1、第四章 圆的方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程考点一：求圆的标准方程1、已知两点 P1(0,5)和 P2(4,1)，求以 P1P2 为直径的圆的方程，并判断 M(1,6)，Q(3,5)是在圆上？圆外？圆内？分析 (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半径(2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点与圆心的距离与半径的大小关系来判断解析 由已知条件可得圆心坐标为(2,3) ，半径为 r |P1P2|212，则得以 P1P2 为直径的圆的方程为(x2) 2( y3) 28，将点2M(1,6)代入圆的方程左边有：(12) 2(6 3)2108，点 M 在圆外，同理可判断 Q 点在圆内Z
2、2、求经过两点 A( 1,4)、B(3,2) ，且圆心在 y 轴上的圆的方程解析 解法 1：圆心在 y 轴上，可设圆的标准方程是 x2(yb)2r2.该圆经过 A、B 两点，Error! Error!所以圆的方程是 x2( y1) 210.解法 2：线段 AB 的中点为(1,3) ，kAB ，2 43 ( 1) 弦 AB 的垂直平分线方程为 y32(x 1)，即 y2x1由Error!得(0,1) 为所求圆的圆心由两点间距离公式得圆半径r (0 1)2 (1 4)2 10所求圆的方程为 x2 (y1) 210.考点二：点与圆的位置关系1、已知点 A(1,2)在圆 C：(xa)2(ya)22a
3、2 的内部，求实数 a的取值范围精解详析 点 A 在圆内部，(1 a)2 (2a) 22 a2，2a50，a ，52a 的取值范围是a|a 52来源：考点三：圆的标准方程综合应用中华资源库 1、 如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图位置时，拱顶离水面 2 米，水面宽 12 米，当水面下降 1 米后，水面宽_米？解析 以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶点的铅垂直线为 y 轴，建立直角坐标系，设圆心为 C，水面所在弦的端点为 A、B，则由已知得 A(6，2)设圆的半径为 r，则 C(0，r) ，即圆的方程为 x2(y r)2 r2 将点 A 的坐标(6 ， 2)代入方程，解得 r10圆的方程x2(y10)2100 当水面下降 1 米后，可设点 A的坐标为(x 0，3)(x 00)，代入方程，求得 x0 .51所以，水面下降 1 米后，水面宽为 2x02 米51
