1、1专题一 求圆的轨迹方程教学目标： 1、 掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、 掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程3、 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。教学重难点：1、 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；2、 会求曲线的轨迹方程（圆）教学过程：第一部分 知识点回顾一、圆的方程：1圆的标准方程： 。22xaybr2圆的一般方程： 20(DE4F0) EF特别提醒：只有当 时，方程 才表示圆心为 ，2D4 xy(,)2DE半径为 的圆21EF思考：二元二次方程 表示圆的充要条
2、件是什么？220AxByCDxEyF答案： （ 且 且 ） ） ；0,C4A3圆的参数方程： （ 为参数） ，其中圆心为 ，半径为 。圆的参数方程的主cosinaryb(,)abr要应用是三角换元：； 。22s,ixyrxr2xytcos,in(0)xryt4 为直径端点的圆方程 如12A,By1212（1）圆 C 与圆 关于直线 对称，则圆 C 的方程为_()1xyx（答： ） ；22y（2）圆心在直线 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_3x（答： 或 ） ；9)()3(22y1)()1(22yx（3）已知 是圆 （ 为参数， 上的点，则圆的普通方程为1,Pcosinr0)_，P 点对
3、应的 值为_，过 P 点的圆的切线方程是_2（答： ； ； ） ；24xy 340xy（4）如果直线 将圆：x 2+y2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限，那么 的斜率的取值范围是_l l（答：0，2） ；（5）方程 x2+y x+y+k=0 表示一个圆，则实数 k 的取值范围为_（答： ） ；21k（6）若 （ 为参数， ， ，若3cos(,)|inMy0)bxyN|),(，则 b 的取值范围是_（答： ）N3,2二、点与圆的位置关系：已知点 及圆 ，0,xy2C0： x-aybr（1）点 M 在圆 C 外 ；20r（2）点 M 在圆 C 内 ；20xyr（3）点 M 在圆 C 上 。如
4、2ra0b点 P(5a+1,12a)在圆(x) y 2=1 的内部,则 a 的取值范围是_（答： ）13|a三、直线与圆的位置关系：直线 和圆 有相交、相离、相切。可从代数和几:0lAxBy22： xybr0何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交； 相离； 相切；00（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为 ，则 相交； 相离； 相切。提醒：判断直线与圆drdrdr的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆 与直线 ， 的位置关系为_12yxsin10(,2xyRk)z（答：相离） ；（2）若直线 与圆 切于点 ，则
5、的值_30ab24x(1,)Pab（答：2） ；（3）直线 被曲线 所截得的弦长等于 2xy26xy150（答： ） ；45（4）一束光线从点 A(1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 （答：4） ；（5）已知 是圆 内一点，现有以 为中点的弦所在直线 和直线(,)0Mab22:OyrMm，则2:laxyrA ，且 与圆相交 B ，且 与圆相交/ml lml3C ，且 与圆相离 D ，且 与圆相离/ml lml（答：C） ；（6）已知圆 C： ，直线 L： 。求证：对 ，直线 L 与圆 C22(1)5xy10xymR总有两个不同的交点；设 L 与圆
6、 C 交于 A、B 两点，若 ，求 L 的倾斜角；求直线 L 中，截7圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答： 或 最长： ，最短： ）60121y1x第二部分 直线与圆的典型例题一、求圆的轨迹方程1、用定义法求圆的轨迹方程例 1 设方程 ，若该方程表示一个圆，求 m 的取值2 24(3)(1)690xymxym范围及这时圆心的轨迹方程。分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得： 22 2()(4)7xy该方程表示圆，则有 ，得 ，此时圆心的轨迹方程为 ，21670m1(,)2341xym消去 m，得 ，由 得 x=m+324(3)yx(,)20,47所求的轨迹方程是 ，2()1,注意：方程表
7、示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中 20,47x变式 1 方程 表示圆，求实数 a 的取值范围，并求出其中半径最小的24(1)0axyaxy圆的方程。解：原方程可化为22()4()()aa当 a 时，原方程表示圆。20,a又 222(4)4() ar 当 ，所以半径最小的圆方程为min,a 221xy2、用待定系数法求圆的轨迹方程4例 2 求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线 0y上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 与圆的位置关系，只须看点 P与圆心的距离和圆的半径的大小关
8、系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 22)()(rbyax圆心在 0y上，故 圆的方程为 22)(ryax又该圆过 )4,1(A、 )2,3(B两点 224)3(16解之得： a， 0r所以所求圆的方程为 2)1(2yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 )4,(A、 ),3(B两点，所以圆心 C必在线段 AB的垂直平分线 l上，又因为132ABk，故 l的斜率为 1，又 A的中点为 )3,2(，故 的垂直平分线 的方程为：xy即 0y又知圆心在直线 上，故圆心坐标为 )0,1(C半径 24)1(
9、2ACr故所求圆的方程为 yx又点 )4,2(P到圆心 )0,(的距离为 rCd2512 点 P在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例 3 求半径为 4，与圆 相切，且和直线 相切的圆的方程0422yx0y分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆 22)()(rbaC：圆 与直线 相切，且半径为 4，则圆心 的坐标为 或 C0y )4,(1aC)4,(2又已知圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 3024
10、2yxA25若两圆相切，则 或 734CA134A(1)当 时， ，或 (无解)，故可),(1a22)()( 2214()(a得 02所求圆方程为 ，或 224)()10(yx 224)()0(yx(2)当 时， ，或 (无解)，)4,2aC7214a故 6所求圆的方程为 ，或 224)()6(yx 224)()6(yx说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线 相切且半径为 4，则圆心坐标为 ，且方程形如0)4,(aC224)()(yax又圆 ，即 ，其圆心为 ，半径为 3x 223)1()(yx )1,2(A若两圆相切，则 故 ，解之得 3CA74a 0a所以欲求圆的方程为 ，或
11、22)()10(yx 224)()(yx上述误解只考虑了圆心在直线 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得 、 、 或 、 、 ；abrDEF（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数. 3、用几何方法求圆的轨迹方程例 4 设圆满足:截 轴所得弦长为 2;被 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1,在满足条件yx、的所有圆中,求圆心到直线 的距离最小的圆的方程。02:xl分析:注意挖掘
12、题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题.解法一:设圆心为 ,半径为 ,则点 到 轴， 轴的距离分别为 ， 。)(baPrPxy|b|a由题设圆 截 轴所得劣弧对的圆心角为 ，知圆 截 轴的弦长为 ，故x90Px2r2b又圆 截 轴所得的弦长为 ,所以有 .从而得 y212ar12又点 到直线 的距离为 ),(baP0yx|5bd6所以当且仅当 时上式等号成立,此时 ，从而 取得最小值. ba152dd解此方程组得由于 知 于是,所求圆的方程是:2rr或 )1()(yx 2)1()(2yx解法二:同解法一得 22| 554abdd得将 代入上式，整理得 1ba245102bd=把它看作 b的二
13、次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即，得 0)5(82d152d所以 有最小值1，从而 有最小值 2将其代入式得2 b24b+2=0.解得 b=1.将 b=1代入 r2=2b2,得 r2=2.由 r2=a2+1得 a=1.综上 a=1,b=1,r2=2.由 a-2b=1知 a,b同号.于是,所求圆的方程是或 )1()(22yx 2)1()(2yx点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程，二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程.4
14、、直线与圆的位置关系例 5 在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限、半径为 的圆 与直线 相切于坐xoy2Cyx标原点 ，求圆 的方程。OC解： (1)设圆心坐标为( m， n)（ m0）,则该圆的方程为( x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2 即 =4 2nm又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n2=8 联立方程和组成方程组解得 nm故 圆的方程为(x+2) 2+(y-2)2=87点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用. 第三部分 课堂练习1
15、.关于 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是 B=0 且 A=C0,D 2+E2-4AF0 2.过点 P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1) 3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+y2=4 的内部，则 k 的范围是 15k4.已知圆心为点（2，-3） ，一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是460xy5.直线 y=3x+1 与曲线 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标是 31,06.方程 表示的曲线是_两个半圆21()xy7.圆 关
16、于直线 的对称圆的方程是4)3(20yx22(4)(3)xy8.如果实数 x、y 满足等式 ，那么 的最大值是 323x9.已知点 和圆 ，求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路)1,(A4)7()5(:2yxC程为_8_10求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2xy3=0 上的圆的方程;解：设圆心 P(x0,y0),则有 ,20202020 )()3()()5(3yxyx解得 x 0=4, y0=5, 半径 r= , 所求圆的方程为(x4) 2+(y5) 2=10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j111. 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3 y
17、=0 上，且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7解：因圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x3 y=0 上，故设圆方程为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2(3)()9xbyb又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 ，7则有 + =9b2， 解得 b=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2|()(故所求圆方程为 或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j223)()9xy(3)()9点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求 a、 b、 r
18、或 D、 E、 F. 12.在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切xOy 4xy8（1）求圆 的方程；O（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取xAB， PAOB， ， PAB值范围解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，r34xy即 得圆 的方程为 423rO2（2）不妨设 由 即得1212(0)()AxBx， ， ， ， 4， ， ，设 ，由 成等比数列，得 ，()Pxy， PO， ， 222()()xyxyxA即 2()(2)ABxyA， ，224(1).xy由于点 在圆 内，故PO24.xy，由此得 21y所以 的取值范围为 AB20)，
19、第四部分 作业练习1点 P (a, b ), Q (b+1 , a1) 关于直线 L 对称，则 L 的方程是 x y1=0 2过点 P（2，1）且被圆 x2+y22 x+4y=0，截得的弦长最大的直线的方程是 3x y5=03如果点（4， a）到直线 的距离不大于 3，那么 a 的取值范围是0，10 013494直线 当 k 变动时，所有直线都过定点（3，1） ,01ykx5直线 和直线 平行的充要条件是2a0)(ayx106a或6.方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(tR)表示圆方程，则 t 的取值范围是 17-t7.点 A 是圆 C: 上任意一点,A 关
20、于直线 的对称点也在圆 C 上,则5yx 21xy实数 a 的值为-10 8.过圆 x2+y2=4 外一点 P(4，2)作圆的两条切线，切点为 A、 B，则 ABP 的外接圆方程是( x-2)2+(y-1)2=5 9M( 为圆 内异于圆心的一点，则直线 与该圆的位置关),0yx)0(22ayx 20ayx系为相离（填相切、相交、相离）10.设直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的长为 ，则3a22(1)()4yABA30 a11.已知圆 C 过点 A（4,-1）,且与圆 相切于点 B（1,2）,则圆 C2650x的方程为 22513yx12. 25 2()340yxy若 点 ， 在 直 线 上
21、 移 动 ， 则 的 最 小 值 为13.过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜,l2()4x l率 =k214.若圆 上至少有三个不同点到直线 : 的距离为 ,则直线2410xyl0axby2的倾斜角的取值范围是 l 5,15.已知 A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点 D 的坐标,使四边形 ABCD 为等腰梯形.解:设 ，若 ，则 ，易得 D（ ）(,)DxyABCABCK163,5若 ，则由 ，可解得Dk(2,3)故点 D 的坐标为 163(,)25得16.已知 的顶点 A 为（3，1） ，AB 边上的中线所在直线方程为 ， 的平BC 61059x
22、yB分线所在直线方程为 ，求 BC 边所在直线的方程40xy解:设 ，由 AB 中点在 上，1(40,)y6590xy10可得： ，y 1 = 5，所以 059210746yy (10,5)B设 A 点关于 的对称点为 ，x(,)Ax则有 .故)7,1(1432xy :29650Cy17.已知圆 ： 和圆 ，直线 与圆 相切于点 ；圆 的圆心在射线C2xy2l1(,)2C上，圆 过原点，且被直线 截得的弦长为 20()xy2 43()求直线 的方程；l()求圆 的方程2解：()（法一）点 在圆 上，(1,)21:Cxy直线 的方程为 ，即 lxy0（法二）当直线 垂直 轴时，不符合题意 l当直
23、线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，即 l l1()ykx10ky则圆心 到直线 的距离 ，即： ，解得 ，1(0,)Cl2dr2|直线 的方程为 l0xy（）设圆 ： ，圆 过原点， 222()()ar(0)a2C25ar圆 的方程为 C5xy圆 被直线 截得的弦长为 ，圆心 到直线 ： 的距离：2l432(,)l20xy|2|51ad整理得： ，解得 或 2802a14 ， 0a圆 ： 2C22()(4)xy18.已知过 A（0，1）和 且与 x 轴相切的圆只有一个，求 的值及圆的方程(,Baa解:设所求圆的方程为 因为点 A、B 在此圆上，20xyDEF所以 ， ，EF11,2416
24、0DaEF又知该圆与 x 轴（直线 ）相切，所以由 ，y2040DF由、消去 E、F 可得： ， 22(1)4164aa由题意方程有唯一解，当 时， ；当 时由 可解得 ，,5,Ea0a这时 8,17,6D综上可知，所求 的值为 0 或 1，当 时圆的方程为 ；当 时，圆的a0a28176xy1方程为 245xy19.已知圆 O: 交 轴于 A， B 两点,曲线 C 是以 为长轴,离心率为 的椭圆,其左焦2xAB2点为 F.若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q.()求椭圆 C 的标准方程；()若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线
25、 PQ 与圆 相切；()试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、 B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. 解：()因为 ,所以 c=12,ae则 b=1,即椭圆 的标准方程为C21xy()因为 (1,1),所以 ,所以 ,所以直线 OQ 的方程为 y=2x(7 分)PPFkOQk又椭圆的左准线方程为 x=2,所以点 Q(2,4)所以 ,又 ,所以 ,即 ,1PQkOP1PP故直线 与圆 相切()当点 在圆 上运动时,直线 与圆 保持相切QO证明:设 ( ),则 ,所以 , ,0)xy022200yx01PFykx01OQxky所以直线 OQ 的方程为 01x所以点 Q(2, )0yxyOPFQA B第 19题12所以 ,又 ,0220000()()PQxyyxxk y0OPykx所以 ,即 ,故直线 始终与圆 相切1OPQP
