1、圆与方程教案与综合练习江苏 曹权考纲要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系能用直线和圆的方程解决一些简单的问题初步了解用代数方法处理几何问题的思想1点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部，则 a 的取值范围是（ ）A-11 Da= 12点 P（m2,5）与圆 x2+y2=24 的位置关系是（ ）A在圆内 B在圆外 C在圆上 D不确定3方程(x+a)2+(y+b)2=0 表示的图形是（ ）A点（a,b） B点（-a,-b） C以（a,b）为圆心的圆 D以（-a,-b）为圆心的
2、圆4已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上，则此圆的方程是（ ）A(x-2)2+(y+3)2=13 B(x+2)2+(y-3)2=13 C(x-2)2+(y+3)2=52 D(x+2)2+(y-3)2=525圆(x-a)2+(y-b)2r2 与两坐标轴都相切的充要条件是（ ）Aa=b=r B|a|=|b|=r C|a|=|b|=|r| 0 D以上皆对 6圆(x-1)2+(y-3)2=1 关于 2x+y+5=0 对称的圆方程是（ ）A(x+7)2+(y+1)2=1 B(x+7)2+(y+2)2=1 C(x+6)2+(y+1)2=1 D(x+6)2+(y+2)
3、2=17如果圆的方程为 x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ ）A（-1，1） B（1，-1） C（-1，0） D（0，-1）8圆 x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0 在直角坐标系中的位置特征是（ ）A 圆心在直线 y=x 上 B圆心在直线 y=x 上, 且与两坐标轴均相切C 圆心在直线 y=-x 上 D圆心在直线 y=-x 上, 且与两坐标轴均相切14过点 P（12，0）且与 y 轴切于原点的圆的方程为 _15圆(x-4)2+(y-1)2=5 内一点 P（3，0），则过 P 点的最短弦的弦长为 _，最短弦所在直线方程为_16过点（1，2）总可以向圆 x2+y2
4、+kx+2y+k2-15=0 作两条切线，则 k 的取值范围是 _17已知圆 x2+y2-4x-4y+4=0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是 _，距离最远的点的坐标是_18已知一圆与直线 3x+4y-2=0 相切于点 P（2，-1），且截 x 轴的正半轴所得的弦的长为 8，求此圆的标准方程20已知方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+90 表示一个圆，（1）求 t 的取值范围；（2）求该圆半径 r 的取值范围21已知曲线 C：x2+y2-4mx+2my+20m-200(1)求证不论 m 取何实数，曲线 C 恒过一定点；(2)证明当 m2 时，曲线 C 是一个圆，
5、且圆心在一条定直线上；(3)若曲线 C 与 y 轴相切，求 m 的值参考答案：经典例题：解：设所求的圆的方程为： 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 的三元一次方程组，即解此方程组，可得：所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.或将 左边配方化为圆的标准方程， ,从而求出圆的半径 ，圆心坐标为(4,-3) 当堂练习：1.A; 2.B; 3.B; 4.A; 5.C; 6.A; 7.D; 8.B; 14. (x-6)2+y2=36; 15. 2 , x+y-3=0; 16. ; 17. (2- ,2- ), (2+ ,2+ );18. 解：设所求圆圆心为
6、 Q（a,b），则直线 PQ 与直线 3x+4y-2=0 垂直，即 ,(1) 且圆半径 r=|PQ|= ,(2)由（1）、（2）两式，解得 a=5 或 a= - (舍)，当 a=5 时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.20. 解：（1）方程表示一个圆的充要条件是D2+E2-4F 4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)0,即：7t2-6t-10, D2+E2-4F0, 曲线 C 是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由消去 m 得 x+2y0, 即圆心在直线 x+2y0 上.（3）若曲线 C 与 y 轴相切，则 m2，曲线 C 为圆，其半径
7、 r= ,又圆心为(2m, -m),则 =|2m|, .加试：20已知点 A(0，2)和圆 C： ，一条光线从 A 点出发射到 x 轴上后沿圆的切线方向反射，求(1)这条光线从 A 点到切点所经过的路程.(2)求入射光线的方程21已知圆方程 ,且 p 1,p R,求证圆恒过定点; (2)求圆心的轨迹 ; (3)求圆的公切线方程20. 解：（1）反射线经过点 A（0，2）关于 x 轴的对称点 A1（0，-2），这条光线从 A 点到切点所经过的路程即为 A1（0，-2）到这个圆的切线长 . (2) 入射光线的方程为 2x+y-2=0 或 x+2y-4=0.21. 解：（1）分离参数 p 得(4y-
8、4x)p+x2+y2-8y+8=0,由 , 即圆恒过定点（2，2）.(2) 圆方程可化为(x-2p)2+y-(4-2p)2=8(p-1)2,得圆心的参数方程为 , 消去参数 p 得: x+y-4=0 (x 2).（3）设圆的公切线方程为 y=kx+b，即 kx-y+b=0，则 ,两边比较系数得 k=1, b=0，所以圆的公切线方程为 y=x .18(本小题满分 12 分)已知平面区域Error!被圆 C 及其内部所覆盖(1)当圆 C 的面积最小时，求圆 C 的方程；(2)若斜率为 1 的直线 l 与(1)中的圆 C 交于不同的两点 A、 B，且满足 CA CB，求直线 l 的方程解析 (1)由
9、题意知此平面区域表示的是以 O(0,0)， P(4,0)， Q(0,2)构成的三角形及其内部，且OPQ 是直角三角形，覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆圆心是(2,1)，半径是 ，5圆 C 的方程是( x2) 2( y1) 25.(2)设直线 l 的方程是： y x b. CA CB，圆心 C 到直线 l 的距离是 ，102即 .解之得， b1 .|2 1 b|2 102 5直线 l 的方程是： y x1 .519(本小题满分 12 分)(文)设直线 l 的方程为( a1) x y2 a0( aR)(1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程；(2)若 a1，直线 l 与 x、
10、y 轴分别交于 M、 N 两点，求 OMN 面积取最大值时，直线 l 的方程解析 (1)当直线 l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为 0，此时 2 a0，解得a2，此时直线 l 的方程为 x y0；当直线 l 不经过坐标原点，即 a2 时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得 2 a，解得2 aa 1a0，此时直线 l 的方程为 x y20.所以，直线 l 的方程为 x y0 或 x y20.(2)由直线方程可求得 M 、 N(0,2 a)，又因为 a1，故 S OMN (2 a) (2 aa 1， 0) 12 2 aa 1 12 (a1) 2 2，当且仅当 a1 ，(a 1)2 2(
11、a 1) 1a 1 12 1a 1 12 (2(a 1)1a 1 2) 1a 1即 a0 或 a2(舍去)时等号成立此时直线 l 的方程为 x y20.点评(1)截距相等，包括过原点的情形(2)应用基本不等式求最值一定要注意条件的验证(理)(2010苏北四市)已知圆 O 的方程为 x2 y21，直线 l1过点 A(3,0)，且与圆 O 相切(1)求直线 l1的方程；(2)设圆 O 与 x 轴交于 P， Q 两点， M 是圆 O 上异于 P， Q 的任意一点，过点 A 且与 x 轴垂直的直线为l2，直线 PM 交直线 l2于点 P，直线 QM 交直线 l2于点 Q.求证：以 P Q为直径的圆 C
12、 总过定点，并求出定点坐标解析 (1)直线 l1过点 A(3,0)，设直线 l1的方程为 y k(x3)，即 kx y3 k0，则圆心 O(0,0)到直线 l1的距离为 d 1，|3k|k2 1解得 k .24直线 l1的方程为 y (x3)24(2)在圆 O 的方程 x2 y21 中，令 y0 得， x1，即 P(1,0)， Q(1,0)又直线 l2过点 A 与 x轴垂直，直线 l2的方程为 x3，设 M(s， t)，则直线 PM 的方程为 y (x1)ts 1解方程组Error!得， P .(3，4ts 1)同理可得 Q .(3，2ts 1)以 P Q为直径的圆 C 的方程为( x3)(
13、x3) 0，(y4ts 1)(y 2ts 1)又 s2 t21，整理得( x2 y26 x1) y0，6s 2t若圆 C 经过定点，则 y0，从而有 x26 x10，解得 x32 ，2圆 C 总经过的定点坐标为(32 ，0)2点评 C 经过定点，分离参数 t 与 s，则该定点应与 t、 s 无关，故 y0.20(本小题满分 12 分)圆 C：( x1) 2( y2) 225，直线 l：(2 m1) x( m1) y7 m4 (mR)(1)证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒相交于两点；(2)求 C 与直线 l 相交弦长的最小值解析 (1)将方程(2 m1) x( m1) y7 m4，变
14、形为(2 x y7) m( x y4)0.直线 l 恒过两直线 2x y70 和 x y40 的交点，由Error!得交点 M(3,1)又(31) 2(12) 250，所以 k1.4k(1 k)1 k2(理)已知定点 A(0,1)、 B(0，1)、 C(1,0)，动点 P 满足 k| |2.AP BP PC (1)求动点 P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线(2)当 k2 时，求|2 |的最大值和最小值AP BP 解析 (1)设动点的坐标为 P(x， y)，则( x， y1)， ( x， y1)， (1 x， y)AP BP PC k| |2，AP BP PC x2 y21 k(x1) 2 y
15、2，(1 k)x2(1 k)y22 kx k10.若 k1，则方程为 x1，表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线若 k1，则方程化为 2 y2 2，表示以 为圆心，以 为半径的圆(xk1 k) ( 11 k) ( kk 1， 0) | 11 k|(2)当 k2 时，方程化为( x2) 2 y21.2 2( x， y1)( x， y1)(3 x,3y1)，AP BP |2 | .AP BP 9x2 9y2 6y 1 36x 6y 26又( x2) 2 y21，则令 x2cos ， ysin ，于是有 36x6 y2636cos 6sin 466 cos( )46466 ，466 ，37 37 37故|2 |的最大值为 3 ，AP BP 46 637 37最小值为 3.46 637 37
