1、04 课后课时精练一、选择题1设 A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，满足条件n0 的点 M 构成的图形是( )AM A圆 B直线C平面 D线段解析： n0 是平面的向量表示式AM 答案：C2平面 与 的法向量分别是 a(4,0 ，2)，b(1,0,2)，则平面 与 的位置关系是 ( )A平行 B垂直C相交不垂直 D无法判断解析：a(4,0，2) ，b(1,0,2) ，所以 ab0，所以 ab，所以 .答案：B3已知平面 过点 A(1，1,2)，法向量为 n(2 ，1,2)，则下列点在 内的是( )A(2,3,3) B(3，3,4)C (1,1,0) D(2,0,1)解析： 的法向量与
2、 共面的向量垂直答案：A42014西城高二检测 若 n(2，3,1) 是平面 的一个法向量，则下列向量中是平面 的法向量的是( )A(0，3,1) B(2,0,1)C (2，3,1) D(2,3，1)解析：显然，选项 D 中的向量(2,3，1)与 n(2，3，1) 共线答案：D5在平面 ABCD 中，A(0,1,1) ，B(1,2,1)，C(1,0，1) ，若a( 1，y，z) ，且 a 为平面 ABCD 的法向量，则 y2 等于( )A2 B0C 1 D无意义解析：由已知 (1,1,0)， (1，1 ，2)，AB AC 所以Error!解得 y1 ，即 y21.答案：C6在三棱锥 PABC
3、中，PABC，PBAC ，点 G 是 P 在平面 ABC 上的射影，则 G 是ABC 的( )A内心 B外心C垂心 D重心解析：Error!G 为ABC 的垂心答案：C二、填空题7设 u(2,2，1)是平面 的法向量，a (3,4,2)是直线 l的方向向量，则直线 l 与平面 的位置关系是 _解析：因为 ua(2,2，1)( 3,4,2)0，所以 ua，即l ，或 l .答案：l，或 l8由向量 a(1,0,2) ，b(0,2,1) 确定的平面的一个法向量为n(x，y，z)，则向量 c(1， ，2) 在 n 上的射影的长是21_解析：由 n 是 a，b 所确定的平面的一个法向量，知Error!
4、不妨设 z2，可解得 x4，y1，所以 n( 4，1,2)，所以 c 在 n 上的射影长为|c|cosn ，c | 1.|cn|n|答案：192014安阳高二检测 如图，已知矩形 ABCD，AB1，BCa， PA平面 ABCD，若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQQD，则 a 的值等于_解析：如图，建立空间直角坐标系 Axyz ，则 D(0，a,0)设 Q(1，x,0)(0x a)P(0,0 ，z )则 (1 ， x，z)， (1，ax, 0)PQ QD 由 PQQD ，得1x(ax) 0，即 x2ax10.由题意知方程 x2ax 10 只一解a 24 0，a2 ，这时 x10，a答案：2
5、三、解答题102014 德州高二检测 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD， PDDC，E 是 PC 的中点证明：PA 平面 EDB.证明：如图，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设 DCa.连接 AC，AC 交 BD 于 G，连接 EG.依题意得 A(a,0,0)，P(0,0，a) ，E(0 ， )a2 a2底面 ABCD 是正方形，G 是此正方形的中心故点 G 的坐标为( ，0)，且 (a,0，a)， ( ，0，a2a2 PA EG a2)a2 2 ， .PA EG PA EG EG 平面 EDB 且 PA平面 EDB.PA平面 EDB.11如
6、图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E 是 BB1 的中点，F 是 CD 的中点(1)求证： D1F平面 ADE；(2)求证：平面 A1D1F平面 ADE.证明：(1) 建立空间直角坐标系 D； ， ， DA DC DD1 设正方体的棱长为 1，由已知 A(1,0,0)，E(1,1， )，12所以 (1,0,0)， (1,1， )DA DE 12设平面 ADE 的法向量为 n1(x，y ，z)，则Error!取 z2，得 n1(0，1,2)又 D1(0,0,1)，F(0， 0)，12所以 (0 ，1)D1F 12n 12 ，n 1 ，D1F D1F 即 D1F平面 ADE.(2
7、)A 1(1,0,1)， (1,0,0)，A1D1 设平面 A1FD1 的法向量为 n2(x，y ，z)，则Error!取 y2，得 n2(0,2,1)n 1n200(1)2210n 1n 2.平面 A1D1F平面 ADE.12如图，平面 PAC 平面 ABC，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E，F，O 分别为 PA，PB，AC 的中点，AC16，PA PC10.(1)设 G 是 OC 的中点，证明：FG平面 BOE；(2)证明：在ABO 内存在一点 M，使 FM平面 BOE，并求点M 到 OA， OB 的距离证明：(1) 如图，连接 OP，以点 O 为坐标原点，分别以 OB，OC
8、，OP 所在直线为 x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则O(0,0,0)，B(8,0,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0) (8,0,0)， (0，4,3)，OB OE 设平面 BOE 的法向量为 n(x，y ，z)，则Error!解得 x0,4 y3z，令 z4，则 n(0,3,4)，平面 BOE 的一个法向量 n(0,3,4)由 ( 4,4，3)，得 n 0.FG FG 又直线 FG 不在平面 BOE 内FG 平面 BOE.(2)设点 M 的坐标为(x 0，y 0,0)，则 (x 04，y 0，3)FM FM平面 BOE， n，故 x040， .FM y03 34因此 x04， y0 ，94即点 M 的坐标是(4 ， ，0) 94在平面直角坐标系 xOy 中，AOB 的内部区域可表示为不等式组Error!经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组所以，在AOB 内存在一点 M，使 FM平面 BOE.由点 M 的坐标，得点 M 到 OA，OB 的距离分别为 4， .94
