1、1二次函数与几何图形综合类型 1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积1(牡丹江中考) 如图，抛物线 yax 22xc 经过点 A(0，3)，B(1，0)，请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长2二次函数 yx 2mxn 的图象经过点 A(1，4)，B(1，0)，y xb 经过点 B，12且与二次函数 yx 2mxn 交于点 D.(
2、1)求二次函数的表达式；(2)点 N 是二次函数图象上一点(点 N 在 BD 上方) ，过 N 作 NPx 轴，垂足为点 P，交 BD于点 M，求 MN 的最大值3如图，抛物线经过 A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三点(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得DCA 的面 积最大，求出点 D 的坐标2类型 2 二次函数图象与“线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决4如图，已知抛物线 y (x2)(x4)与 x
3、轴交于点 A、B(点 A 位于点 B 的左侧)，与 y28轴交于点 C，M 为抛物线的顶点(1)求点 A、B、C 的坐标；(2)设动点 N(2，n)，求使 MNBN 的值最小时 n的值5如图，已知抛物线 y (x2)(xm)(m0)与 x 轴相交于点 A，B，与 y 轴相交于点1mC，且点 A 在点 B 的左侧(1)若抛物线过点 G(2，2)，求实数 m 的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使 AHCH最小，并求出点 H 的坐标36如图，抛物线 y x2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA2，OC3.12(1)求抛物线的解析式(2)点 D
4、(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 P，使得BDP 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由7如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，AOC 的平分线交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，已知 A(0，4)，C(5，0)，二次函数 y x2bxc 的图象抛物线经45过 A，C 两点(1)求该二次函数的表达式；(2)F，G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 D，E，F，G 构成四边形 DEFG，求四边形 DEFG 周长的最小值48.如图，抛物线 yx 2bxc 经过点 A
5、(1，0) ，B(3，0)请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)点 E(2，m)在抛物线上，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，点 F 是 AE 中点，连接FH，求线段 FH 的长9.如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+(2k-1)x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐标；(3)对于(2) 中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使POB=90？若存在，求出点 P 的坐标，并求出POB 的面积；若不存在，请说明理由.5参考答案1.(1)抛物
6、线 yax 22xc 经过点 A(0，3)，B(1，0)， 解得c 3，0 a 2 c.)抛物线的解析式为 yx 22x3.a 1，c 3. )(2)yx 22x3(x1) 24，抛物线的顶点坐标为(1，4)BE 2，DE 4.BD 2 . BE2 DE2 52.(1)二次函数 yx 2mxn 的图象经过点 A(1，4)，B(1，0)，解得 二次函数的表达式为 yx 22x3.4 1 m n，0 1 m n.) m 2，n 3. )(2)y xb 经过点 B， 1b0.解得 b .y x .设 M(m， m )，12 12 12 12 12 12 12则 N(m，m 22m3)，MNm 22m
7、3( m )m 2 m (m )212 12 32 52 34.MN 的最大值为 . 4916 49163.(1)该抛物线过点 C(0，2)，设该抛物线的解析式为 yax 2bx2.将 A(4，0) ，B(1，0)代入，得 解得 此抛物线的解析式为 y x2 x2.16a 4b 2 0，a b 2 0. ) a 12，b 52. ) 12 52(2)设 D 点的横坐标为 t(0t4)，则 D 点的纵坐标为 t2 t2.过 D 作 y 轴的平行线交 AC12 52于 E.由题意可求得直线 AC 的解析式为 y x2.E 点的坐标为(t ， t2)DE t212 12 12t2( t2) t22t
8、.S DCA ( t22t)4t 24t(t2) 24.当 t2 时，52 12 12 12 12DCA 面积最大D(2，1) 4.(1)令 y0，得 (x2)(x4)0，解得 x12，x 24；令 x0，得28y .A(2，0)、B(4，0)、C(0， )2 2(2)过点 A(2，0)作 y 轴的平行线 l，则点 B 关于 l 的对称点 B(8，0)，又 M(1， )，9826连接 BM 与 l 的交点即为使 MNBN 值最小的点设直线 BM 的解析式为 ykxb，则解得 y x .当 x2 时，n . 0 8k b， 982 k b， ) k 182.b 2.) 182 2 3425.(1
9、)抛物线过点 G(2，2)时， (22)(2m)2，解得 m4.1m(2)m4， y (x 2)(x4)令 y0， (x2)(x4)0，解得 x12，x 24.则14 14A( 2， 0)， B(4，0) 抛物线对称轴为直线 l：x 1.令 x0，则 y2，所以 2 42C(0，2) B 点与 A 点关于对称轴对称，连接 BC，BC 与直线 l 的交点便为所求点H.B(4，0) ，C(0，2) ， 求得线段 BC 所在直线为 y x2.当 x1 时，y ，H(1 ，12 32) 326.(1)由已知条件得 A(2 ，0) ，C(0，3)，代入二次函数解析式，得 解得c 3， 2 2b c 0.
10、)抛物线的解析式为 y x2 x3.b 12，c 3.) 12 12(2)连接 AD，交对称轴于点 P，则 P 为所求的点设直线 AD 的解析式为 ykxt.由已知得解得 直线 AD 的解析式为 y x1.对称轴为直线 x ， 2k t 0，2k t 2. ) k 12，t 1.) 12 b2a 12将 x 代入 y x1，得 y .P( ， ) 12 12 54 12 547.(1)将 A(0，4)、C(5，0)代入二次函数 y x2bxc，得 解得45 20 5b c 0，c 4， )故二次函数的表达式为 y x2 x 4.b 245，c 4. ) 45 245(2)延长 EC 至 E，使
11、 ECEC，延长 DA 至 D，使 DADA，连接 DE，交 x 轴于 F 点，交 y 轴于 G 点，GDGD，EFEF，(DGGF EFED) 最小 DE DE，由 E(5，2)，D(4，4)，得 D(4，4)， E(5，2)由勾股定理，得 DE ，DE 22 12 53 ，(DGGFEFED) 最小 DEDE3 .（5 4）2 （4 2）2 13 13 578.(1)抛物线 yx 2bxc 经过点 A(1，0) ，B(3，0)， 解得1 b c 0，9 3b c 0.)y x 22x3.b 2，c 3.)(2)点 E(2，m)在抛物线上，m 4433.E(2 ，3) BE .点 F（3 2
12、）2 （0 3）2 10是 AE 中点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H，H 是 AB 中点，FH BE .12 1029、.(1)函数的图象与 x 轴相交于 O，0=k+1 ，k=-1， 二次函数的解析式为 y=x2-3x.(2)假设存在点 B，过点 B 作 BDx 轴于点 D.AOB 的面积等于 6， AOBD=6.21当 y=0 时，x(x-3)=0. 解得 x=0 或 3.AO=3. BD=4 ，即 4=x2-3x.解得 x=4 或 x=-1(舍去).又顶点坐标为(1.5，-2.25)，2.254 ，x 轴下方不存在 B 点.点 B 的坐标为(4，4).(3)点 B 的坐标为(4，4) ，BOD=45，BO= =4 .24当POB=90时，POD=45.设 P 点横坐标为 x，则纵坐标为 x2-3x，即-x=x 2-3x.解得 x=2 或 x=0.在抛物线上仅存在一点 P(2，-2).OP= =2 .POB 的面积为： POBO= 2 4 =8.21
