分钟 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在2m10火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 ，所消耗的灭火材料、2m50劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100
5、元，而烧毁一平方米森林损失费为 60 元（1）设派 x 名消防队员前去救火，用 t 分钟将火扑灭，试建立 与 的函数关系式；tx（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？2 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足： （k 为正的常数），假定车身长为 4m，当车速为lvd2160（km/h)时，车距为 2.66 个车身长。（1） 写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式;（2） 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？3 电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套
6、餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN 平行 CD）（1） 若通话时间为两小时，按方案 A，B 各付话费多少元？（2） 方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？（3） 通话时间在什么范围内，方案 B 比方案 A 优惠？5 某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元，草皮每平方米造价为 30 元(1)设半圆的半径 OA=r (米
7、),试建立塑胶跑道面积 S 与 的函数关系 S( ) (2)由于条件限制 30,4,问当 r取何值时,运动场造价最低?（精确到元）10 某厂家拟在 2008 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） x万件与年促销费用 m万元（ 1)mkx满 足 （ 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是 1万件。已知 2008 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）（1）将 2008 年该产品的利润 y 万元表示为年
8、促销费用 m万元的函数；（2）该厂家 2008 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？13 某民营企业生产 A、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)甲 乙(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资 (万元)的函数关系式；x(2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?16 某厂家拟在 2009 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） 万件
9、与年促x第 4 页 共 9 页 4销费用 万元满足 （ 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是 1 万0()m31kxm件. 已知 2009 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将 2009 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 万元的函数；m（2）该厂家 2009 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？17 某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的 80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按
10、以下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围 )40,2)50,)7,)90,获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为：4000.2+30=110（元）。设购买商品得到的优惠率=，试问商 品 的 标 价购 买 商 品 得 到 的 优 惠 额（1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500，800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 的优31惠率？18 如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形
11、花园 ，要求 B 在 上，D 在 上，ABCDAMPNAN且对角线 过 C 点，已知 AB=3 米，AD=2 米，MN（1 ）要使矩形 的面积大于 32 平方米，则 的长应在什么范围内 ?P(2)当 的长度是多少时，矩形 的面积最小?并求最小面积；AMPN(3)若 的长度不少于 6 米，则当 的长度是多少时，矩形 的面积最小？并求出最小面积。19 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 千克，配料的价格为 元/千8.1克，每次购买配料需支付运费 236 元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7 天以内（含7 天），无论重量多少，均按 10 元/天支付；超出
12、 7 天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03 元/千克支付.高考资源网（1）当 9 天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用 P 是多少元？高考资源网（2）设该厂 天购买一次配料，求该厂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数关系式，xxyx并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?高考资源网20 假设 A 型进口车关税税率在 2003 年是 100%，在 2008 年是 25%，在 2003 年 A 型进口车每辆价格为 64万元（其中含 32 万元关税税款）（1）已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车，2003 年每辆价格为 46 万元，若 A 型车的价
13、格只受关税降低的影响，为了保证 2008 年 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90%，B 型车价格要逐年等额降低，问每年至少下降多少万元？（2）某人在 2003 年将 33 万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 1.8%（5 年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么 5 年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按（1）中所述降价后的 B 型车一辆？（参考数据：1.018 51.093）参考答案第 5 页 共 9 页 51 解：（1）， 5 分21050xt（2）总损失为 y，则 y灭火劳务津贴车辆、器械装备费森林损失费y125 tx100 x60（500100
14、 t）9 分 6312x 20)2(0150x 11 分5)34x13 分3642当且仅当 ，即 x27 时， y 有最小值 3645014 分20)(102因为当 时， ，所以 ， 4 分6vld6. 06.1.260.2lk 6 分20.4d=+设每小时通过的车辆为 ，则 即 12 分Q104vQ2.40.4vv 660.240.24.vv ，当且仅当 ，即 时， 取最大值 15.3Q 60.24v501253答：当 时，大桥每小时通过的车辆最多16 分vkm/h3 设通话 x 分钟时，方案 A，B 的通话费分别为 (),ABfxf（1）当 x=120 时 ()fx=116 元 =168
15、元若通话时间为两小时，方案 A 付话费 116 元，方案 B 付话费 168 元（2）980616805(),()331A Bxfxfx当 50时 )Bf- (Bfx=0.3 方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费 0.3 元(3) 当 x时 )A6(Bff05由 )x得 803x综合：通话时间在 80(,3内方案 B 较优惠。5 解: (1)塑胶 跑道面积 22210() 48064()6rSr分分（2） 设运动场造价为 y xOy第 6 页 共 9 页 6808015(64)30(164)10328720,4yr rryr 分分函 数 是 的 减 函 数当 =运 动 场 造 价 最 低
16、 为 63510元 -4分6（1）依题意， )8()1(xx；又售价不能低于成本价，所以 所以 )50)(2)(xxfy，定义域为 2,0（2） 126810，化简得： 0138x 解得 43 所以 x 的取值范围是 10 解（1）由题意可知当 0m时， （万件） k即 22 分23x每件产品的销售价格为 )(1685.元x5 分2008 年的利润 )(1685.mxy m)123(84)029)(16m 8 分（2） 816,0时21,)(3298 maxyy 时万 元当 且 仅 当（万元）12 分答：该厂家 2008 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元14 分
17、11()因为 tanBD,所以 ABD的面积为 21tn( 0,)(2 分)设正方形 EFG的边长为 t,则由 FG,得 at,解得 t1an,则2an(1t)S(6 分)所以222tat ()S,则212(tan)1Sy(9 分)()因为 a(0,),所以 tnty(13 分)当且仅当 tn1时取等号,此时 2aBE.所以当 长为 a时, y有最小值 1(15 分)13(1) 设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元由题设 xkgf21)(,)(由图知 f(1)= ,故 k1= 又 4 45,2)4(kg第 7 页 共 9 页 7从而 7 分)0(4
18、5)(,0(41)( xgxf(2) 设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元)1(1)() fy令 则t10 )0(6524542ttty当 7.3,6,25maxx时时答: 当 A 产品投入 3.75 万元,则 B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为 万元 15 分16516（1）由题意可知，当 时， ， 即 ，01k2 ，每件产品的销售价格为 元.3x86.5x2009 年的利润 )(685.1mxy8 分m1234 )0(29)1(m（2） 时， .0()681 ，当且仅当 ，即 时， .15 分892y3maxy答：该厂家 2009
19、年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元.17（1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客的消费金额为：（元）0.获得奖券的金额为 130 元，得到的优惠率是%132（2）设商品的标价为 x 元，则 顾客消费金额（元）,805x满足 当 时，获得奖券的金额为 60 元；.6408.40当 时，获得奖券的金额为 100 元，由已知得5（1） 或（2）;5.,31x.6408.5031x不等式（1）无解；不等式（2）的解为 ，因此，当顾客购买标价在625，750元内的752商品，可得到不小于 的优惠率。318（1）设 米， ，则xAN2xND MDC 32 2 分xA 2
20、第 8 页 共 9 页 8 4 分06432x )8(或 5 分（2 ） 7 分21)()(2xxSAMPN231)(3x416此时 10 分x（3 ） 12)(3xSAMPN)6(令 ， 11 分tx243(ttf 21)(tf当 时，t0)(f 在 上递增 13 分3)(tf,4 27)(minft此时 14 分6x答：（1） 或38AN（2）当 的长度是 4 米时，矩形 的面积最小，最小面积为 24 平方米；AMPN（3）当 的长度是 6 米时，矩形 的面积最小，最小面积为 27 平方米。 15 分19（）当 9 天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P=70+ =88(元) 4 分 21
21、(0.（）（1）当 x7 时y=360x+10x+236=370x+236 5 分（2）当 x7 时y=360x+236+70+6( )+( )+2+1 7x6= 7 分432132x 8 分 ,670y设该厂 x 天购买一次配料平均每天支付的费用为 f(x)元11 分7,43213)(2xf，当 x7 时当且仅当 x=7 时 xxf6370)(第 9 页 共 9 页 9f(x)有最小值 （元）407286当 x7 时= 393 xf313)(2321)4(x当且仅当 x=12 时取等号393404当 x=12 时 f(x)有最小值 393 元 16 分20（1）2008 年 A 型车价格为 32+3225%=40（万元）设 B 型车每年下降 d 万元，2003，2003，2008 年 B 型车价格分别为 ，321,a为公差是d 的等差数列）626,(a %904即 35d故每年至少下降 2 万元。（2）2008 年到期时共有钱 33 5%)8.1(（万元）6091故 5 年到期后这笔钱够买一辆降价后的 B 型车。：
