1、2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程1.了解椭圆标准方程的推导过程.(难点)2.会求椭圆的标准方程.(重点)3.能运用椭圆的标准方程处理一些简单的实际问题.基础初探教材整理 椭圆的标准方程阅读教材 P28P 29 例 1 部分，完成下列问题 .焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上标准方程 1(a b0)x2a2 y2b2 1(a b0)y2a2 x2b2图形焦点坐标 (c,0) ，( c,0) (0，c)，(0 ，c )a，b，c 的关系b2a 2c 21.判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2b 2c 2.( )(2)方程 2x2y 24 表示的曲线不是椭圆.(
2、 )(3)圆是椭圆的特殊形式.( )(4)方程 1(a0)，表示焦点在 x 轴上的椭圆.( )x2a2 y22a【解析】 (1).由椭圆方程的推导过程可知 a2b 2c 2.(2).把方程 2x2y 24 化为标准形式为 1，易知其表示的曲线是x22 y24椭圆.(3).由圆和椭圆的定义可知其错误.(4).当 a2 2a，即 a2 时，方程 1(a0)才表示焦点在 x 轴上的x2a2 y22a椭圆，否则不是.【答案】 (1) (2) (3) (4)2.a5，c3 ，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为_.【解析】 a5，c 3 ，b 225916，又焦点在 y 轴上，椭圆的方程为 1.y225
3、x216【答案】 1y225 x216质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0) 和(4,0)，且椭圆经过点(5,0) ；(2)经过点 A( ，2)和点 B(2 ，1). 3 3【导学号：24830026】【精彩点拨】 (1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解.【自主解答】 (1)方法一：由于椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 1(ab0). 由题意得Error!解得Error!所以椭圆的标准
4、方程为x2a2 y2b2 1.x225 y29方法二：由于椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 1( a b0).x2a2 y2b22a 10，a5.5 42 5 42又 c4，b 2a 2c 225 169.故所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29方法三：由于椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 1( a b0).x2a2 y2b2因为椭圆经过点(5,0) ，所以 a5，又因为椭圆的焦点为(4,0)和(4,0)，所以 c4，所以 b2a 2c 29，故所求椭圆的标准方程为 1.x225 y29(2)方法一： 当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0).x2a2 y2b
5、2依题意有Error!，解得Error!.故所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 1(ab0).y2a2 x2b2依题意有Error!，解得Error!，因为 ab0，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为 1.x215 y25方法二：设所求椭圆的方程为 mx2ny 21(m0， n0，mn)，依题意有Error!，解得Error!.所以所求椭圆的标准方程为 1.x215 y251.确定椭圆方程的“定位”与“定量”.2.巧设椭圆方程.(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2By 21(A
6、0，B 0，A B).(2)与椭圆 1 有相同焦点的椭圆方程可设为 1.x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 再练一题1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)过点 A(3，2)且与椭圆 1 有相同焦点.x29 y24【解】 (1)由于椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为 1( a b0).y2a2 x2b2由于椭圆经过点(0,2) 和(1,0)，Error!，Error!.故所求椭圆的标准方程为 x 21.y24(2)由题意得 c2945，又已知椭圆的焦点在 x 轴上，故所求椭圆方程可设为 1(0)，x2 5 y2代入点 A
7、坐标得 1.9 5 4解得 10 或 2(舍)，故所求椭圆的方程为 1.x215 y210与椭圆有关的轨迹问题如图 221 所示，圆 x2y 21 上任意一点 P，过点 P 作 x轴的垂线段 PP，P 为垂足 .M 为直线 PP上一点，且 PM PP ( 为大于零的常数). 当点 P 在圆上运动时，点 M 的轨迹是什么？为什么？图 221【精彩点拨】 设出点 M 和点 P 的坐标，根据 PMPP找到二者的联系，用点 M 的坐标表示点 P 的坐标，利用点 P 在圆上代入可得点 M 的轨迹方程，讨论 可得点 M 的轨迹.【自主解答】 设 M(x，y)，P(x 0，y 0)，PPx 轴，且PMPP，
8、xx 0， yy 0，即 x0x，y 0 y. 1点 P(x0，y 0)在圆 x2y 21 上，x y 1.20 20把 x0x，y 0 y 代入上式得 x2 1.1 y22当 01 时，点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆；当 1 时，点 M 的轨迹是圆；当 1 时，点 M 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆. 求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为( x，y)，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.再练一题2.已知点 P(x0，y 0)是椭圆 1 上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段x28 y24PA 中点 M 的轨迹方程
9、.【导学号：24830027】【解】 设 M(x，y)，则Error!Error!点 P 在椭圆 1 上，x28 y24 1.x208 y204把Error!代入 1，得 1，即 y 21 为所求.x208 y204 2x 628 2y24 x 322探究共研型椭圆的定义及标准方程的应用探究 1 椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？【提示】 平面内与两个定点 F1，F 2 距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.即 PF1PF 22a(2 aF 1F2).探究 2 若点 P 是椭圆 1(ab0)上的点，则 PF1PF 2 的值为多x2a2 y2b2少？【提示】 P
10、F 1PF 22a.探究 3 在三角形 PF1F2 中， F1F2 的长是多少？设F 1PF2，结合余弦定理，PF 1PF2 能否用椭圆方程 1(ab 0)中的参数来表示？x2a2 y2b2【提示】 F 1F22c .在三角形 PF1F2 中，由余弦定理可得F1F PF PF 2PF 1PF2cos (PF 1PF 2)22PF 1PF2(1cos )，2 21 2即 4c24a 2 2PF1PF2(1cos ) ，所以 PF1PF2 .2b21 cos 探究 4 根据探究 3 的讨论，能把三角形 PF1F2 的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF 1PF2 和 PF1PF 2 存在不等关系吗
11、？【提示】 SPF 1F2 PF1PF2sin ，12 b2sin 1 cos 根据基本不等式 PF1PF2 2a 2.(PF1 PF22 )探究 5 设点 F1，F 2 是椭圆 1(ab0) 的两个焦点， P 是椭圆上任x2a2 y2b2意一点，则三角形 PF1F2 叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？ 【提示】 要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决.已知 F1，F 2 是椭圆 1 的两个焦点， P 是椭圆上任x2100 y264意一点.(1)若F 1PF2 ，求PF
12、1F2 的面积；3(2)求 PF1PF2 的最大值.【精彩点拨】 (1)在焦点三角形 PF1F2 中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解；(2)利用椭圆的定义和基本不等式可求 PF1PF2.【自主解答】 (1)由椭圆的定义可知，PF 1PF 220，在PF 1F2 中，由余弦定理，得 F1F PF PF 2PF 1PF2cosF 1PF2，2 21 2即 122PF PF PF 1PF2.21 2 2，并整理，得 PF1PF2 .2563SPF 1F2 PF1PF2sin .12 3 643 3(2)由 1 可知，a10，c 6.x2100 y264PF 1PF 220，PF 1
13、PF2 2100.当且仅当 PF1PF 210 时，等号成立.(PF1 PF22 )PF 1PF2 的最大值是 100.1.椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点 P 到两焦点 F1，F 2 的距离的和为常数 2a，则已知点 P 到一个焦点的距离就可以利用 PF1PF 22a 求出该点到另一个焦点的距离.2.椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F 2 构成的F 1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.3.对于求焦点三角形的面积，若已知F 1PF2，可利用 S absin C 把12PF1PF2 看成一个整体，运用公式 P
14、F PF (PF 1PF 2)22PF 1PF2 及余弦定21 2理求出 PF1PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量.再练一题3.椭圆 1 的焦点为 F1，F 2，点 P 在椭圆上，若 PF14，则x29 y22PF2_ ；F 1PF2 的大小为_.【解析】 由椭圆标准方程得 a3，b ，则2c ，F 1F2 2c2 .a2 b2 7 7由椭圆的定义得|PF 2|2a PF 12.在F 1PF2 中，由余弦定理得cosF 1PF2 ，所以PF21 PF2 F1F22PF1PF2 42 22 272242 12F 1PF2120.【答案】 2 120构建体系1.设 P 是椭圆 1 上的一点
15、，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，则x225 y216PF1PF 2_.【解析】 由标准方程得 a225，2a10，由椭圆定义知PF1PF 22a10.【答案】 102.已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0) ，点 P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 _.【解析】 c 1，a2， b 2a 2c 23.椭圆的方程为 1.x24 y23【答案】 1x24 y233.如果方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是x2a2 y2a 6_.【解析】 由于椭圆焦点在 x 轴上，Error!即Error!a3 或63 或60，n0，mn)，则Error!Error!椭圆方程为 x2 1.y225我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_
