1、1高中应用题专题复习例 1建筑一个容积为 48 米 3，深为 3 米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为 a 元，池底每平方米的造价为 2a 元。把总造价 y 表示为底的一边长 x 米的函数，并指出函数的定义域。解：容积=底面积高= 48 底面积3 = 48 底面另一边长：m = x16池壁造价=池壁面积a = 2(3x + 3m )a = 6( x + )a = 6(x + )a 16池底造价=底面积2a =162a = 32a y = 6(x + )a + 32a ( x 0 )x16例 2. 有根木料长为 6 米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为 12，问怎样利用木料，才
2、能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计. 解：如图设 x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 7x 窗框的高为 3x，宽为 37x即窗框的面积 y = 3x = 7x2 + 6x ( 0 1020) 炮弹爆炸点的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线以 AB 为 x 轴、AB 中点为原点建立直角坐标系（如图） A( 700, 0 ), B( 700, 0 ) c = 700且 2a = 1020 a = 510 b2 =229900炮弹爆炸的轨迹方程是： ( x 0 )19612yx例 19如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从 P 处紧
3、急运往灾区. P 往灾区有两条道路 PA、PB，且 PA=110 公里， PB=150 公里，AB= 50 公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从 PA 和 PB 两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.解：要使沿 PA、PB 两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：（1）沿 PA 线路 （2）沿 PB 线路 （3）沿 PA、PB 线路都相同故分界线以第（3）种情况划分：即|PA| + |MA| = |PB| + |MB| 110 + |MA| = 150 + |MB| |MA|MB| = 40, 即知分界线是以 A、B 为焦点的双曲线AB = 50 2
4、c = 50 c = 25, 2a = 40 a = 20 b2 = 225若以 AB 为 x 轴、AB 的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是： （在矩形内的一段）15402y注意：确定分界线的原则是：从 P 沿 PA、PB 到分界线上点的距离 .3练习：1 某森林出现火灾，火势正以每分钟 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员2m10前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 ，所消耗的灭2m50火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元，而烧毁一平方米森林损失费为 60 元（1）
5、设派 x 名消防队员前去救火，用 t 分钟将火扑灭，试建立 与 的函数关系式；tx（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？2 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足： （k 为正的常数），假定车身长为 4m，当车速为lvd2160（km/h)时，车距为 2.66 个车身长。（1） 写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式;（2） 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？3 电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（
6、元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN 平行 CD）（1） 若通话时间为两小时，按方案 A，B 各付话费多少元？（2） 方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？（3） 通话时间在什么范围内，方案 B 比方案 A 优惠？5 某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元，草皮每平方米造价为 30 元(1)设半圆的半径 OA=r (米),试建立塑胶跑道面积 S 与 的函数关系 S
7、( ) (2)由于条件限制 30,4,问当 r取何值时,运动场造价最低?（精确到元）10 某厂家拟在 2008 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） x万件与年促销费用 m万元（ 1)mkx满 足 （ 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是 1万件。已知 2008 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）（1）将 2008 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m万元的函数；（2）该厂家 2008
8、 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？13 某民营企业生产 A、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)甲 乙(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资 (万元)的函数关系式；x(2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?16 某厂家拟在 2009 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） 万件与年促x销费用 万元满足 （ 为常数），如果不
9、搞促销活动，则该产品的年销售量是 1 万0()m31kxm4件. 已知 2009 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将 2009 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 万元的函数；m（2）该厂家 2009 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？17 某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的 80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围 )40,2)50,)
10、7,)90,获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为：4000.2+30=110（元）。设购买商品得到的优惠率=，试问商 品 的 标 价购 买 商 品 得 到 的 优 惠 额（1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500，800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 的优31惠率？18 如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花园 ，要求 B 在 上，D 在 上，ABCDAMPNAN且对角线 过
11、 C 点，已知 AB=3 米，AD=2 米，MN（1 ）要使矩形 的面积大于 32 平方米，则 的长应在什么范围内 ?P(2)当 的长度是多少时，矩形 的面积最小?并求最小面积；AMPN(3)若 的长度不少于 6 米，则当 的长度是多少时，矩形 的面积最小？并求出最小面积。19 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 千克，配料的价格为 元/千8.1克，每次购买配料需支付运费 236 元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7 天以内（含7 天），无论重量多少，均按 10 元/天支付；超出 7 天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03 元/千克支
12、付.高考资源网（1）当 9 天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用 P 是多少元？高考资源网（2）设该厂 天购买一次配料，求该厂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数关系式，xxyx并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?高考资源网20 假设 A 型进口车关税税率在 2003 年是 100%，在 2008 年是 25%，在 2003 年 A 型进口车每辆价格为 64万元（其中含 32 万元关税税款）（1）已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车，2003 年每辆价格为 46 万元，若 A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证 2008 年 B 型车的价格不高于 A
13、 型车价格的 90%，B 型车价格要逐年等额降低，问每年至少下降多少万元？（2）某人在 2003 年将 33 万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 1.8%（5 年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么 5 年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按（1）中所述降价后的 B 型车一辆？（参考数据：1.018 51.093）参考答案1 解：（1）， 5 分21050xt（2）总损失为 y，则 y灭火劳务津贴车辆、器械装备费森林损失费y125 tx100 x60（500100 t）9 分5 260310215xxx )( 11 分5)34x13 分36402105当且仅
14、当 ，即 x27 时， y 有最小值 3645014 分)(2因为当 时， ，所以 ， 4 分60vld6.206.1.260.2lk 6 分2.4d=+设每小时通过的车辆为 ，则 即 12 分Q104vQ2.40.4vv 660.240.24.vv ，当且仅当 ，即 时， 取最大值 15.3Q 60.24v501253答：当 时，大桥每小时通过的车辆最多16 分vkm/h3 设通话 x 分钟时，方案 A，B 的通话费分别为 (),ABfxf（1）当 x=120 时 ()fx=116 元 =168 元若通话时间为两小时，方案 A 付话费 116 元，方案 B 付话费 168 元（2）98061
15、6805(),()331A Bxfxfx当 50时 )Bf- (Bfx=0.3 方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费 0.3 元(3) 当 x时 )A6(Bff05由 )x得 803x综合：通话时间在 80(,3内方案 B 较优惠。5 解: (1)塑胶 跑道面积 22210() 48064()6rSr分分（2） 设运动场造价为 y xOy6808015(64)30(164)10328720,4yr rryr 分分函 数 是 的 减 函 数当 =运 动 场 造 价 最 低 为 63510元 -4分6（1）依题意， )8()1(xx；又售价不能低于成本价，所以 所以 )50)(2)(xxfy
16、，定义域为 2,0（2） 126810，化简得： 0138x 解得 43 所以 x 的取值范围是 10 解（1）由题意可知当 0m时， （万件） k即 22 分23x每件产品的销售价格为 )(1685.元x5 分2008 年的利润 )(1685.mxy m)123(84)029)(16m 8 分（2） 816,0时21,)(3298 maxyy 时万 元当 且 仅 当（万元）12 分答：该厂家 2008 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元14 分11()因为 tanBD,所以 ABD的面积为 21tn( 0,)(2 分)设正方形 EFG的边长为 t,则由 FG,得
17、 at,解得 t1an,则2an(1t)S(6 分)所以222tat ()S,则212(tan)1Sy(9 分)()因为 a(0,),所以 tnty(13 分)当且仅当 tn1时取等号,此时 2aBE.所以当 长为 a时, y有最小值 1(15 分)13(1) 设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元由题设 xkgf)(,)(由图知 f(1)= ,故 k1= 又 4 45,)4(2kg7从而 7 分)0(45)(,0(41)( xgxf(2) 设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元)1(1)() fy令 则
18、t10 )0(6524542ttty当 7.3,6,25maxx时时答: 当 A 产品投入 3.75 万元,则 B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为 万元 15 分16516（1）由题意可知，当 时， ， 即 ，01k2 ，每件产品的销售价格为 元.3x86.5x2009 年的利润 )(685.1mxy8 分m1234 )0(29)1(m（2） 时， .0()681 ，当且仅当 ，即 时， .15 分892y3maxy答：该厂家 2009 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元.17（1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客的消费金额为：（元）0.获得奖券
19、的金额为 130 元，得到的优惠率是%132（2）设商品的标价为 x 元，则 顾客消费金额（元）,805x满足 当 时，获得奖券的金额为 60 元；.6408.40当 时，获得奖券的金额为 100 元，由已知得5（1） 或（2）;5.,31x.6408.5031x不等式（1）无解；不等式（2）的解为 ，因此，当顾客购买标价在625，750元内的752商品，可得到不小于 的优惠率。318（1）设 米， ，则xAN2xND MDC 32 2 分xA8 32x 4 分0642 )8(或 5 分x（2 ） 7 分21)()(32xSAMPN231)(3xx416此时 10 分（3 ） 12)(3xSA
20、MPN)6(令 ， 11 分tx243(ttf 21)(tf当 时，t0)(f 在 上递增 13 分3)(tf,4 27)(minft此时 14 分6x答：（1） 或38AN（2）当 的长度是 4 米时，矩形 的面积最小，最小面积为 24 平方米；AMPN（3）当 的长度是 6 米时，矩形 的面积最小，最小面积为 27 平方米。 15 分19（）当 9 天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P=70+ =88(元) 4 分 21(0.（）（1）当 x7 时y=360x+10x+236=370x+236 5 分（2）当 x7 时y=360x+236+70+6( )+( )+2+1 7x6= 7 分
21、432132x 8 分 ,670y设该厂 x 天购买一次配料平均每天支付的费用为 f(x)元11 分7,43213)(2xf，当 x7 时9当且仅当 x=7 时 xxf23670)(f(x)有最小值 （元）48当 x7 时= 393 xf3213)(2321)4(x当且仅当 x=12 时取等号3930()xg综上可知：当麦 175 套手套适量商店的优惠相同，当买的手套数多于 75 而少于 175 时，选商店一省钱，当买的手套数多 175 时，选商店二省钱。点评：给出几种方案，通过计算比较，确定出最佳方案是这类问题的特点。三 涉及几何问题中的最值 例 4、某单位计划用围墙围出一块矩形场地。现有材
22、料可筑墙的总长度为 。如果要使围墙围出一块矩形l场地的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？分析：若设矩形的长为 ，则宽为 ，从而矩形的面积为 ，是关于x(2)lx 2()2lSxlx的二次函数。x解、设矩形的长为 ，则宽为 ，从而矩形的面积为()l（ ）2()2llSxx2416lx02lx由此可得，函数在 时取得最大值，且 ，这是矩形的宽为 4l2maxlS4ll即当这个矩形的边长为 时，所围成的面积最大为 ，此时矩形为正方形。l216l点评：对于求几何最值问题，应先建立函数关系式，然后再对函数求最值，还要回扣几何问题，特别应注意的是不要忽略定义域。四 解决图表问题例 5、如图所示是一次舞会
23、的盈利额 同收票数 之间的关系图（其中保险部门规定：人数超过 150 人的pn时候，须交纳公安保险费 50 元），请你写出它的函数表达式，并对图像加以解释。P(n) 20010050 n100 150 200-100-200 解、从途中观察的：当 时，图像通过 和 两点，则此时表达式为015n(0,2)(10,)()20Pn15当 时，图像右端点通过 左端点趋于点 ，则此时表达式为1502n(20,) (150,)()34P综上所述，得 (15)()34020nn 从不同角度剖析图像，可以得到不同地解释。（1）当售票为零时舞场正常开放，要交付水电费、器材费等 200 元；（2）当 时，可达到不
24、赔不赚，当 时，要赔本；0n1n（3）当 时，利润与售票数呈直线上升， 时，达到最大值 100 元；15 50（4）当 时，利润没有 时多，即人数超过 166 人时，利润才能超过 100 元；（5）6750人数达到 200 人时，利润可达到最大值 200 元。点评：据图像建立关系式，再根据定义域与函数的单调性，将数学语言转化为实际问题中的个中情况进行解决。高中数学会考排列、组合、概率专题训练一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分答案1、已知集合 A=1,3,5,7,9,11，B=1,7,17.试以集合
25、A 和 B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是A、32 B、 33 C、34 D、362、以 1，2，3，9 这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以得到不同的对数值的个数为A、64 B、 56 C、53 D、513、四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同的排法数有 A、 3600 B、3200 C、3080 D、28804、由 展开所得 x 多项式中，系数为有理项的共有103)2x(A、50 项 B、 17 项 C、16 项 D、15 项5、设有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有 2 把钥匙，乙锁配
26、有 2 把钥匙，这 4 把钥匙与不能开这两把锁的 2 把钥匙混在一起，从中任取 2 把钥匙能打开 2 把锁的概率是16A、4/15 B、 2/5 C、1/3 D、2/36、在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被 2 或 3 整除的概率是A、5/6 B、 4/5 C、2/3 D、1/27、先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是A、1/8 B、 3/8 C、7/8 D、5/88、在四次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率中的取值范围是A、0.4,1 B、（0，0.4） C、（0，0.6） D、0.6，110、
27、集合 A=x|1x7，且 xN *中任取 3 个数，这 3 个数的和恰好能被 3 整除的概率是A、19/68 B、 13/35 C、4/13 D、9/3411、某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少买 3 片软件，至少买 2 盒磁盘，则不同的选购方式共有A、5 种 B、 6 种 C、7 种 D、8 种12、已 知 xyb 15、 16、,121xn三、解答题：1917、 18、,21,41a19、解: P: 函数 在实数集上是减函数()yaxb12aQ: 不等式 恒成立 的最小值|()|fxxa而 , 故 , 1, ()|
28、20, fxxmin()1fxa（1）若 P 正确 Q 不正确, 则 ; (2)若 P 不正确 Q 正确, 则12a 12a所以 的取值范围为a,)220、解：由题意知 ，81xy 240842xxy于是，框架用料的长度为l 16322当 ，即 时等号成立。此462316 x163 248时， 。8.,4.2yx答：当 为 ， 为 时用料最省。x3.y8.12、2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形的面积是 1，小正方形的面积是 的值等22cossin,51则于A、1
29、B、 C、 D、25427725一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A D C B D D B B B A D二、填空题：13、 ; 14 、 ; 15、2; 16、2005Zkx,32020、某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲤鱼，现知放养这两种鱼苗时都需要鱼料 A、B、C，每千克鱼苗所需饲料量如下表：鱼类 鱼料 A 鱼料 B 鱼料 C鲫鱼 /kg 15g 5g 8g鲤鱼 /kg 8g 5g 18g如 果 这 两 种 鱼 长 到 成 鱼 时 ， 鲫 鱼 和 鲤 鱼 分 别 是 当 时 放 养 鱼苗 重 量 的 30 倍 与 50 倍 ， 目 前 这 位 承 包 户 只 有 饲 料A、 B、 C 分 别 为 120g、 50g、 144g,问 如 何 放 养 这 两 种 鱼苗 ， 才 能 使 得 成 鱼 的 重 量 最 重 当 时，圆的方程为 0m428972yx20解：设放养鲫鱼 xkg,鲤鱼 ykg,则成鱼重量为,),(53yxw其限制条件为 148502yx画出其表示的区域（如图），不难找出使 30x+50y 最大值为 428kg.答：鲫鱼放养 3.6kg,鲤鱼放养 6.4kg,此时成鱼的重量最重xyO ABD3x+5y=015x+8y=1205x+5y=508x+8y=144C(3.6,6.4)
