1、,数学悖论及其发展,电气1005 班 刘逸涵 10291143,数学悖论:是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。,猜想：任意锐角三角形都是等边三角形,1、悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。2、在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。 (所有的克利特人都说谎),悖论历史,3、公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。4、埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.430B.C.）提出的有关运动的四个著名悖论（二分法悖论、阿基里斯追
2、龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）,悖论历史,5、在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；韩非子中记载的有关矛与盾的悖论思想等。6、在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。,悖论历史,三次危机,第一次数学危机（希帕索斯悖论） 1、毕达哥拉斯（勾股定理）学派：“一切数均可表成整数或整数之比”是这一学派的数学信仰2、希帕索斯：考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？,三次危机
3、,第一次数学危机（希帕索斯悖论） 3、这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。4、二百年后，（公元前387年）欧多克索斯建立起一套完整的比例论，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。一直到18世纪，到十九世纪下半叶无理数在数学中合法地位的确立。,第二次数学危机（贝克莱悖论）1、微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现，两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。2、英国大主教贝克莱发表了分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则
4、与推断是否比之宗教的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显一书，主要说无穷小量究竟是否为0的问题，就是无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0，称之为“贝克莱悖论”,3、柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和，等概念建立在了较坚实的基础上。又经魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔努力，微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。,芝诺悖论阿基里斯追乌龟他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基
5、里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米所以，乌龟总会在他前面一些，阿基里斯永远追不上乌龟。,第三次数学危机（罗素悖论）1、十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，数学家们以为整个现代数学的逻辑基础绝对的严密性是已经达到了2、罗素悖论：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性,第三次数学危机（罗素悖论） 3、 某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？4、数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果。,一些有趣的悖论图片,谢谢！,
