1、承 诺 书我仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我将受到严肃处理。参赛选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）：_A_报名号： 所属学院、专业、学号、报名号： 13280107 承诺人姓名 ： 日期：
2、 年 月 日公司新厂选址问题摘要某公司由于沿海地区工人工资水平上涨，现拟向内地设立新的六个加工厂，公司将根据产品需求地区与加工点的距离、生产成本等因素决定在各地区的建厂的规模。我们将根据附录 2 中的数据进行预测未来一年中各地区每月的产品需求量，并且新厂根据所给工资标准及运输价格等条件确定各加工厂的生产规模，最后估算出根据我们模型所给出的最优工厂的地址。模型一：根据所给供应量对未来一年的供应量的做出预测。先用 matlab 对所给数据进行处理，对城市的需求量作出相应的图，观察需求量的走势，再通过多项式拟合对其进行建立模型，其拟合效果，大体上符合短期预测预测下一年各个城市的需求量。模型二：根据
3、18 个城市每个月的需求量总和，我们选出 4 月作为典型,该月为最大生产月。根据所给的数据求出其成本最小化，我们建立了优化模型，利用 LINGO 进行优化求解得到成本最小值，并用以确定厂的生产规模。生产成本=月总工资+货物量的运输成本+加班工资。求出各厂的生产量，与各厂大概人数。模型三：由第二模型引出的 0-1 变量法，得出各厂指定供应最短路径的城市，利用重心法，我们将每个厂所供应的城市连线进一步优化，并对运输优化，进而确定新工厂的地址。关键字多项式拟合 优化线性模型 0-1 变量 重心法问题的重述在资源稀缺的市场竞争时代,如何优化资源配置是每个生产公司在日益激烈的市场竞争中求生存、促发展的有
4、效途径和理智选择。 ，某公司由于沿海地区工人工资水平上涨，现拟向内地设立新的六个加工厂（加工厂到各地区距离见附录一） ，公司将根据产品需求地区与加工点的距离、生产成本等因素决定在各地区的建厂的规模。问题一、请根据所给数据（见附录二）预测未来一年中各地区每月的产品需求量。问题二、根据所给工资标准及运输价格等条件确定各加工厂的生产规模。数据见附录三。问题三、如果允许重新设定新厂位置，请根据相关条件为新厂选址，并给出评价。问题的分析对于问题一，根据题目附录二各城市的每月需求量，再用 spss 进行处理可以大概得出未来一年的供应量的做出预测。先用 matlab 对所给数据进行处理，对城市的需求量作出相
5、应的图，观察需求量的走势，再通过多项式拟合对其进行建立模型 ；对于问题二，根据题目附录一、二、三，要求根据所给工资标准及运输价格等条件确定各加工厂的生产规模。首先应该知道工厂的规模是指工厂的人数。看到这个问题我首先想到优化模型，且该题中工资比较好处理，但是加班时间无法确定，又由于 18 个城市与 6 个工厂都有一定的距离，而且还有一个问题：到底一个城市的需求量是由一个厂提供还是多厂合作提供？经过考虑，我认为前者成本较少。除此之外，因为四月份的需求量最大，因此我认为四月份比较具有代表性，故对四月份展开计算。所以我认为加班工资和运费是本题的难点。所以，在做这道题时，设好变量是非常重要的。因此我最后
6、在优化模型的基础上我又添加 0-1 变量。对于问题三,由网上查得各城市的位置，设立目标函数，通过 lingo 算出与每个城市最近的位置建立工厂。模型的建立和求解备注：所有符号在附录二中问题一.根据模型，由 matlab 求解得 18 个城市本年与未来一年需求量的图（蓝线：实际值。红线：预测值）：求解源码（附件三）天津太原石家庄济南郑州西安上海南京合肥武汉重庆杭州长沙南昌贵阳福州南宁未来一年各个城市的需求量（100）1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月天津 462635434570 3510453634604490 34074450 3462 4400太原 323
7、235543016 3374280031212583 29052367 2689 2151石家庄623437366449 3950666341656878 43797093 4584 7307济南 628641346539 4388679346417046 48957300 514787553郑州 512447035297 4876546950485642 52215814 5393 5986西安 520246555448 4901569451475940 53936186 5639 6186上海 450238764588 3961467340474759 41324844 4218 4930
8、南京 376657203913 5867406160144208 61624355 6309 4503合肥 472648894875 5038502451865173 53355322 5484 5470武汉 524338605405 4021556641835728 43445889 4506 6051重庆 444638534419 3826439237994365 37724338 3745 4311杭州 352945613518 4550350745393496 45283485 4517 3474长沙 295351973030 5275310753523185 54303262 550
9、7 3340南昌 365537063662 3714367037213678 37293686 3737 3693贵阳 412338794122 3878412138774120 38764120 3876 4119福州 382939583810 3939379239213774 39033756 3885 3737广州 361434413467 3295332131483174 30023028 2855 2881南宁 151948071294 458110684355842.74130617.23904 391.7问题二：模型 II（优化线性模型） 本题要解决的是各加工厂的员工人数、加班时
10、间和生产量以及工厂合理配置的问题。由于案例提供了各城市的月需求量、各工厂到各城市的距离和工资标准，我们可以建立以生产量和加班时间为决策变量；通过决策变量来表示厂的人数，构建工资和运输成本最低的目标函数；再通过国家对每月加班时间的要求和我们的合理假设（每个城市只由一个工厂提供产品）再得到两个约束，在目标函数和约束条件都合乎逻辑的情况下，建立线性规划模型。每个厂的五月份的产量为 x1,x2,x3,x4,x5,x6;每个产五月份的加班时间为 t1,t2,t3,t4,t5,t6;各个工厂的人数:x1/(192+t1)*8/100) x2/(192+t2)*8/100) x3/(192+t3)*8/10
11、0) x4/(192+t4)*8/100) x5/(192+t5)*8/100) x6/(192+t6)*8/100)各个工厂的总工资： 61*(1.3*/192);ii iiiZdtr各个工厂的总运输成本： 1818(*0)*)(1,234,56);(j ijijj jQayb我们建立模型如下：目标函数： MIN F=Z+Q约束条件： 181118221833184418551866(*)(,3.18);,.;(*)(1,.8);,2.;(*)(1,3.8);,2.;jjjjjjjjjjjjjjjjjj jjjjjjybxybx工厂对每个城市的供应量不能超过它的生产量：i 工厂提供 j 城市
12、产品为 1，否则为 066661234115678116 6901126613145616781;iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyyyy1;运用 lingo 得到以下结果：各个厂五月份的生产量x1=190640000;x2=187830000;x3=89980000;x4=93260000;x5=128370000;x6=142960000;需要加班的工厂：t2=36; t4=36;各个工厂的人数规模：a1 =1.2411e+005；a2 =3.3968e+003；a3 =5.8581e+004；a4 =1.6866e+003；a5 =8.3574e+
13、004；a6 =9.3073e+004由此可知每个工厂分别提供的城市产品如下：1 号工厂提供天津、太原、石家庄、济南的产品；2 号工厂提供郑州、上海、南京、合肥的产品；3 号工厂提供西安、武汉的产品；4 号工厂提供重庆、贵阳的产品；5 号工厂提供长沙、广州、南宁的产品；6 号工厂提供南昌、杭州、福州的产品。问题三：模型 III通过上网查询我们得到各城市的经纬度如下表：经度 纬度 城市 经度 纬度 城市117113909天津 120093014杭州112343752太原 113 2811长沙114283802石家庄 115522841南昌121293114上海 106422635贵阳117 36
14、38济南 119182605福州113423448郑州 113152308广州108543416西安 108202248南宁117183151合肥 106322932重庆11850 3202 南京 11421 3037 武汉 设各个加工厂的经纬度分设为 k、l,各城市的经纬度为 a、b,可得目标函数表达式为：6.2,1min21412 jblakijij通过 lingo 编程得到各新加工厂的位置：、 、 、 、)238,14( )3,87( )34,109( )43,0(、4670 251。根据上网查询我们得到各城市的经纬度知道，以上六地点的经纬度与石家庄、合肥、南京、郑州、贵阳、南昌这六个地
15、区最为接近，如下表：石家庄 11428 3802合肥 11718 3151南京 11850 3202郑州 11342 3448贵阳 10642 2635南昌 11552 2841结果：1 号厂设在石家庄；2 号厂设在合肥；3 号厂设在武汉；4 号厂设在贵阳；5 号厂设在广州；6 号厂设在南昌。模型的检验与分析模型 I 在不考虑通货膨胀，而消费者工资根据所在城市标准，我们可对未来一年需求量的大概预测，根据问题分析此工厂生产的产品作为必需品，因此考虑人口正常发展的情况下，需求量是渐加的，由拟合图中红线也不难看出，三次多项拟合出的预测数据基本符合预测要求。模型 II 根据建立的模型，我们得出各厂生产
16、量，与各厂人数。即：各个厂五月份的生产量：x1=190640000;x2=187830000;x3=89980000;x4=93260000;x5=128370000;x6=142960000;需要加班的工厂：t2=36;t4=36;各个工厂的人数规模：a1 =1.2411e+005；a2 =3.3968e+003；a3 =5.8581e+004；a4 =1.6866e+003；a5 =8.3574e+004；a6 =9.3073e+004由于对最大生产容量不考虑的原因，所以各厂生产 x1x6,结果合理可行。各个工厂的人数最大的有 12 万多人，说明它供应的城市数量也就越多。而 2 厂与4 厂
17、人数较少仅只有 3300 多和 1600 多人，说明供应城市少，即使正常工作时间的生产量供应不足，但是可以通过加班增产。模型 III 通过第二问各厂对指定城市的供应，我们采用 0-1 变量法确定制定城市，则使得重新建厂时，需求量的生产成本不变，只需考虑运输路径最短即可。在需求量相对大出现供不应求的城市可以通过离自己最近而又有库存的工厂运输来达到满足。模型的评价与推广评价：预测模型用拟合来预测的原理，得出了下一年的预测值，通过多项式拟合的方法作出了图像，较好的放映了下一年各个城市需求量的波动情况，并处理好了预测数据。生产规模优化模型得到工厂最小成本，设定了工厂的最优生产规模，应用 0-1 变量使
18、问题更加简化。优化模型得到工厂最小成本，设定了工厂的最优生产规模。我们通过作出图像分析，得到允许范围内建的新厂。新厂选址模型中我们只是根据简单观察和计算给出了结果，这并不是最优解，但考虑到运输方便厂建在城市较好。否则可以通过定点求费马点。模型推广：本题模型影响因素和约束条件不够对大型工厂相对误差较大，但适合小型的工厂预测和小型工厂规模优化。参考文献1姜启源，谢金鑫，叶俊，数学模型第四版，高等教育出版社；2中国各省会城市的距离数据网站；http:/ 胡本超 205.数学建模仓库选址问题. http:/ 胥谞 , matlab 5.3 实用教程中国水利水电出版社 2000附录附录一：必做题二露天采
19、矿问题(lingo代码见lingo软件）：1、利用 0-1 模型，作为决定每一块是否需要开采的模型，即 0 代表这一块没有被挖取，l 代表这一块被挖取了。 2、同时利用矩阵对为每一层每一块编号，即第一层设为矩阵 A，第二层设为矩阵 B 等。Aij 代表第一层第 i 行第 j 块； Bij 代表第二层第 i 行第 i 块； Cij 代表第三层第 i 行第 i 块： Dij 代表第四层第 i 行笫 j 块； 设 Z 为最大利润。Aij 代表第一层第 i 行第 j 块； Bij 代表第二层第 i 行第 i 块； Cij 代表第三层第 i 行第 i 块： Dij 代表第四层第 i 行笫 j 块； 设
20、Z 为最大利润。3、由于挖去一块的收入同该块的值成正比，可设比例系数为 R，由挖一个值为100 的块可收入 200000。所以可求出 R=2000。故将每一块的纯度值乘以两千，则是这一块所获得的利润。即第一块的利润为 3000 A11、第二块则是3000A12，以此类推。4、所以目标函数为：Z=3000A11+3000A12+3000A13+1500A14+3000A21+4000A22+3000A23+1500A24+2000A31+2000A32+1500A33+1000A34+1500A41+1500A42+1000A43+500A44+8000B11+8000B12+4000B13+6
21、000B21+6000B22+6000B23+4000B31+4000B32+1000B33+24000C11+12000C12+1000C21+8000C22+12000D11-3000A11-3000A12-3000A13-3000A14-3000A21-3000A22-3000A23-3000A24-3000A31-3000A32-3000A33-3000A34-3000A41-3000A42-3000A43-3000A44-6000B11-6000B12-6000B13-6000B21-6000B22-6000B23-6000B31-6000B32-6000B33-8000C11-80
22、00C12-8000C21-8000C22-10000D115、约束条件：即若在一个深度层挖了四块，则在下一层还可以挖一块。所以当上面面一块为1时，上面四块必须同时为1。A11+A12+A21+A22-4B11=0 A12+A13+A22+A23-4B12=0 A13+A14+A23+A24-4B13=0 A21+A22+A31+A32-4B21=0 A22+A23+A32+A33-4B22=0 A23+A24+A33+A34-4B23=0 A31+A32+A41+A42-4B31=0 A32+A33+A42+A43-4B32=0 A33+A34+A43+A44-4B33=0 B11+ B12
23、+B21+B22-4C11=0 B12+ B13+B22+B23-4C12=0 B21+ B22+B31+B32-4C21=0 B22+ B23+B32+B33-4C22=0 C11+ C12+C21+C22-4D11=06、将上述输入 LINGO，通过 LINGO 运算结果我们可以得出，当挖取A11、A12、A13、A21、A22、A23、A31、A32、A33、B11、B12、B21、B22、C11时我们所获得的最大利润是17500元。必做题三最佳广告费用及其效应(lingo 代码见 lingo 软件）x：售价（元） ；y：预期销售量（千桶） ；回归拟合预期销售量（千桶） ；：预期销售量的
24、均值（千桶） ；：售价的平均值（元） ；x：x 与 y 的回归常数；0A：x 与 y 的回归系数；1：x 与 y 的随机变量；k ：销售增长因子；m ：广告费（万元） ；：k 与 m 的非线性回归系数；0B： k 与 m 的非线性回归系数；1：k 与 m 的非线性回归常数；2：k 与 m 的随机变量；Z ：预期利润（元） 。（1）售价与预期销售量的模型根据条件（表 1）描出散点图，假设售价与预期销售量为线性关系，得基本模型xA0y假定 9 组预期值 i=1,2,9；符合模型),(iy;9,.21 0N;,.212110iiii） ，（ 用 OLS 法得 和 的最小而乘估计0A681.30 19
25、48.0)()(109912xAyyxxiiiii利用 Matlab 解得售价与预期销售量的线性回归方程的模型，并得到线性回归方程与预期价拟合图 1=50.422-5.1333xy图 1（2）广告费与销售增长因子的模型根据条件（表 2）描出散点图，假设广告费与销售因子为非线性关系，得其基本模型 10kBm假定 8 组预期值 ;符号模型1,2.8j )k,(j;8,.21 0N;,.21210jjj jj） ，（ 利用 Matlab 解得广告费与销售因子的非线性回归方程的模型，并得非线性回归方程与预期值拟合图 2图 20187.492.-0.26km（三）预期利润的最优模型为了最大预期利润，建立
26、预期利润的模型函数；目标函数 4310)y-k(xaZ限制条件： ).7(,8.4092.026. 6,15mmkxy当 x=5.9113 m=3.3082 时51.max Z新工厂选址符号说明Z：总工资；Q：总得运输成本；di：第 i 个工厂当地的标准工资；xi:第 i 个工厂的生产量；ti：第 i 个工厂的加班时间；ri：第 i 个工厂的员工人数；bj：第 j 个城市五月份的需求量；aij：第 i 个工厂到第 j 个城市的距离；yij：第 j 个城市是否由第 i 个工厂提供产品。附录二：Matlab 代码：i=1:18;x=1:11;x0=1:12;sj1=206900 290600 48
27、7900 480900 476100 440900 415300 424600 382200379000 358800;sj2=220000 296400 510900 553500 477300 316000 417100 417300 311100361200 377000;sj3=131700 328500 413400 486800 481200 336700 455400 503200 427900474000 352100;sj4=148600 361200 391300 458300 471800 336000 568300 552000 369800448400 388100;
28、sj5=188900 311700 403000 452600 557200 335700 488600 552000 377000379000 453100;sj6=120220 314500 424600 427900 474000 352100 436300 379000 480900476100 440900;sj7=147700 345800 417300 369800 448400 388100 417800 394100 336700436300 379000;sj8=209800 353500 503200 388000 437400 442400 432400 397600
29、435300455400 557200;sj9=144000 377000 552000 397600 435300 390700 492600 358800 424600568300 474000;sj10=163000 382200 379000 358800 425800 398400 507800 428500 345800417300 369800;sj11=180400 505000 394100 428500 457200 422700 527500 314500 353500503200 388000;sj12=180100 368300 414400 457100 51200
30、0 373800 397200 345800 394100428500 457200;sj13=215500 327500 429800 403400 453100 369700 270800 353500 414400457100 512000;sj14=240300 311100 361200 411500 463800 383200 200700 417300 345800417300 369800;sj15=335300 369600 415100 430500 475400 425800 181700 503200 353500503200 388000;sj16=241500 41
31、7500 409800 493600 453800 334500 226500 425800 377000552000 397600;sj17=236400 524900 404100 433800 420100 427100 262500 463800 382200379000 358800;sj18=261900 417400 447100 444700 410500 397600 369300 430500 209800353500 503200;b=sji;a=polyfit(x,b,3)yc=polyval(a,x0)附录三：Lingo代码：min=(x1/(240+t1)*8)*(
32、1700+2210*t1/240)+(x2/(240+t2)*8)*(1540+2002*t2/240)+(x3/(240+t3)*8)*(1510+1963*t3/240)+(x4/(240+t4)*8)*(1600+2080*t4/240)+(x5/(240+t5)*8)*(1640+2132*t5/240)+(x6/(240+t6)*8)*(1450+1885*t6/240)+480900*(2.97*Y11+5.59*Y21+9.3*Y31+15.2*Y41+15.62*Y51+14*Y61)+553500*(2.55*Y12+5.5*Y22+5.91*Y32+12.38*Y42+14
33、*Y52+13.37*Y62)+486800*(1.16*Y13+4.7*Y23+6.95*Y33+13.13*Y43+14.15*Y53+13.06*Y63)+458300*(1.78*Y14+2.83*Y24+7.3*Y34+12.89*Y44+12.87*Y54+11.22*Y64)+452600*(3.925*Y15+2.57*Y25+3.58*Y35+9.45*Y45+10.44*Y55+9.79*Y65)+427900*(6.78*Y16+6.96*Y26+2.13*Y36+8.02*Y46+10.99*Y56+11.96*Y66)+369800*(8.5*Y17+5.65*Y27
34、+10.44*Y37+12.89*Y47+9.87*Y57+6.41*Y67)+388000*(6.37*Y18+2.87*Y28+7.69*Y38+10.71*Y48+8.34*Y58+6.18*Y68)+397600*(6.22*Y19+2.54*Y29+6.34*Y39+9.32*Y49+7.86*Y59+6.89*Y69)+358800*(7.45*Y1A+4.5*Y2A+4.26*Y3A+6.21*Y4A+5.75*Y5A+5.4*Y6A)+428500*(11.19*Y1B+10.77*Y2B+5.25*Y3B+3.82*Y4B+8.63*Y5B+11.43*Y6B)+457100
35、*(8.45*Y1C+5.59*Y2C+9.41*Y3C+11.17*Y4C+8.23*Y5C+4.79*Y6C)+403400*(10.27*Y1D+7.34*Y2D+5.51*Y3D+3.83*Y4D+3.19*Y5D+4.89*Y6D)+411500*(9.36*Y1E+6.05*Y2E+6.82*Y3E+6.8*Y4E+4.13*Y5E+2.64*Y6E)+430500*(11.47*Y1F+12.51*Y2F+7.75*Y3F+2.66*Y4F+7.26*Y5F+10.81*Y6F)+493600*(12.7*Y1G+8.25*Y2G+11.22*Y3G+10.09*Y4G+5.64
36、*Y5G+1.96*Y6G)+433800*(16.08*Y1H+12.8*Y2H+10.95*Y3H+6.1*Y4H+2.71*Y5H+5.81*Y6H)+444700*(17.13*Y1I+14.687*Y2I+11.28*Y3I+9.63*Y4I+6.32*Y5I+10.24*Y6I);480900*Y11+553500*Y12+486800*Y13+458300*Y14+452600*Y15+427900*Y16+369800*Y17+388000*Y18+397600*Y19+358800*Y1A+428500*Y1B+457100*Y1C+403400*Y1D+411500*Y1E
37、+430500*Y1F+493600*Y1G+433800*Y1H+444700*Y1I=1;Y12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62=1;Y13+Y23+Y33+Y43+Y53+Y63=1;Y14+Y24+Y34+Y44+Y54+Y64=1;Y15+Y25+Y35+Y45+Y55+Y65=1;Y16+Y26+Y36+Y46+Y56+Y66=1;Y17+Y27+Y37+Y47+Y57+Y67=1;Y18+Y28+Y38+Y48+Y58+Y68=1;Y19+Y29+Y39+Y49+Y59+Y69=1;Y1A+Y2A+Y3A+Y4A+Y5A+Y6A=1;Y1B+Y2B+Y3B+Y4B+Y5B
38、+Y6B=1;Y1C+Y2C+Y3C+Y4C+Y5C+Y6C=1;Y1D+Y2D+Y3D+Y4D+Y5D+Y6D=1;Y1E+Y2E+Y3E+Y4E+Y5E+Y6E=1;Y1F+Y2F+Y3F+Y4F+Y5F+Y6F=1;Y1G+Y2G+Y3G+Y4G+Y5G+Y6G=1;Y1H+Y2H+Y3H+Y4H+Y5H+Y6H=1;Y1I+Y2I+Y3I+Y4I+Y5I+Y6I=1;x1=80000000;x2=80000000;x3=80000000;x4=80000000;x5=80000000;x6=80000000;end重心法：A1=39.095963 37.872685 38.056742
39、 36.668419 34.759666 34.252676 31.231592 32.045333 31.821565 30.581179 29.573457 30.278044 28.207609 28.690588 26.667096 26.086388 23.14036 22.816694;B1=117.180176 112.549438 114.510498 116.982422 113.620605 108.94043 121.464844 118.806152 117.224121 114.32373 106.54541 120.168457 112.939453 115.839
40、844 106.633301 119.300537 113.269043 108.363647;C1=480900 553500 486800 458300 452600 427900 369800 388000 397600 358800 428500 457100 403400 411500 430500 493600 433800 444700;Cx11=sum(A1.*C1);Cy11=sum(B1.*C1);V1=sum(C1);Cx1=Cx11/V1;重心 xCy1=Cy11/V1;重心 yfor i=1:18g(i)=sqrt(A1(i)-Cx1)2+(B1(i)-Cx1)2);厂址离重心距离end
